Andengradspolynomier - matematikfysik

10© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk(10)⎛− b+ d ⎞ ⎛−b− d ⎞ ⎛−b d ⎞ ⎛−b d ⎞x1⋅ x2= ⎜ 2a ⎟⋅ ⎜ = + ⋅ −2a ⎟ ⎜ 2a 2a ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2a2a⎟⎠2 22 2 2⎛−b⎞⎛ d ⎞ b d b b −4ac= ⎜ ⎟ − = − = −2 2 2 2⎝2a⎠ ⎜ 2a ⎟⎝ ⎠ 4a 4a 4a 4a4ac= =24acaVi har i det tredje lighedstegn i (10) benyttet formlen for to tals sum gange to tals differens!Indsættes (9) og (10) i (8) fås:(11)a⋅( x−x1)( x− x2)=⎡ 2 ⎛ b⎞c⎤a⋅⎢x − ⎜− ⎟⋅ x +a a⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎦=⎡ 2 b c⎤2a⋅ ⎢x + ⋅ x + = ax + bx+c⎣ a a⎥⎦14BEksempel 14Sætning 13 er nyttig i forskellige sammenhænge. Antag for eksempel, at vi ønsker atkonstruere et andengradspolynomium, som har rødderne x 1= − 6 og x2= 2 . Der er fritvalg for a. lad os sætte den til 1. Et polynomium med de ønskede egenskaber er da:ax ( − x)( x− x) = 1 ⋅( x−( −6)) ⋅( x− 2) = ( x+ 6) ⋅( x−2)1 22 2= x + 6x−2x− 12 = x + 4x−1215BEksempel 15Reducér udtrykket22x+ 9x−5 ; x ≠ − 5 .2x+ 10Løsning: Rødderne i andengradspolynomiet i tælleren bestemmes via sætning 9 til atvære –5 og 1 . Ifølge sætning 13 kan vi derfor faktorisere tælleren:22x9 5 2( x−( −5))( x− ) 2( x+ 5)( x−)2x+ 10 2( x+ 5) 2( x+5)2 1 1+ x−2 2 1= == x −2Da ( x + 5) er en fælles faktor i tæller og nævner, kan den forkortes væk, og vi endermed et langt enklere udtryk.