Andengradspolynomier - matematikfysik

6© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk3B3. AndengradsligningerEn andengradsligning er en ligning på formen ax + bx+ c = 0 , a ≠ 0 . Man skal altsåfinde eventuelle x-værdier, som tilfredsstiller ligningen. Løsningerne til andengradsligningenbetegnes i øvrigt også som rødderne til andengradspolynomiet ax + bx+c.22Sætning 92Givet andengradsligningen ax + bx+ c = 0 , a ≠ 0 . Idet d = b −4achaves følgendeløsninger til andengradsligningen:Hvisd < 0 : Der er ingen løsninger2Hvisd = 0 : Der er netop én løsning:x =−b2aHvisd > 0:Der er netop to løsninger:− b±x =2adBevis: Problemet med andengradsligninger er, at man ikke, som i tilfældet med ligningeraf 1. grad, nemt kan isolere x på den ene side af lighedstegnet. Man kan ikke umiddelbartsamle leddene med x, fordi de har forskellig potens i x. Heldigvis kan det alligevelgøres med et trick: Man omskriver ligningen, så man får kvadratet på en toleddetstørrelse, hvori x indgår. Da x derved kun kommer til at stå et sted i ligningen, kan denefter omskrivningen ret nemt løses. Den omtalte omskrivning er faktisk bare den, somvi har i formel (5) i bemærkning 7.(6)2ax + bx+ c =2220⎛ b ⎞ da⋅ ⎜x+ ⎟ − =⎝ 2a⎠4a⎛ b ⎞ da⋅ ⎜x+ ⎟ =⎝ 2a⎠4a⎛ b ⎞ d⎜x+ ⎟ =⎝ 2a⎠ 4a20For at komme videre må vi splitte op i tre tilfælde, afhængig af værdien af d:d < 0: Nævneren på højre side af den sidste ligning i (6) er positiv, da a står i andenpotens. Når diskriminanten d er negativ, vil hele højresiden derfor være negativ.Venstresiden er en parentes i anden potens; den vil derfor være ≥ 0 . Ligningenkan dermed ikke opfyldes. Løsningsmængden er derfor den tommemængde: Vi skriver L =∅.