L¨osung zu¨Ubung 6

Lösung zu Übung 6
Mathematik III: Teil Systemanalyse II
19. Dezember 2011
Aufgabe 1: O2 im See: Gasaustausch und Diffusion
In einem See mit einem vollständig durchmischten Epilimnion der Dicke hE findet man untenstehendes
O2-Profil. Die O2-Sättigungskonzentration bei der an der Wasseroberfläche herrschenden Temperatur
sei Cs = 12 g m −3 .
a) Berechnen Sie mit dem üblichen linearen Ansatz den O2-Austausch an der Wasseroberfläche.
Gasaustausch-Geschwindigkeit vg = 0.5 m d −1 .
Lösung:
Wir definieren den Gasaustausch gemäss der Formel (8.12) im Systemanalyse-Buch als:
FA→B = vAB(CA −C eq
A ) (1)
mit A= Wasser und B=Luft. Somit ist also der Gasaustausch definiert als der Fluss aus der durchmischten
Schicht heraus in die Atmosphäre, also positiv genau dann, wenn der Fluss entgegen der
z-Achse verläuft. Damit berechnen wir für den Gasaustausch hier:
FGasaustausch = vg(C0 −Cs) = 0.5 m d −1 (8−12) g m −3 = −2g m −2 d −1
Das negative Vorzeichen bedeutet hier, dass der Sauerstoff von der Luft ins Oberflächenwasser transportiert
wird, es sich also eigentlich um einen Fluss in z-Richtung handelt.
b) Wie gross ist der vertikale turbulente Diffusionskoeffizient Dz unterhalb der durchmischten Schicht,
wenn man annimmt, die Konzentration in der durchmischten Schicht (Dicke hE) sei zeitlich konstant?
1
(2)

Lösung:
Stationarität der Sauerstoffkonzentration in der durchmischten Schicht bedingt, dass die Summe aller
Flüsse in die durchmischte Schicht hinein und aus der durchmischten Schicht heraus gleich null
ist. Da nur Diffusion und Gasaustausch die Konzentration verändern gilt:
FGasaustausch +FDiffusion = 0 (3)
↔ FGasaustausch = −FDiffusion
→ −2g m −2 d −1 = −
�
−Dz
Für den vertikalen turbulenten Diffusionskoeffizienten ergibt sich also:
Dz = − 2g m−2 d −1
−0.4g m −4 = 5m2 d −1
dC
dz
�
�
�
� z=hE
c) Nehmen Sie nun an das O2-Profil unterhalb der Tiefe hE = 10 m sei zeitlich konstant und der vertikale
Diffusionskoeffizient dort Dz = 7.5 m 2 d −1 . Wie verändert sich dann die O2-Konzentration in
der durchmischten Schicht pro Zeit unmittelbar nach dem Einsetzen einer O2-Produktion als Folge
der Photosynthese mit j = 0.7 g m −3 d −1 ? Stellen Sie dazu die Bilanzgleichung für die Veränderung
des Sauerstoffs im Epilimnion auf, lösen Sie diese mit Hilfe der Anfangsbedingungen und berechnen
Sie die Zeit, bis die Sättigungskonzentration erreicht ist. Was geschieht nachdem die Sättigungskonzentration
erreicht ist?
Lösung:
Die Summe aus allen Produktions- und Verlusttermen für Sauerstoff entspricht der Konzentrationsveränderung
pro Zeitintervall. Gemäss Definition in Teilaufgabe a) sind sowohlFGasaustausch als auch
FDiffusion als Verlustterme definiert (Transport von Sauerstoff aus der durchmischten Schicht heraus),
gehen also mit einem Minuszeichen in die Massenbilanz für den Sauerstoff ein. Die O2-Bilanz
für die Sprungschicht sieht also folgendermassen aus:
dC
hE
dt = −FGasaustausch −FDiffusion +hE ∗j (7)
Dabei müssen sowohl die Konzentrationsänderung dC
dt als auch die Sauerstoffproduktion durch die
Photosynthesej aus Dimensionalitätsgründen noch mit der Höhe der durchmischten Schicht skaliert
werden (beachten Sie die Einheiten der einzelnen Flussterme).
Für den diffusiven Fluss gilt demnach:
�
dC�
FDiffusion = −Dz
� = −7.5m
dz
2 d −1 (−0.4 g m −4 ) = 3 gm −2 d −1
(8)
� z=hE
Der Gasaustausch über die Wasseroberfläche ändert sich in Abhängigkeit der Sauerstoffkonzentration
im Epilimnion gemäss Teilaufgabe a):
FGasaustausch = vg(C −Cs) (9)
Es folgt also für die Konzentrationsveränderung mit der Zeit (in der durchmischten Schicht):
dC
dt
1
= (−FGasaustausch −FDiffusion)+j
hE
= − vg
(C −Cs)−
hE
1
FDiffusion)+j
hE
= −0.05d −1 C +0.05·12gm −3 d −1 −0.1·3gm −3 d −1 +0.7gm −3 d −1
= −0.05d −1 C +1gm −3 d −1
2 von 7
�
(4)
(5)
(6)

Mit dem üblichen Exponentialansatz aus dem Systemanalyse-Buch (Seite 47, Gleichung (4.6)) folgt
die Lösung für diese Differentialgleichung:
C(t) = Ae −0.05t +20gm −3
Aus der Abbildung und Teilaufgabe a) kennen wir die Anfangskonzentration in der durchmischten
Schicht:
C(t = 0) = C0 = 8gm −3
(11)
Eingesetzt folgtA = −12gm −3 und damit:
C(t) = −12gm −3 ·e −0.05t +20gm −3
Nach einiger Zeit erreicht die Konzentration die Sättigungskonzentration Cs = 12gm −3 . Durch
Gleichsetzen erhalten wir:
12gm −3 = −12gm −3 ·e −0.05t +20gm −3
Daraus folgtt ≃ 8dbis die Sättigung erreicht wird. Danach steigt die Konzentration dennoch weiter
(trotz umgekehrtem Gasaustausch) durch die Sauerstoffproduktion bei der Photosynthese, bis zum
Maximalwert von 20gm −3 .
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(10)
(12)
(13)

Aufgabe 2: Schadstoff im Fluss
In einen kleinen Fluss wird an der Stellexo kontinuierlich Abwasser mit einem Schadstoff eingeleitet.
Die Konzentration des Stoffes im Abwasser betrage C0 = 400 mg L −1 , die Abwassermenge Q = 1 L
s −1 .
a) Nach welcher Fliessstrecke x1 hat sich der eingeleitete Stoff über den ganzen Fliessquerschnitt
ausgebreitet? Nehmen Sie an, dass der Transport quer zur Fliessrichtung (y-Richtung) nur durch turbulente
Diffusion erfolgt mit dem lateralen DiffusionskoeffizientenD = 2·10 −3 m 2 s −1 .
Lösung:
t Diff
mix
= y2
2D = 25m 2
4·10 −3 m 2 s −1 = 6.25·10 3 s (14)
ν = x
t
= x1
t Diff
mix
⇒ x1 = ν ·t Diff
mix
(15)
(16)
(17)
x1 = 0.2ms −1 ·6.25·10 3 s = 1.25·10 3 m = 1.25km (18)
b) Wie gross ist dann die Konzentration des Stoffes an der Stelle x1? Nehmen Sie die Konzentration
als konstant über den gesamten Fliessquerschnitt an. Nehmen Sie vorerst an, der Stoff verhalte sich
konservativ, wird also nicht abgebaut, adsorbiert, etc.
Lösung:
Verdünnung des Stoffes:
Fluss
QF = 0.2m 3 s −1 = 2·10 2 Ls −1
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(19)

Einleitung
Verdünnungsfaktor1 : 200
oder:
Q = 1Ls −1
Cmix = 400mgL −1 /200 = 2mgL −1
C0 ·Qin = Cmix ·QF
Cmix = 10−3 m 3 s −1
0.2m 3 s −1 ·400mgL −1 = 2mgL −1
c) Der Stoff werde nach einer Reaktion 1. Ordnung im Fluss abgebaut. Nehmen Sie zur Vereinfachung
an, der Abbau beginne erst ab der Stelle x1. Nach welcher zusätzlichen Fliessstrecke x2 wird
dann der Grenzwert der Substanz im Flusswasser CGrenz = 0.1 mg L −1 erreicht sein? Die Diffusion
in x-Richtung kann dabei gegenüber der Advektion vernachlässigt werden. (Nützlicher numerischer
Wert:e −3 = 0.05)
Lösung:
Abbau des Stoffes:
CGrenz
Cmix
t = −3
−kr
dC
dt
= −krC
C(t) = C0e −krt
CGrenz = Cmixe −krt
= 0.1mgL−1
2mgL −1 = 0.05 = e −3
−krt = −3
= −3
−6·10 −4s = 0.5·10 4 s
x2 = 0.5·10 4 s·0.2ms −1 = 0.1·10 4 m = 10 3 m = 1km
d) Formulieren Sie die kombinierte Transport/Reaktionsgleichung für die zeit- und ortsabhängige
Konzentration des Schadstoffes, in der alle berücksichtigten Prozesse (Advektion in der Strömung,
laterale Mischung, Reaktion) enthalten sind.
Lösung:
∂C
∂t
(20)
(21)
�
∂2C = D
∂x2 + ∂2C ∂y2 �
−ν ∂C
∂x −krC +J (22)
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Aufgabe 3: Wichtige Konzepte der Systemanalyse
Bitte diskutieren Sie diese Begriffe gemeinsam mit Ihrem Assistenten während der Übungsstunde und arbeiten
Sie gemeinsam Ihren eigenen gruppeninternen Lösungsvorschlag aus, da einige dieser Begriffe sehr schwierig
sind, und in beliebiger Tiefe und beliebigem Detail beschrieben werden können. Die besten Lösungsvorschläge
übernehmen wir gerne als erweiterte Musterlösung auf unserer Homepage.
a) Definieren Sie in Ihren eigenen Worten das Konzept der Stabilitätsanalyse: Wann ist ein System
stabil, was sind Fixpunkte, was bedeutet die Jacobimatrix eines Systems und was beschreiben deren
Eigenwerte?
Lösungsvorschlag:
Stabilität beschreibt die Fähigkeit eines Systems, nach einer Störung wieder in den Ausgangszustand
zurückkehren zu können. Ein System ist stabil, wenn es unter Störung von aussen seinen
Ausgangszustand zurückkehrt. Fixpunkte oder Stationärzustände sind jene Zustände des Systems,
in denen die (zeitliche) Veränderung der Systemvariablen verschwindet, d.h. die Systemvariablen
bleiben (zeitlich) konstant, wenn sie diesen Zustand erreichen. Station”arzustände oder Fixpunkte
werden auch manchmal mit dem Begriff Gleichgewichtszustand bezeichnet. Die Jacobi-Matrix eines
Systems ist eine Ableitungsmatrix, welche alle partiellen ersten Ableitungen der Systemgleichungen
nach ihren Systemvariablen enthält. Rechnet man die Jacobi-Matrix fúr bestimmte Zustände
eines Systems (z.B. die Stationärzustände) aus, so kann man sie zur Näherung der Funktionswerte
der Systemgleichungen in der Umgebung dieser Zustände benutzen. Diese Näherung entspricht
einer Taylor-Approximation erster Ordnung um den gewählten Zustand. Weiterhin kann die Jacobi-
Matrix eines Systems dazu verwendet werden, die Stabilität eines Systems in den Fixpunkten zu untersuchen.
Die Steigungen der Veränderungsfunktionen eines Systems in der Nähe eines Fixpunktes
(Einträge in die Jacobi-Matrix) geben Auskunft darüber, ob ein Fixpunkt stabil, instabil oder indifferent
ist. Jede nxn-Matrix repräsentiert eine Abbildung A eines n-dimensionalen Vektorraums auf
sich selbst. Die Eigenvektoren sind jene Vektoren, welche unter der Abbildung A auf ein Vielfaches
ihrer selbst abgebildet werden. Die Eigenwerte zu den entsprechenden Eigenvektoren entsprechen
den Streckfaktoren. Sie berechnen sich als Wurzeln des charakteristischen Polynoms det(A - λ I)=0.
Die Eigenwerte der Jacobi-Matrix am Fixpunkt weisen nun auf das Verhalten des Systems in der
Nähe des Fixpunktes hin: Reelle negative Eigenwerte der Jacobi-Matrix bedeuten, dass das System
zum Fixpunkt hinstrebt, reelle positive Eigenwerte bedeuten, dass es vom Fixpunkt wegstrebt. Ein
Fixpunkt mit positiven und negativen Eigenwerten der Jacobi-Matrix heisst Sattelpunkt. Konjugiert
komplexe Eigenwerte beschreiben eine Oszillation um den Fixpunkt herum, rein imaginäre Eigenwerte
beschreiben konzentrisch-elliptische Feldlinien um den Fixpunkt herum (Zentren). Komplexe
Werte mit einem Realteil ungleich 0 indizieren ein Hin- oder Wegströmen gleichzeitig mit der Rotation,
so dass sich vom Fixpunkt aus Spiralen bilden.
b) Definieren Sie in Ihren eigenen Worten den Begriff der Hysterese. Unter welchen Bedingungen
kann sich Hysterese in einem System einstellen? Wieso zeigen lineare Modelle keine Hysterese?
Lösungsvorschlag:
Hysterese beschreibt die Pfadabhängigkeit der Variablen in einem System. Hysterese tritt dann auf,
wenn die Variablen eines Systems nicht nur von der Grösse der Inputgrössen sondern auch von deren
Geschichte abhängen. Hysterese tritt auf, wenn ein System für einen gegebenen konstanten Wert
der äusseren Relation R mehrere mögliche Zustände einnehmen kann. Hysterese kann also sowohl
in Bezug auf Fixpunkte (Stationzustände) als auch in Systemen auftreten, welche nicht im Gleichgewicht
sind. Systeme im Gleichgewicht, welche durch lineare n-dimensionale Differentialgleichungen
beschrieben werden, haben maximal n Stationärzustände, und für jede äussere Relation R kann
nur ein Fixpunkt eingenommen werden. Für nicht-lineare Gleichungssysteme kann die Anzahl der
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Fixpunkte q hingegen beliebig gross sein, und mehrere Fixpunkte können für bestimmte Werte der
äusseren Relation R eingenommen werden.
c) Beschreiben Sie in Ihren eigenen Worten die Unterschiede zwischen advektivem und diffusivem
Transport. Erklären Sie zudem die Bedeutung der Peclet Zahl und der Damköhler Zahl.
Lösungsvorschlag:
Advektion beschreibt einen gerichteten Transportprozess verursacht durch Strömung, d.h. alle in
einem Kontrollvolumen enthaltene Stoffe werden in die gleiche Richtung, jedoch zu einem den verschiedenen
Stoffkonzentrationen proportionalen Betrag transportiert. Der diffusive Transport ist isotrop
und kommt durch eine Vielzahl zufallsverteilter individueller Bewegungen zustande. Der Nettofluss
geht von der höheren zur tieferen Konzentration (1. Fick’sches Gesetz).
Die Peclet und Damköhler Zahl messen den relativen Einfluss von gerichtetem Transport, diffusivem
Transport und Transformation (siehe Abb. 8.8 auf der Seite 213 im SA Buch).
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