Kapitel 3 Randwertprobleme der Elektrostatik

und (3.4) wird:
�
V
(∇U) 2 dV =
�
V
�
∇ · (U∇U) − U ∇ 2 U
����
=0
�
dV =
�
F
U ∇U · df
� �� �
=0
= 0 (3.8)
mit Hilfe der Formel von Gauß, falls eine der beiden Bedingungen (3.5) oder (3.6) gilt.
Also: �
d.h. es ist in V :
da (∇U) 2 ≥ 0. Damit wird
(∇U)
V
2 dV = 0 , (3.9)
∇U = 0 , (3.10)
U = const (3.11)
und Φ1 und Φ2 unterscheiden sich höchstens um eine Konstante, die den E-Feld nicht
beeinflusst.
Sonderfall V → ∞
Wenn V der gesamte R3 ist, so ist die Lösung der Poisson-Gleichung eindeutig, falls ρ auf
einen endlichen Bereich beschränkt ist und Φ(r) asymptotisch so schnell abfällt, dass
r 2 Φ(r) ∂Φ(r)
∂n
→ 0 für r → ∞, (3.12)
wo ∂Φ/∂n die Normalen-Ableitung von Φ bezeichnet. Der obige Beweis überträgt sich
direkt, wenn man beachtet, dass die Oberfläche bei festem Rauminhalt wie r 2 wächst.
3.2 Physikalische Anwendungen: Metalle
Warum Probleme mit Randbedingung? Betrachten wir zunächst die Eigenschaften eines
idealen Metalles (Leiters) im statischen Fall. Ein ideales Metall ist ein Gegenstand, der
nur frei bewegliche Ladungen (i.d.r. Elektronen) besitzt. Wird ein solcher idealer Leiter in
ein elektrostatisches Feld gebracht, so wirken auf die freien Ladungen Kräfte, welche die
Ladungen so lange verschieben, bis sich ein Gleichgewichtszustand einstellt. Das E-Feld
der verschobenen Ladungen addiert sich dann zum ursprünglichen E-Feld. Was zählt ist
das gesamte E-Feld.
Die Gleichgewichtbedingungen sind:
(i) E = 0 innerhalb des ganzen Metalles. Wäre dies nicht der Fall, so würden die frei
beweglichen Ladungen Kräfte erfahren, welche zu einer Umverteilung der Ladungsträger
im Metall führen, bis E = 0.
(ii) wegen (i) ist Φ konstant im ganzen Metall.
(iii) wegen (ii) und der Poisson Gleichung (2.26), verschwindet die Ladungsdichte
innerhalb des Metalles. Im idealen Metall kann sich nur eine verschwindend dünne
Ladungsschicht (Flächenladung) auf der Oberfläche des Metalles befinden.
Wir sind bereits in Gl. (2.15) der Flächeladungsdichte σ begegnet. In einem Metall
hängt σ im Allgemeinen vom der Ortskoordinate r auf der Metalloberfläche ab:
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