Kapitel 3 Randwertprobleme der Elektrostatik

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. ¯rq Φ = 0 ¯q Es sei Φ(r, θ, φ) das Potential, das durch diese Punktladung am Ort r = (r, θ, φ) (in Kugelkoordinaten) erzeugt wird: Φ(r, θ, φ) = 1 4πɛ0 γ r rq q � r 2 + r 2 q − 2rrq cos γ q x . (3.24) Wo γ der Winkel zwischen r und rq ist Um das Problem zu lösen verwenden wir nochmals eine (virtuelle) Spiegelladung ¯q, die sich innerhalb der Kugel im Punkt ¯rq befindet, mit ¯rq = (¯rq, 0, 0). Das Potential aus dieser zweiten Ladung ist also 4πɛ0 ¯ Φ(r, θ, φ) = ¯q � r 2 + ¯r 2 q − 2r¯rq cos γ . (3.25) Für einen Punkt auf der Kugeloberfläche r = R formen wir (3.25) um, indem wir Zähler und Nenner mit R/¯rq multiplizieren: 4πɛ0 ¯ Φ(R, θ, φ) = ¯q � R 2 + ¯r 2 q − 2R¯rq cos γ Man kann sich leicht vergewissern, dass für und ¯rq = R2 rq = R ¯rq � R 4 ¯r 2 q ¯q + R 2 − 2R R2 ¯rq (3.26) (3.27) ¯q = − R q (3.28) 35 rq
¯Φ das gesuchte Potential liefert. In der Tat, haben wir mit dieser Wahl: 4πɛ0 ¯ Φ(R, θ, φ) = − rq R q 1 � R rq r2 q + R2 − 2Rrq cos γ , (3.29) was sich auf der Kugeloberfläche r = R genau mit (3.24) weghebt. Das Gesamtpotential Φ(r, θ, φ) + ¯ Φ(r, θ, φ) (3.30) mit (3.24), (3.25), (3.27), (3.28) ist eine Lösung der Poisson Gleichung ausserhalb der Kugel, die auf der Kugeloberfläche r = R identisch verschwindet. Nach dem Eindeutigkeitstheorem ist diese die einzige Lösung mit den gegebenen Randbedingungen und somit die gesuchte Lösung. 3.4 Greensfunktionen Die Ergebnisse aus dem Kap. 3.3 können leicht für mehrere Ladungen im betrachteten Volumen und daher für eine beliebige Ladungsdichteverteilung ρ(r) verallgemeinert werden. Wegen des Superpositionsprinzips trägt jede Ladung unabhängig zum Potential bei. Zusammen mit ihrer Abbildung ist der Beitrag von jeder Ladung zum Potential auf der Leiteroberfläche gleich 0, wie es sein muss. In diesen Beispielen besteht das Gesamtpotential Φ aus zwei Teilen: ein Teil, Φp, ist das übliche Potential einer Ladungsdichte im Vakuum (1.16), und erfüllt die Poissongleichung (2.26), der zweite Teil Φ0 erfüllt die Laplacegleichung ∇ 2 Φ0 = 0 im betrachteten Raum, und ist so gewählt, dass das Gesamtpotential Φ = Φp + Φ0 die Randbedingungen erfüllt. Diese Vorgangsweise hat den Nachteil, dass Φ0 von den Randwerten und von ρ abhängt. Es wäre wünschenswert, wenn man mit Funktionen arbeiten könnte, welche nur von der Form der Berandung abhängen. Dies gelingt mit Hilfe der Technik der Greensfunktionen. Die Greensche Funktion G(r, r ′ ) genügt der Poissonschen Differentialgleichung ∇ 2 rG(r ′ , r) = − δ(r − r′ ) ɛ0 (3.31) eine Lösung ist natürlich gegeben durch das Potential einer Ladung q = 1 in r. Dies ist aber nicht die einzige Lösung. Weitere Lösungen findet man durch Addition einer beliebigen Funktion, welche die Laplace-Gleichung erfüllt. Wir verwenden jetzt die II Greensche Identität, gegeben durch (2.33), von der man den gleichen Ausdruck mit f ↔ g abzieht und über das Volumen V (mit Oberfläche F ) unter Anwendung des Gauß’schen Satzes integriert 1 : � � (f∇g − g∇f) · d S = (f∇ 2 g − g∇ 2 f)dV . (3.32) F Wir setzen in (3.32) f(r) = G(r ′ , r) und g(r) = Φ(r) mit der Poisson-Gleichung und (3.31) ein, multiplizieren mit −ɛ0 und erhalten: Φ(r ′ � ) = G(r ′ � , r)ρ(r)dV + ɛ0 d S n · (G(r ′ , r)∇Φ(r) − Φ(r)∇G(r ′ , r)) . (3.33) V F 1 falls nicht spezifiziert wirkt ∇ auf r (∇r ′ würde auf r′ wirken). Weiterin ist d V = d 3 r, d V ′ = d 3 r ′ 36 V
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