Kapitel 3 Randwertprobleme der Elektrostatik

Abbildung 3.2:
In einem Metall, in dem E1 = 0, erhalten wir daher aus (3.13) und (3.14)
n · E2 = σ(r)
ɛ0
E2� = 0 . (3.18)
Typische Dirichlet-Probleme sind Probleme mit gegebener Ladungsdichte in der Nähe
eines oder mehrere Metallstücke (Fig. 3.2) (A), die evtl. den physikalischen Raum umgeben
(B). Ein Von Neumann Problem kann man sich vorstellen für ein Metall bei dem die
Flächeladungsdichte (und aus (3.14) E · n) vorgegeben ist.
Wir werden Methoden studieren, die uns erlauben für gegebene Randbedingungen und
Ladungsverteilung eine Lösung der Poissongleichung zu finden. Das Eindeutigkeitstheorem
(3.1) garantiert, dass diese Lösung die einzige ist.
3.3 Spiegelladung
Diese Methode zur Lösung des Randwertproblems besteht darin, außerhalb des zu untersuchenden
Bereichs sogenannte Spiegel-Ladungen geeigneter Größe so anzubringen, dass
mit ihrer Hilfe gerade die geforderten Randbedingungen erfüllt werden. Dieses Verfahren
ist deshalb erlaubt, weil man zur Lösung der (inhomogenen) Poisson-Gleichung jede
Lösung der (homogenen) Laplace-Gleichung addieren darf (vgl. Abschnitt 2.4). Durch die
Spiegelungsmethode wird diejenige Lösung der Laplace-Gleichung ausgewählt, die addiert
mit der gewählten speziellen (bekannten) Lösung der Poisson-Gleichung (die einzelstehende
Ladung) die geforderten Randbedingungen erfüllt.
3.3.1 Punktladung vor leitender Ebene
Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Punktladung q im Abstand a von einer leitenden
Ebene, welche geerdet sei (d.h. Φ = 0 auf der Ebene). Die Spiegelladung q’ denken wir uns
bzgl. der Ebene spiegelsymmetrisch zu q angebracht (Skizze). Dann beträgt das Potential
im Punkt P:
(4πɛ0) Φ(P ) = q q′
+
r r ′
(3.19)
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