Mitschrift vom 30.06.2000

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Theoretische Informatik 1 Vorlesungsskript <strong>vom</strong> Freitag, 30. Juni 2000 4.7 Reguläre Grammatiken Allgemeine Grammatiken : Zusammenfassung des bisher behandelten Stoffes : - Prozesse des Erlernen von Sprachen → Automaten - Charakterisierungen → Pumping-Lemma, Abschlusseigenschaften, algebraisch - Beschreibungen → reguläre Ausdrücke - Erzeugungprozesse → Grammatiken Beispiel einer allgemeinen Grammatik : Produktions- / Ableitungsregeln : Es handelt sich hierbei um jene Regeln, nach denen die verschiedenen Symbole verwendet bzw. ersetzt werden dürfen. → → Hund → Katze → Katze → Maus → beißt → jagt Erläuterung der verschiedenen Symbolen: : Nichtterminalsymbole Hund, Katze, beißt, ... : Terminalsymbole : Startsymbol Ableitungsprozess : Beispiel einer Anwendung der Produktionsregeln dieser Grammatik. → → Katze → Katze beißt → Katze beißt Maus - 4 -
Theoretische Informatik 1 Vorlesungsskript <strong>vom</strong> Freitag, 30. Juni 2000 Definition X : ¥ ¦ § Eine Grammatik G beschreibt man durch ein Quadrupel G = (N, T, P, σ ) wobei folgendes gilt: - N ist die nichtleere endliche Menge von Nichtterminalsymbolen. - T ist die nichtleere endliche Menge von Terminalsymbolen. - N ∩ T = ∅ , Es gibt keine Terminalsymbolen die gleichzeitig Nichtterminalsymbolen sind und umgekehrt. - σ ∈ N ist das Startsymbol. { } ∗ - P ⊆ ( α β) α, β∈ ( N ∪T ) , ist die endliche Menge der Produktionen oder auch Produktions- oder Ableitungsregeln. Bemerkung : α, β schreibt man auch ⎯⎯→ β oder auch α ⎯⎯→ β , wenn der Bezug zur Grammatik eindeutig Statt ( ) ist. Es seien ( ) ∗ w ∈ N ∪T α G v, . Dann sei des weiteren v ableitbar aus w ( Formal dargestellt: ⎯⎯→ ∗ v , bzw. vereinfacht w ⎯⎯→ ∗ v oder w ⎯⎯→ v ) , w G wenn Wörter der Art ( ) ∗ ,..., v ; u ,..., u ; z ,..., z ; α ,..., α ; β ,..., β ∈ N ∪T v1 k 1 k 1 k 1 k −1 1 k−1 v1 w, vk = v, vi = ui α i zi , vi 1 = uiβ i zi für alle i = 1 existieren, dann gilt: = + ,..., k −1 . Darstellung: v = u α z → u β z = u α z → u β z = u α z → ... → v . 1 1 1 1 1 1 1 Die von einer Grammatik G erzeugte Sprache L(G ) ist definiert durch: L ∗ ( G) = { w∈ T a ⎯⎯→ ∗ w} . G 2 2 Beispiele für allgemeine Grammatiken nach der Definition X : n n 1) Man nehme die Sprache L = { a b n ∈ IN} 2 2 2 1 , für welche die Grammatik G 1 = ( N1 , T1 , P1 , σ1 ) mit 1 = { σ1} 1 = { a b} und P 1 = { σ1 → aσ1b, σ1 → ε} . T , In diesem Fall sieht der Ableitungsprozess folgendermaßen aus: n n n n → aσ b → aaσ bb → → a σ b → a b σ 1 1 1 ... 1 , woraus folgt: ( G1 ) L1 - 5 - 2 3 3 3 L = . N , 2) Man definiere für die korrekte Klammerung durch begin und end in einem Programm folgende Grammatik G 2 = ( N 2 , T2 , P2 , σ 2 ) mit N 2 = { σ 2} , T 2 = { begin, end} und P 2 = { σ 2 → begin σ 2end σ 2 , σ 2 → ε} . Der Ableitungsprozess besitzt folgendes Aussehen: σ → begin σ end σ → begin σ end → begin begin σ end σ end → begin begin end σ end 2 2 2 → begin begin end begin σ end σ end → begin begin end begin σ end end → begin begin end begin end end ⇒ begin begin end begin end end 2 2 2 2 2 2 2
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