Mitschrift vom 30.06.2000

Theoretische Informatik 1 Vorlesungsskript vom Freitag, 30. Juni 2000
Index:
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(Matrikelnummer: 702899)
Seite :
4.6 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen............................................................................................. 1
Satz W.................................................................................................................................... ............1
Zugrundeliegende Idee des Pumping-Lemma....................................................................................2
Beweis des Pumping-Lemma.............................................................................................................2
Hinweise zum Pumping-Lemma........................................................................................................3
Beispiele zum Pumping-Lemma........................................................................................................3
4.7 Reguläre Grammatiken..............................................................................................................................4
Allgemeine Grammatiken..................................................................................................................4
Zusammenfassung des bisher behandelten Stoffes.............................................................. 4
Beispiel einer allgemeinen Grammatik............................................................................... 4
Definition X...................................................................................................................... ...5
Beispiele für allgemeine Grammatiken nach der Definition X............................. 5
Reguläre Grammatiken .....................................................................................................................6
Definition Y.........................................................................................................................6
Beispiel einer regulären Grammatik nach der Definition Y.................................. 6
Satz Z.....................................................................................................................6
Beweis.....................................................................................................6
Beweis für „⇒“.........................................................................6
Beweis für „⇐“.........................................................................7
4.6 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen:
Das Pumping-Lemma ist ein zentrales Hilfsmittel um zu entscheiden bzw. um nachzuweisen, dass eine Sprache
nicht regulär ist.
Satz W :
∗
Es sei X ein Alphabet, dann existiert zu jeder regulären Sprache R ⊆ X ein n ∈ IN , so dass für alle Wörter
z ∈ R mit z ≥ u eine Zerlegung z = uvw mit u, v,
w X , v ≠ ε und uv ≤ n existiert, für die gilt:
uv w R
i ∈ für alle i ≥ 0.
Formal:
∗
∈ ∗
∀R
∈ Re g ∃n
∈ IN ∀z
∈ R , z ≥ n ∃uvw∈
X : z = uvw ∧ v ≠ ε ∧ uv ≤ n : ∀n
∈ IN 0 : uv w R .
- 1 -
i ∈

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Zugrundeliegende Idee des Pumping-Lemma :
Es existiert eine Pumpstelle in allen regulären Wörter z ab einer gewissen Länge n.
¡
Endliche Akzeptoren : Um unbeschränkte Wörter zu erkennen, muss ein Akzeptor in Zyklen laufen, wobei
man diese Zyklen mehrfach durchlaufen kann.
v (*)
Graphische Veranschaulichung:
Reguläre Ausdrücke : Ein * -Operator ermöglicht einige Methoden eine unendliche Sprache zu beschreiben.
Dies ergibt, dass sehr lange Wörter viele Wiederholungen desselben Teilwortes
enthalten. w1 L* wn n ∈IN
Beweis des Pumping-Lemma :
Es sei R eine reguläre Sprache und zu R existiert ein endlicher deterministischer Akzeptor A = (X, S, δ, s0 ) mit
L(A ) = R.
Nun wähle man n:= |s | , wobei z ∈R und |z | ≥ n ist.
Dann gibt es mindestens einen Zustand, welcher bei der Eingabe von z zweimal durchlaufen wird,
also :
z = x ,..., x , wobei gilt: r ≥ n und xi
∈ X für i = 1,...,
r .
Graphische Darstellung:
1
r
Nun erkennt man:
Für das erste Auftreten eines Zustandes sj = sk gilt:
u : = x ... x j und v : = x j+
1 ... xR
≠ ε
1 .
Damit gilt für das erste Auftreten : uv = x ... x ≤ n
Daraus lässt sich nun folgern:
δ s n = δ s , uv = δ s
i
, uv mit i ≥
1 . Damit ist : k + 1 ... r
- 2 -
w = x x .
Offenbar ist ( ) ( ) ( ) 0 , woraus folgt δ ( s uv w)
= δ(
s , uvw)
= s ∈ F
⇒ w∈
R mit i ≥ 0 .
uv i
0 , 0
0
u
S0 Sj S
x 1 x 2 x j x j+1 x j+2 x k-1
S0 S1
u
. . . Sj = Sk Sj+1 . . . Sk-1
x k+1
x k+2
v
xR
Sk+1 . . .
w
xr
i
0 , 0
S
w

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Hinweise zum Pumping-Lemma :
¢
£
Das Pumping-Lemma ist keine Äquivalenzaussage. Es ist nur eine Implikation:
Ist eine Sprache L regulär, dann erfüllt L das Pumping-Lemma.
Der umgekehrte Weg ist nicht möglich.
Eine Typische Anwendung des Pumping-Lemma ist um zu zeigen, dass eine Sprache L nicht regulär ist.
Aber das Pumping-Lemma kann oft nicht Angewendet werden, da es Sprachen gibt, welche die Bedingungen
des Pumping-Lemma erfüllen, aber dennoch nicht regulär sind.
Beispiel :
Man nehme an es existiert eine nicht reguläre Sprache L mit { } { } ∗
m n n
L c a b m n 0 a,
- 3 -
= , ≥ ∪ b ,
dann existieren folgende Pumpmöglichkeiten für L :
L unterteilt in uvw: 1) v = c i , mit i ≥ 0 ⇒ v wird gepumpt und das Wort bleibt Element von L.
2) v = a i b i , mit i ≥ 0 ⇒ a, b wird gepumpt und das Wort bleibt Element von L.
Beispiele zum Pumping-Lemma :
P
1) Man definiere eine nicht reguläre Sprache L { O p ist eine Primezahl}
= .
Annahme : L ist regulär. ⇒ Dann muss L das Pumping-Lemma erfüllen.
Daraus folgt diese Beweisführung:
Man wähle ein n nach dem Satz W und es sei r eine Primezahl mit r > n.
r ∈
Des weiteren sei z = O L .
⇒ Dann existiert eine Zerlegung z = uvw mit
r
O t i r ∈
⋅ +
s
uv ≤ n , u = O , v = O mit s , t ≠ 0 .
Für O gilt auch L für alle i ≥ 0 .
⇒ Folglich sind alle Zahlen r + i ⋅t
Primezahlen. Nach spätestens t Zahlen kommt also immer eine
Primezahl. Nun setze man i = r , dann ist r + r ⋅t
eine Primezahl.
⇒ r ⋅( 1+ t)
ist eine Primezahl, andererseits sind r und 1 + t Faktoren von r ( + t)
⇒ L ist nicht regulär.
m
2) Es sei die Sprache L { O m ist Quadratzahl}
= nicht regulär.
Man gehe auch hier von der Annahme aus, dass L regulär ist.
Die Beweisführung lautet dann folgendermaßen:
t
⋅ 1 . ¤
Unter der Bedingung, dass L regulär ist, muss es ein n ∈ IN existieren, so dass sich jedes Wort zu der Form
mit m ≥ n und m Quadratzahl
, sich in die Form z = uvw zerlegen lässt, mit den entsprechenden
Eigenschaften:
i
v ≠ ε,
uv ≤ n,
uv w∈
L mit i ≥ 0 .
O m
2
Nun wähle man speziell: 0 n
z =
und betrachte zugleich die Zerlegung z = uvw .
Daraus folgt wegen der Bedingung des Pumping-Lemma : 1 ≤ v ≤ uv ≤ n .
Ferner ist für i = 2 : uv w ∈ L
( ) ( ) 2
2
w < + 1
2
¤ ⇒ nv
∉
L
n ⇒ L ist nicht regulär !
, anderseits soll gelten: ( ) 2
2
2 2
2
n = z = uvw < uv w ≤ n + n < n + n + 1 = n + 1

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4.7 Reguläre Grammatiken
Allgemeine Grammatiken :
Zusammenfassung des bisher behandelten Stoffes :
- Prozesse des Erlernen von Sprachen → Automaten
- Charakterisierungen → Pumping-Lemma, Abschlusseigenschaften, algebraisch
- Beschreibungen → reguläre Ausdrücke
- Erzeugungprozesse → Grammatiken
Beispiel einer allgemeinen Grammatik :
Produktions- / Ableitungsregeln :
Es handelt sich hierbei um jene Regeln, nach denen die verschiedenen Symbole verwendet bzw. ersetzt werden
dürfen.
→
→ Hund → Katze
→ Katze → Maus
→ beißt
→ jagt
Erläuterung der verschiedenen Symbolen:
: Nichtterminalsymbole
Hund, Katze, beißt, ... : Terminalsymbole
: Startsymbol
Ableitungsprozess :
Beispiel einer Anwendung der Produktionsregeln dieser Grammatik.
→ → Katze
→ Katze beißt → Katze beißt Maus
- 4 -

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Definition X :
¥
¦
§
Eine Grammatik G beschreibt man durch ein Quadrupel G = (N, T, P, σ ) wobei folgendes gilt:
- N ist die nichtleere endliche Menge von Nichtterminalsymbolen.
- T ist die nichtleere endliche Menge von Terminalsymbolen.
- N ∩ T = ∅ , Es gibt keine Terminalsymbolen die gleichzeitig Nichtterminalsymbolen sind und umgekehrt.
- σ ∈ N ist das Startsymbol.
{ } ∗
- P ⊆ ( α β)
α,
β∈
( N ∪T
)
, ist die endliche Menge der Produktionen oder auch Produktions- oder
Ableitungsregeln.
Bemerkung :
α, β schreibt man auch ⎯⎯→
β oder auch α ⎯⎯→
β , wenn der Bezug zur Grammatik eindeutig
Statt ( )
ist.
Es seien ( ) ∗
w ∈ N ∪T
α G
v, . Dann sei des weiteren v ableitbar aus w
( Formal dargestellt: ⎯⎯→
∗ v , bzw. vereinfacht
w ⎯⎯→
∗ v oder w ⎯⎯→
v ) ,
w G
wenn Wörter der Art ( ) ∗
,..., v ; u ,..., u ; z ,..., z ; α ,..., α ; β ,..., β ∈ N ∪T
v1 k 1 k 1 k 1 k −1
1 k−1
v1 w,
vk
= v,
vi
= ui
α i zi
, vi
1 = uiβ
i zi
für alle i = 1
existieren, dann gilt: = + ,..., k −1
.
Darstellung: v = u α z → u β z = u α z → u β z = u α z → ... → v .
1
1
1
1
1
1
1
Die von einer Grammatik G erzeugte Sprache L(G ) ist definiert durch:
L
∗ ( G)
= { w∈
T a ⎯⎯→
∗ w}
.
G
2
2
Beispiele für allgemeine Grammatiken nach der Definition X :
n n
1) Man nehme die Sprache L = { a b n ∈ IN}
2
2
2
1 , für welche die Grammatik G 1 = ( N1
, T1
, P1
, σ1
) mit 1 = { σ1}
1 = { a b}
und P 1 = { σ1
→ aσ1b,
σ1
→ ε}
.
T ,
In diesem Fall sieht der Ableitungsprozess folgendermaßen aus:
n n n n
→ aσ b → aaσ
bb → → a σ b → a b
σ 1 1
1 ... 1
, woraus folgt: ( G1
) L1
- 5 -
2
3
3
3
L = .
N ,
2) Man definiere für die korrekte Klammerung durch begin und end in einem Programm folgende Grammatik
G 2 = ( N 2 , T2
, P2
, σ 2 ) mit N 2 = { σ 2}
, T 2 = { begin,
end}
und P 2 = { σ 2 → begin σ 2end
σ 2 , σ 2 → ε}
.
Der Ableitungsprozess besitzt folgendes Aussehen:
σ → begin σ end σ → begin σ end → begin begin σ end σ end → begin begin end σ end
2
2
2
→ begin begin end begin σ end σ end → begin begin end begin σ end end → begin begin end begin end end
⇒
begin
begin
end
begin
end
end
2
2
2
2
2
2
2

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Reguläre Grammatiken :
Die Typisierung von Grammatiken und der Bezug zu speziellen Sprachklassen erfolgt über die Einschränkung
der Form der Produktion.
Definition Y :
Eine Grammatik G = (N, T, P, σ ) heißt rechtslineare Grammatik, wenn gilt
∗
∗
Für alle ( α, β)
∈ P existiert ein α ∈ N und ein β∈ T oder ein β = β'
B mit β' ∈T
und B ∈ N .
Analog : Bei der linkslinearen Grammatik wird das „ β = β'
B “ durch „ β = B β'
“ ersetzt.
Beispiel einer regulären Grammatik nach der Definition Y :
Man nehme an, zu der Sprache { } { } ∗ ∗ = a ⋅ b
L existiert eine reguläre Grammatik = ( N,
T,
P,
σ)
definierte ist mit N = { a,
σ'}
, T = { a,
b}
und P = { σ → aσ,
σ → σ',
σ'
→ σ'b,
σ'
→ ε}
⇒ L ( G)
= L .
Satz Z :
- 6 -
G , welche
∗
Sei X ein Alphabet, dann existiert zu jeder regulären Sprache L ⊆ X eine rechtslineare Grammatik G, führ die
gilt: L ( G)
= L und umgekehrt.
Beweis :
Der Beweis ist unterteilt in zwei Beweise für jeweils eine Richtung, also einer für „⇒“ und einer für „⇐“.
Beweis für „⇒“ :
∗
Es sei die Sprache ⊆ X
L regulär. Dann existiert ein endlicher deterministischer Akzeptor A = ( X , S,
δ,
s0
, F )
mit der Eigenschaft L = L(
A)
.
Beweisidee :
Man konstruiere eine Grammatik aus der Zustandsüberführungsaktion δ.
Die Zustandsüberführungsaktion δ wird also zur Grammatik.
Beweisführung:
Es sei eine Grammatik G = ( N,
T,
P,
σ)
definiert durch:
N := S , T := X , σ := s0 und s → xs'
∀s,
s'∈
S : δ(
s,
x)
Nun ist zu zeigen: L ( G)
= L
Es sei ein Wort L(
G)
w∈ mit w = x1...
xk
, xi ∈ X ⇔
definiert
s ⎯→ w ⇔ s → x s → x x s → → x ... x ⇔
{ = s } ∪{
s → ε ∀s
F}
P : = '
∈ .
0 ⎯
G
0 1 1 1 2 2 ... 1 k
∀ ∈{
0 ,..., k −1}
: δ(
si
, xi+
1 ) = si+
1
∗
sk ∈ F ⇔ δ s0
, w = sk
i und ( ) F w L(
A)
L
∈
⇔
∈
=
.

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Beweis für „⇐“ :
G = N,
T,
P,
σ eine rechtslineare Grammatik.
Es sei ( )
Beweisidee :
Wir konstruieren einen nichtdeterministischen Akzeptor A ( X S,
δ,
s , F )
Beweisführung:
A X S,
δ,
s , F
Es sei = ( ) mit ( G)
L(
A)
, 0
L = definiert durch :
{ }
- 7 -
= .
, 0
⎧ σ,
α , falls σ → ε ∈ P
S : = N ∪{
α}
mit α ∉ N , s0 : = { σ}
und F = ⎨
.
� { α}
, falls σ → ε ∉ P
B ∈ δ(
A,
x)
, falls A → xB ∈ P
Des weiteren gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten :
.
α ∈ δ A,
x , falls A → x ∈
( ) P
Nun soll gelten für n ≥ 1:
Ein Wort w = x1...
xn
mit xi ∈ X ist Element von L ( G)
.
⇔ Es existiert eine Folge von Nichtterminalsymbolen A1,..., An−1
für die gilt:
→ A → x x A → → x ... x A → x ... x = w .
⇔ L(
A)
σ x1 1 1 2 2 ... 1 n − 1 n−1
1 n
⇔ Es existiert eine Folge von Zuständen A1,..., An−1
mit
A ∈ δ σ x , A ∈ δ A , x , ..., α ∈ δ A , x .
w∈ .
( ) ( ) ( )
1 , 1 2 1 2
n−1
n