Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

Theoretische Physik II
- Elektrodynamik -
Mitschrift der Vorlesung von Dr. Berndt Bruhn
- Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald -
2. Korrektur der 2. Auflage

Vorwort
Ich möchte diese Gelegenheit nutzen, um Björn Hülsen und Matthias Wolter recht herzlich zu danken,
denn ohne ihre tatkräftige Unterstützung wäre die Vorlesungsmitschrift in dieser Art und Weise nicht
möglich gewesen.
Dieses Skript ist nur eine Mitschrift der Vorlesung. Ich habe versucht, die Vorlesung so originalgetreu
wie möglich wiederzugeben. Dabei wurden nur einige mathematische Erklärungen ausgegliedert und in
einem vorangestellten separaten Abschnitt zusammengefaßt.
Euch wird beim Lesen ein unbekanntes Zeichen über den Weg laufen, daß ungefähr so aussieht:
∆·
Hierbei handelt es sich um den Laplace-Operator. Ich habe das für gewöhnlich verwendete Delta etwas
abgewandelt, damit die Bezeichnung eindeutig wird und nicht mit einer Differenz verwechselt werden
kann.
Es gibt auch immer Unterschiede bei der Notation, was die Proportionalität, die Asymptotik und das
komplex Konjugierte betrifft. In diesem Skript gibt es die folgende Konvention:
∼ proportional ∝ asymptotisch
∗ komplex konjugiert
Es kann natürlich sein, daß sich Fehler eingeschlichen haben. Sollten euch etwaige Attacken des Fehlerteufels
auffallen, wäre es schön, wenn ihr sie mir mitteilt (bitte die Auflage angeben).
3
Gordon Grubert
Greifswald, Oktober 2003
grubert@physik.uni-greifswald.de

4
Inhalt der Vorlesung
1 Einführung 6
2 Mathematische Grundlagen 7
3 Die Maxwell’schen Gleichungen 10
3.1 Maxwell-System ohne Rückwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.3 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Elektrostatik 21
4.1 Lösungen mittels Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Skalares Potential, Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 Energie des Coulomb-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 Energie des Feldes einer beliebigen Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.3 Energie einer Ladungsverteilung in einem äußeren Feld . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Elektrische Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4.1 Elektrischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4.2 Elektrischer Quadrupol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Leiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5.1 Minimaleigenschaft der elektrostatischen Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.2 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Magnetfeld stationärer Ströme 44
5.1 Lösung mittels Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.1 Eichtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2 Biot - Savart’sches Gesetz (für dünne Leiter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Energie von Stromverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Magnetische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 Energie einer Stromverteilung im äußeren Feld � B a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Magnetischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5 Kräfte von Magnetfeldern auf Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Felder quasistatischer Ströme 58
6.1 Induktionsvorgänge in Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Schwingungsdifferentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3 Der Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Elektromag. Felder beliebiger zeitabh. Ladungen und Ströme 67
7.1 Elektrodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2 Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Der Hertz’sche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3.1 Berechnung der retardierten Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3.2 Berechnung der Feldstärken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3.3 Diskussion dieser Lösung der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.4 Energieverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.4 Liénhard-Wichert’sche Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8 Elektromagnetische Wellen (freie Wellen) 81
8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.1.1 Die allgemeine ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.1.2 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1.3 Ebene harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1.4 Energieverhältnisse für ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.5 Polarisation von elektromagnetischen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2 Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Inhaltsverzeichnis 5
8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen) . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.1 Kirchhoff’sche Formel (1882) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3.2 Fraunhofer’sche Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik 99
9.1 Die Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2 Die Maxwellgleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.3 Transformationsgesetz und Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4 Doppler-Effekt und Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Stichwortverzeichnis 109

6
1 Einführung
• Aufgabe: In diesem Gebiet der Physik wird ein gewisser Typ von speziellen Kräften (elektromagnetische
Kräfte) aus noch zu formulierenden Voraussetzungen berechnet.
• Aus der Entwicklung ergeben sich 2 neue Begriffe: Ladung, elektromagnetisches Feld
• Ziel: Felder sind reale Dinge; Träger von Energie, Impuls und Informationen
• (klassischer) Feldbegriff:
– Felder ordnen jedem Punkt des Raumes und der Zeit eine oder mehrere Funktionen zu (sog.
Feldfunktionen), die gewisse physikalisch meßbare Eigenschaften beschreiben
– je nach Transformationsverhalten gegenüber Drehungen im Raum (orthogonale Transformationen)
unterscheiden wir die Felder (Skalar-, Vektor-, Tensor-,. . . ); je nachdem, ob die Feldfunktionen
einen Skalar, Vektor, Tensor, . . . bilden
Beispiel:
Skalar: S(�r, t) = S(x, y, z, t) → Drehung: S = S ′
Vektor: � A(�r, t) = 3�
Ak(�r, t) �ek → Drehung: � A ′ = ^Ω � A
k=1
• Grundidee der klassischen Feldtheorie (Nahwirkungstheorie):
Das Feld am Ort xi ist durch den Zustand des Feldes in seiner infinitesimalen Umgebung
xi + dxi bestimmt
Beispiel: Skalares Feld
ϕ = ϕ(�r) = ϕ(xi) i = 1, 2, 3
→ Taylor: ϕ(xi + dxi) = ϕ(xi) + 3�
→ ∂ϕ
∂xi
k=1
∂
∂xk ϕ(xj)dxk + . . .
müssen durch physikalisch motivierte Feldgleichung(en) festgelegt werden
→ partielle Differentialgleichungen
• Voraussetzung: Alle Felder sollen mindestens 2-mal differenzierbar sein. Diese Annahme können wir
durch ”physikalische Plausibilität” begründen:
→ Felder werden prinzipiell über ihre Wirkung auf ”Probeobjekte” gemessen
→ Messung niemals an einem Punkt, sondern über ein kleines endliches Raum-Zeit-Gebiet
→ Unstetigkeitsstellen werden weggemittelt
→ wir erhalten glatte Funktion → differenzierbar
• Wir sehen vom atomistischen Charakter der elektrischen Ladung ab;
Kontinuumsaspekt → ”Verteilungen”, ”Dichten”

Mathematische Grundlagen 7
2 Mathematische Grundlagen
In diesem Abschnitt geht es darum, in kurzer Form die wichtigsten mathematischen Hilfsmittel aufzulisten
und zu erklären, die für das Verständnis dieses Skripts erforderlich sind.
Einstein’sche Summenkonvention
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Wohl am häufigsten werden wir von ihr Gebrauch machen. Es handelt sich hierbei um eine vereinfachte
Schreibweise von Summen, die, wie der Name schon sagt, von Albert Einstein eingeführt wurde.
Die Grundidee ist, daß über doppelte Indizes summiert wird. In Formeln sieht das ganze dann so aus:
3�
i=1
∂
∂xi
Bi = ∂
∂xi
Der Index i taucht zweimal auf. Deshalb wird über ihn summiert. Wir behalten dabei im Hinterkopf, daß
wir uns im dreidimensionalen Raum befinden und der Index aus diesem Grund immer von 1 bis 3 läuft.
Integralsätze
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Eine weitere wichtige Sache sind die Integralsätze von Gauß und Stokes, die uns auch des öfteren begegnen
werden. Ihre Anwendung ist in den Umformungen dann dadurch gekennzeichnet, daß über dem
Gleichheitszeichen ”Gauß” oder ”Stokes” steht.
���
Gauß: div� ��
B dV = ◦ �B d� ��
A Stokes: rot� B d� �
A = �B d�r
V
∂V
Hierbei ist V das Volumen, über das integriert wird und ∂V der Rand dieses Volumens. Analog ist A die
Fläche, über die wir integrieren und ∂A deren Rand.
Vektorfelder
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Wir werden uns größten Teils mit Vektoren und Vektorfeldern beschäftigen. Solche Vektorfelder können
Quellen/Senken oder Wirbel besitzen. Außerdem weisen sie an ihren Rändern ein ganz spezifisches Verhalten
auf. Dafür gibt es einen wichtigen Satz aus der Vektoranalysis, der auch für uns von Bedeutung
ist:
Jedes Vektorfeld ist durch die Angabe seiner Quellen/Senken, seiner Wirbel und seines
Randverhaltens eindeutig bestimmt.
Partielle Zeitableitungen
✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Für dieses Skript benötigen wir noch einen wichtigen Fakt, der uns erklärt, warum wir manchmal aus
partiellen Zeitableitungen totale Ableitungen machen dürfen. Dies ist vor allem dann wichtig, wenn die
partiellen Zeitableitungen unter einem Integral stehen. Wenn dort nun aber eine totale Zeitableitung
stehen würde und wir über den Ort integrieren, so könnten wir die Ableitung unter dem Integral herausziehen.
Dabei hilft uns der nächste Satz.
Wenn man bei der Integration über ein(e) feste(s) Volumen/Fläche integriert und die
Grenzen einsetzt, so gibt es keine Ortsabhängigkeit mehr. Man kann demzufolge für die
partielle Zeitableitung die totale Zeitableitung schreiben und diese vor das Integral ziehen.
Kronecker-Symbol
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Dies ist eines der wichtigsten Symbole in der Physik. Dieses Symbol ist wie folgt definiert:
�
1, j = k
δjk =
Es gilt: xk δkl = xl
0, j �= k
Diese Symbol kann man zum Beispiel für die Beschreibung der Einheitsmatrix verwenden, da bei ihr in
der Hauptdiagonalen nur die 1 und ansonsten nur die Null vorkommt.
Man kann das Kronecker-Symbol auch noch in der folgenden Weise darstellen:
δik = ∂xi
∂xk
Bi
A
∂A

8
Wenn man eine Ortskoordinate nach sich selbst ableitet, ergibt dies ja 1 und nach einer anderen abgeleitet
wird der Ausdruck dann Null.
ε-Symbol
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Das ε-Symbol heißt auch Levi-Civita-Symbol oder Epsilon-Tensor. Es ist definiert als:
⎧
⎪⎨ 1, klm = 123 und deren zyklische Vertauschung
εklm = −1, klm = 213 und deren zyklische Vertauschung
⎪⎩
0, sonst (z.B. wenn ein Index doppelt auftritt)
Man kann dieses Symbol unter anderem für die Darstellung von Kreuzprodukten verwenden.
c1 = (�a × � b)1 = ε1lm al bm = a2 b3 − a3 b2
Außerdem kann man mit dem ε-Symbol auch die Rotation ausdrücken.
εlki
∂ai
= (rot �a) l
∂xk
(l-te Komponente)
In dieser Vorlesung werden Produkte von ε-Symbolen auftreten. Wir brauchen demzufolge noch ein paar
Rechenregeln, wie wir mit diesen Produkten umgehen.
εklm εmrs = δkr δls − δks δlr
εklm εlrs = − (δkr δms − δks δmr)
εklm = − εkml
εklm = εlmk = εmkl
Dirac’sche δ-Funktion
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Unter der Dirac-Funktion versteht man die Funktion, die nur an einer Stelle definiert ist. Sie ist auf dem
ganzen Definitionsbereich bis auf eine einzige Stelle identisch Null. An dieser einen Stelle ist sie unendlich
hoch. Man kann sich dies so vorstellen, als ob man z.B. eine Gauß-Verteilungskurve hat, die man nun
immer weiter zusammendrückt. Der Flächeninhalt unter der Kurve bleibt dabei konstant. Demzufolge
wächst sie immer höher und wenn sie auf eine Stelle zusammengedrückt wurde, dann ist sie unendlich
hoch. Die δ-Funktion ist mittels ”Testfunktionen” yi(x,ε) definiert.
Die Testfunktionen können z.B. wie folgt aussehen:
δ(x) = lim
ε→0 y(x, ε)
1
x2 −
y(x, ε) = √ e 2ε
2 π ε 2
y(x, ε) = 1
� � ��
x sin ε
π ε
Jetzt nun ein paar der wichtigsten Eigenschaften dieser Funktion, die wir zum Teil auch brauchen werden:
f(x0) =
∞�
−∞
δ(x) = δ(−x)
δ(ax) =
1
| a | δ(−x)
δ(�r) = δ(x) δ(y) δ(z)
x
ε
f(x) δ(x − x0) dx x0 . . . Stelle, wo der Peak ist
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Vektoranalysis
Im Skript werden ständig die Begriffe des Gradienten, der Divergenz und der Rotation auftreten. Sie
sollen jetzt auch nur kurz definiert und einige Rechenregeln genannt werden.

Mathematische Grundlagen 9
Gradient grad U = � n� ∂U
∇ U = �ei
∂xi i=1
Divergenz div �v = � n� ∂vi
∇ �v =
∂xi
Rotation rot �v = � ∇ × �v
Hierbei ist U eine skalare Funktion, �ei ist ein Basisvektor und �v ist eine vektorielle Funktion. Hier taucht
nun ein neuer Operator auf; der sogenannte Nabla-Operator. Er ist wie folgt definiert:
Rechenregeln: (Auswahl)
Nabla-Oparator: � ∇ = ∂
grad(cU) = c grad(U) c ∈ R
grad(U1 + U2) = grad(U1) + grad(U2)
grad(U1 · U2) = U1 grad(U2) + U2 grad(U1)
div(c�v) = c div(�v) c ∈ R
div(�v1 + �v2) = div(�v1) + div(�v2)
div(U · �v) = �v grad(U) + U div(�v)
div(�v1 × �v2) = �v2 rot(�v1) − �v1 rot(�v2)
rot(c�v) = c rot(�v) c ∈ R
rot(�v1 + �v2) = rot(�v1) + rot(�v2)
rot(U · �v) = U rot(�v) − �v × grad(U)
∂x1
i=1
�e1 + ∂
∂x2
�e2 + ∂
∂x3
div(rot(�v)) = 0 ⇔ � ∇( � ∇ × �v) = 0 ∀ �v
rot(grad(U)) = 0 ⇔ � ∇ × ( � ∇U) = 0 ∀ U
div(grad(U)) = � ∇ 2 U = ∆· U Definition des Laplace-Operators
rot(rot(�v)) = grad(div(�v)) − ∆· �v
�e3

10
3 Die Maxwell’schen Gleichungen
1 div � B = 0 Nichtexistenz der magnetischen Ladung
2 div � D = ρel elektrische Ladung = Quellen des � D-Feldes
3 rot � E = − ˙ � B Induktionsgesetz
4 rot � H = � j + ˙ � D Ampèresches Verkettungsgesetz
Die Gleichungen (I) sind die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form. Die Feldgrößen, mit denen wir
es zu tun haben, sind:
� E, � D, � H, � B = � f(�r, t)
Mit Hilfe der Integralsätze von Gauß und Stokes können wir aus (I) zu den Maxwell-Gleichungen in
integraler Form übergehen.
1
2
3
4
��
◦ �B d� A = 0
��
◦
∂V
�D d� A = Qin V
∂V
� B-Feld besitzt geschlossene Feldlinien
(I)
Ladungen = Quellen / Senken des elektrischen Feldes
�
��
�
∂
E d�r = −
∂F
F
� B
∂t d� A =
− d
��
�B d
dt
F
� Ein zeitlich veränderlicher magnetischer Fluß induziert
im Rand der betrachteten Fläche ein Spannung
A
�
�H d�r = I + d
��
�D d
dt
� A I und ˙ D� �= 0 erzeugen Magnetfelder
∂F
F
Bei unseren Betrachtungen legen wir noch die folgenden Beziehungen zugrunde:
��
φ = �B d� A Magnetischer Fluß durch eine Oberfläche F
F
Qin V =
���
V
ρel dV Ladungen in einem festen Volumen V
Gleichungen (I) beschreiben die Wirbel von � E, � H und die Quellen/Senken von � B, � D.
⇒ die Gleichungen (I) sind unterbestimmt
↩→ zusätzliche Gleichungen erforderlich (Materialgleichungen):
�D = � D( � E) � B = � B( � H) � j = � j( � E) (II)
Die Gleichung für die elektrische Stromdichte ist nur dann erforderlich, wenn � j nicht vorgegeben ist! In
vielen Substanzen (Leitern) erzeugt ein elektrisches Feld einen Strom!
Beispiel für Materialgleichungen:
i) Vakuum/Luft: � B = µ0 � H; � D = ε0 � E
ii) di-/paraelektrische Substanzen: � B = µ � H; � D = ε � E; � j = σ � E
homogenes Medium: ε, µ =const.
inhomogenes Medium: ε, µ = f(�r)
iii) Polarisation/Magnetisierung: � D = ε0 � E + � P; � B = µ0 � H + � M
iv) � D = ^ε � E; � B = ^µ � H (^ε, ^µ sind Tensoren 2. Stufe)
Dieser Fall tritt z.B. bei der Doppelbrechung auf.

3.1 Maxwell-System ohne Rückwirkung 11
v) Nichtlineare Funktionen: z.B. � D = α � E + β ( � E 2 ) � E + . . .
→ bei sehr hohen Feldstärken (LASER, nichtlineare Optik)
Falls uns ρel(�r, t) und � j(�r, t) nicht vorgegeben sind, benötigen wir leider noch weitere Gleichungen:
• da die Felder auf Ladungsdichten wirken, muß die Kraftdichte angegeben werden:
� f = ρel � E
� �� �
Coulomb-Kraft
+ � j × � B
� �� �
Lorentzkraft
(III)
Über diese Kraftwirkung sind Meßvorschriften für � E und � B realisiert.
• Kraftwirkung setzt vorhandene Massen in Bewegung → jedes Massenelement bewegt sich entlang
eines Geschwindigkeitsfeldes
ρm
∂ρm
∂t + div(ρm �v) = 0
� �
∂�v
+ (�v grad)�v =
∂t �f • Die Kraftdichte (III) wirkt nur auf geladene Massen.
(IV)
Es existieren ungeladene Massen, aber es gibt keine Ladung ohne
Masse! Diese Aussage ist eine Erfahrungstatsache.
ρel = κ ρMasse
Die Gleichungen (I) bis (V) stellen ein System von sich vollständig bestimmenden Größen dar. Durch die
zusätzliche Angabe von Anfangsbedingungen ist die zeitliche Entwicklung der Felder eindeutig festgelegt.
3.1 Maxwell-System ohne Rückwirkung
(V)
Abb. 3.1: Aufgrund der Kraftwirkung und der Bewegung kommt es zu einer neuen
Feldstruktur. Hier sind die Rückwirkungen auf die Quellen nicht vernachlässigbar.
Dieses System werden wir als die Maxwell-Gleichungen im ”eigentlichen Sinne” bezeichnen.
Feldgleichungen
div � B = 0
div � D = ρel
rot � E = − ˙ � B
rot � H = � j + ˙ � D
Eigenschaften dieser Gleichungen:
+
Mat.-Gleichungen
�D = ε � E
�B = µ � H
+
− Anfangsbed.
− Randbed.
− ρel und � j vorgegeben

12
1. Es sind inhomogene, partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung zur Bestimmung der Felder � E, � D,
�B und � H als Funktionen von �r und t
2. Materialgleichungen reduzieren die 4 unbekannten Felder auf 2 ( ^= 6 unbekannten Komponenten ⇒
6 Gleichungen werden noch benötigt)
3. Linearität der Gleichungen ⇒ Superpositionsprinzip der Lösungen
• Die Summe zweier Lösungen (mit beliebigen Konstanten) des homogenen Problems ist wieder
Lösung des homogenen Problems.
• Und die Summe einer Lösung des inhomogenen Problems mit einer Lösung des homogenen
Problems ist wieder eine inhomogene Lösung
4. Elektrische und magnetische Felder sind miteinander verkoppelt (Aber nur bei sich zeitlich ändernden
Feldern, da sonst ˙ � B = ˙ �D = 0!).
5. Die Maxwell-Gleichungen sind unter der Lorentz-Transformation forminvariant (ihre Form ist in
allen Inertialsystemen gültig).
3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes
Erhaltungsgrößen spielen in der Mechanik eine wesentliche Rolle bei der Lösung der Bewegungsgleichung.
Auch in der Feldtheorie sind gewisse Erhaltungssätze formulierbar. Die zugehörigen Größen sind lokale
Größen (orts- und zeitabhängig) und die Erhaltungssätze haben die Form von Bilanzgleichungen:
∂
∂t
(Dichte) + div(Stromdichte) = ”Produktionsterm” (3.1)
Die Integration über ein festes Volumen liefert dann die dazugehörigen integralen Bilanzen.
3.2.1 Ladungserhaltung
Wir gehen von den folgenden beiden Maxwell-Gleichungen aus:
div � D = ρel
rot � H = � j + ˙ � D
Die linke Gleichung differenzieren wir nun einmal nach der Zeit (wir verwenden die Einstein’sche Summenkonvention,
vgl. Abs. 2):
∂
∂t ρel = ∂
∂t div � D = ∂
∂t
∂
∂xk
Auf die zweite Gleichung wenden wir den Divergenz-Operator an:
div (rot� � �
H) = div �j ˙
+ �D
Dk = ∂2
∂xk ∂t Dk = div ∂
∂t � D = div ˙ � D
Wenn wir jetzt beide Gleichungen zusammenfassen, so erhalten wir einen Ausdruck für die Ladungserhaltung:
Kontinuitätsgleichung:
∂
∂t ρel + div � j = 0
Die Ladungserhaltung gehört zu den starken Erhaltungssätzen in der Physik!
Wir gehen nun zur integralen Formulierung über, um einen weiteren wichtigen physikalischen Ausdruck
zu finden. ���
∂
∂t ρel dV +
���
div �j dV = 0
V
V

3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes 13
Mit Hilfe des Gauß’schen Integralsatzes (vgl. Abs. 2) eliminieren wir nun die Divergenz unter dem Integral
und benutzen die Regel, daß wir die Zeitableitung unter dem Integral herausbekommen:
���
��
d
ρel dV + ◦�j
dA � = 0
dt
V
d
dt
∂V
Qin V − I∂V = 0
d
dt Qin V = I∂V
I∂V bezeichnet den gerichteten Stromfluß durch die gesamte Oberfläche. Die Ladung in einem festen
Volumen kann sich also nur dann zeitlich ändern, wenn Ladungen durch die Oberfläche hinein oder
hinaus strömen. Ein wichtiges Beispiel hierfür ist die Kirchhoff’sche Knotenregel.
3.2.2 Energiebilanz
Abb. 3.2: Nur wenn ein Ladungsstrom hineingeht, nimmt die Ladung im Inneren
des Volumens zu.
Felder sind Träger von Energie, die nicht an einem Punkt vorliegt. Sie ist in dem Volumen gespeichert,
welches vom Feld ”erfüllt” ist.
Wir verwenden jetzt die 3. und 4. Maxwell-Gleichung mit der Voraussetzung, daß ε und µ Konstanten
sind.
rot � E = − ˙ � B = − µ ∂ � H
∂t
rot � H = � j + ˙ � D = � j + ε ∂ � E
∂t
Da die Energie ein Skalar ist, die beiden Gleichungen jedoch Vektoren liefern, machen wir einen kleinen
Kunstgriff: Wir multiplizieren die eine Gleichung skalar mit � E und die andere skalar mit � H.
� E rot � H = � E � j + ε � E ∂ � E
∂t
Zum einfacheren Verständnis folgt nun eine kurze Zwischenrechnung:
ε �E ∂�E ∂t
µ � H ∂� H
∂t
Kettenregel
= 1
2
=
∂
∂t
ε ∂
2 ∂t
�
µ � H � �
H
� �2 �E
= 1 ∂
�
ε
2 ∂t
�E � �
E
= 1 ∂
� �
�H B�
2 ∂t
= 1
2
∂
� �
�E D�
∂t
�H rot � E = − µ � H ∂� H
∂t
Diese Zwischenergebnisse können wir nun verwenden und die beiden Ausgangsgleichungen subtrahieren.
� E rot � H − � H rot � E = � E � j + 1
2
∂
� �
�E D�
∂t
⇓ Rechenregeln für Differentialoperatoren
+ 1
2
� �
div �H × �E = �E �j + 1 ∂
� �
�E D � + H� B�
� � 2 ∂t
− div �E × H�
= �E �j + 1 ∂
� �
�E D � + H� B�
2 ∂t
Wir erhalten somit für die Energiebilanz:
∂
∂t
� �
�H B�

14
Interpretation
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
∂
∂t
�
1
� �
�E D � + H� B�
2
�
� �
+ div �E × H�
= − �E �j (3.2)
ωel = 1
2 � E � D elektrische Energiedichte
ωmag = 1
2 � H � B magnetische Energiedichte
� S = � E × � H Energiestromdichte / Poynting-Vektor
− � j � E Joule’sche Wärme : Umwandlung elektromagnetischer Energie in Wärme
(irreversibler Prozeß, dissipative Erscheinung; aber auch reversible Umwandlung
in mechanische Energie)
Wir geben Energiedichten an, da die Felder kontinuierlich den Raum erfüllen.
ωelm = ωel + ωmag
↩→ Energiedichte ist quadratisch im Feld
Jetzt gehen wir zur integralen Formulierung der Energiebilanz über:
d
dt Welm
� �� �
gesamte in V enthaltene elm. Energie
Diskussion der Joule’schen Wärme:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
∂
∂t ωelm + div �S = − �j �E ���
∂
∂t ωelm
���
dV + div � ���
S dV = − �j �E dV
V
���
d
dt
V
+
V
ωelm dV +
� �� �
Gauß anwenden
��
◦ �S dA� ��
���
◦ �S dA � = − �j �E dV
∂V
∂V
� �� �
Energiestrom durch Oberfläche
V
V
= −
���
�j �E dV
�
V
�� �
in V erzeugte Joule’sche Wärme
a) Dissipation bei Vorhandensein von freien Ladungen, aber es seien keine Leiter in V
⇒ �j = ρel ��� �v ist eine reine ��� Konvektionsstromdichte
• WJ = �j �E dV = ρel �v �E dV
V
V
• Addition einer ”nahrhaften” Null: 0 = �v ρel (�v × � ���
B)
× � B) dV | �f = ρel �E + �j × � B
WJ =
WJ =
V
�v (ρel �E + ρel �v
� �� �
�j ���
�v �f dV | �f . . . elektromagnetische Kraftdichte
V
• für eine einzelne Punktladung der Masse m gilt:
�v · Kraft Newton
= �v m ˙ �v = m
2
d
dt �v2 = d
dt
T = Leistung
⇒ �v � f = Leistungsdichte!
Der Integrationsterm beschreibt also die zeitliche Änderung der kinetischen Energie aller in V enthaltenen
Ladungsträger. Wir vernachlässigen Abstrahlungen und sonstige Energietransporte durch
die Oberfläche ∂V. ��
◦ �S dA� = ∼ 0 ⇒
∂V
d
dt Welm + d
dt
Welm + T = const
T = 0

3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes 15
→ Die Änderungen von T und Welm kompensieren sich. Die Bezeichnung ”Joule’sche” Wärme ist
(hier) schlecht gewählt, da dieser Anteil auch reversible Umwandlungen von elektromagnetischer in
mechanischer Energie enthält.
b) Jetzt lassen wir auch Leiter im Volumen zu. Auch hier wollen wir einen Ausdruck für die Joule’sche
Wärme finden.
� j = ρel �v + � jLeit Konvektions- und Leitungsstromdichte
� f = ρel � E + � j × � B Kraftdichte
− � j � E = − � f �v − � j � E + � f �v ”nahrhafte Null”
Diskussion des Poynting-Vektors:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
= − � f �v − � j � E + �v (ρel � E + ( ρel �v
� �� �
fällt weg wegen �v×�v
+ � jLeit) × � B)
= − � f �v − � j � E + ρel �v � E + � jLeit ( � B × �v)
� �� �
zyklische Eigenschaft des Spatproduktes
= − � f �v − (ρel �v + � jLeit) � E + ρel �v � E − � jLeit (�v × � B)
= − � jLeit ( � E + �v × � B)
� �� �
Joule’sche Wärme → irreversible
Diesen Vektor kann man als Energiestromdichte-Vektor interpretieren.
−
� f �v
����
Arbeit an freien Ladungsträger→ reversible
◮ � S hat die Richtung, in die die elektromagnetische Energie strömt (vgl. Abs. 8.1.4)
◮ �S d� A ist die pro Zeiteinheit durch das Flächenelement in Richtung der Normalen fließende Energie
��
◮ ◦ �S dA� ist die pro Zeiteinheit durch die gesamte Oberfläche ∂V fließende Energie
∂V
◮ Offensichtlich tritt der Energiestrom nur dann auf, wenn sowohl das elektrische als auch das magnetische
Feld von Null verschieden sind (die Felder müssen simultan auftreten ⇔ i.A. für zeitlich
veränderliche Felder)
◮ Für elektromagnetische Wellen ist die Interpretation gut und auch richtig. Nur in einigen anderen
Fällen ist Vorsicht geboten.
Beispiele:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. Homogenes elektrisches und magnetisches Feld ⇔ Felder sind unabhängig von �r
∂
∂xi
Ek = 0;
∂
∂xi
Hk = 0 ⇒ div � S = 0
⇒ Es gilt stets, daß die Divergenz von � S gleich Null ist, obwohl der Vektor � S verschieden von Null
sein kann.
2. Gerader kreisförmiger Leiter mit zeitlich konstantem Strom; d
dt Welm = 0 Weiterhin gilt das
Abb. 3.3: Da � S = � E × � H, ist der Poynting-Vektor in den Leiter
hinein gerichtet.
Ohmsche Gesetz ( � j = σ � E) und div � S �= 0.
→ da stationäre Verhältnisse vorliegen, benutzen wir jetzt die Energiebilanz:

16
��
◦ �S dA � +
∂V
div�S + �j �E ���
= 0
�j �E dV = 0
V
� �� �
Joule’sche Wärme
→ da � j (und damit auch � E) konstant gehalten werden soll, geht dies nur auf Kosten
des Magnetfeldes
3. Paradoxon: Statisches inhomogenes elektrisches und magnetisches Feld
Abb. 3.4: In dieser Situation liegt ein stat. elektrisches
und magnetisches Feld vor, bei dem div � S �= 0!
� �
div �E × H�
= div�S �= 0
Hier strömt aber nichts!
→ Ausweg (evtl.): � E und � H müssen aus einer Quelle stammen. Das bedeutet,
� E und � H müssen eine simultane Lösung der Maxwell-
Gleichungen sein. Da sie gleichzeitig auftreten, sind die beiden
Felder gekoppelt und somit zeitabhängig! Eine einfache
Superposition zweier statischer Felder ist NICHT zulässig!
→ Vorteil: Man benutzte die integrale Formulierung. Sie läßt die Wahl
verschiedener Integrationsflächen zu.
��
◦
∂V1
� S d � A =
Abb. 3.5: Es ist egal, wie wir die Integrationsfläche
wählen.
Falls wirklich ein Energiestrom fließen würde, dann müßte für unterschiedliche ∂V das gleiche Resultat
herauskommen. Wenn wir eine kleine Oberfläche in der Anordnung aus Abb. 3.4 wählen, strömt sicher
etwas. Doch aufgrund der Freiheit, daß wir die Integrationsoberfläche auch ins Unendliche legen können,
strömt hier einfach nichts.
3.2.3 Impulsbilanz
Feldern kann man eine Energiedichte zuordnen. Aufgrund der Speziellen Relativitätstheorie stellen wir
uns nun die Frage nach eine Impulsdefinition, da es dort eine sehr enge Energie-Impuls-Verknüpfung gibt.
��
◦
∂V2
� S d � A

3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes 17
Mechanik (Newton):
d
dtpmech = �F = ���
�f dv
mit � f = ρel � E + � j × � B (stammt aus Erfahrung)
V
→ � f entspricht dem Produktionsterm in der allgemeinen Bilanzgleichung (3.1), denn Kräfte ”produzieren”
Impulsänderungen
Wir formen jetzt die Maxwell-Gleichungen um und versuchen, durch einen Vergleich eine Definition für
die Impulsdichte zu finden. Für diese Herleitung werden wir die Komponentenschreibweise und die Einstein’sche
Summenkonvention verwenden (vgl. Abs. 2). Weiterhin verwenden wir die Möglichkeit, Indizes
umzubenennen.
Wir verwenden nun die folgenden Gleichungen:
fk = ρel Ek + εklm jl Bm
εklm
ρel =
0 =
∂
∂xj
∂
∂xj
jk = εklm
Dj
Bj
∂
∂xl
∂
Em = −
∂xl
∂
∂t Bk
Hm − ∂
∂t Dk
⎫
⎪⎬
⎪⎭
Maxwell-Gl. in Komponentenform
Wir werden nun ρel und �j mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen substituieren.
fk = ∂Dl
∂xl
Ek
�
∂
+ εklm εlrs Hs −
∂xr
∂
∂t Dl
fk =
�
Bm
∂Dl
∂xl
Ek
∂
∂Dl
+ εklm εlrs Hs Bm − εklm
∂xr
∂t Bm
� �� �
(∗)
(∗) :
− εklm
− εklm
∂Dl
∂t Bm
∂Dl
∂t Bm
Prod.-Regel
= − εklm
Ind.-Gesetz
= − εklm
Dieses Ergebnis setzen wir nun ein:
∂
∂t (Dl
∂Bm
Bm) + εklm Dl
∂t
∂
∂t (Dl
�
∂
Bm) − εklm εmrs
∂xr
fk = − ∂
∂t (εklm Dl Bm) − εklm εmrs Dl
∂Es
∂xr
+ ∂Dl
∂xl
Ek + εklm εlrs
∂Hs
∂xr
Jetzt benutzen wir die Zerlegungsformeln für Produkte aus ε-Symbolen (siehe Abschnitt 2).
εklm εlrs
∂Hs
∂xr
Bm = ∂Hk
∂xm
− εklm εmrs Dl
∂Es
∂xr
= ∂Ek
∂xm
Dieses Zwischenergebnis setzen wir nun ein und erhalten:
Es
Bm − ∂Hm
∂xk
Dm − ∂Em
∂xk
fk = − ∂
∂t (εklm Dl Bm) + ∂Ek
Dm
∂xm � �� �
−
(1)
∂Em
Dm +
∂xk � �� �
(5)
∂Dl
Ek
∂xl � �� �
+
(2)
∂Hk
Bm
∂xm � �� �
−
(3)
∂Hm
Bm
∂xk � �� �
(4)
Nun formen wir die Terme noch etwas um. Teilweise werden wir die Materialgleichungen und die Bedingung
benutzen, daß ε und µ konstant sind.
∂
(1) + (2) (Ek Dm)
(3)
(4)
(5)
∂xm
∂Hk
∂xm
∂Hl
∂xk
∂Em
∂xk
Bm = ∂
∂xm
Mat.-Gl.
Bl
Dm
(Hk Bm) − Hk
� �
∂Bm
∂xm
� �� �
div� B=0
(HlHl) µ=const.
=
= µ ∂Hl
Hl =
∂xk
µ ∂
2 ∂xk�
�
analog zu (4) ∂ ElDl
⇒ δmk
∂xm 2
∂
∂xk
�
Dl
Bm
Dm
� �
BlHl
=
2
∂
∂xm
δmk
Bm
� �
BlHl
2

18
Jetzt nutzen wir alle Zwischenergebnisse und fügen sie zusammen und erhalten für die Kraftdichte den
folgenden Ausdruck:
fk = − ∂
∂t (εklmDlBm) + ∂
∂xm
�
EkDm + HkBm
�
HlBl
− δkm
2
+ ElDl
� ��
��
2
�
Tkm ≡ Maxwell’scher Spannungstensor
Wir können also durch Vergleich eine Definition für die Impulsdichte finden:
πk ≡ εklm Dl Bm
�π ≡ � D × � B
Jetzt wollen wir den Spannungstensor noch etwas genauer untersuchen. Seine Bezeichnung rührt aus der
Geschichte, wo man sich die Kraftwirkung durch einen Spannungszustand an den Feldlinien vorstellte.
Eigenschaften des Maxwell’schen Spannungstensors:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Eine wichtige Eigenschaft ist, daß der Spannungstensor quadratisch im Feld ist.
Weiterhin gilt, daß
Tkm = Ek Dm + Hk Bm − δkm ωelm
Tkm = Tmk
Der Spannungstensor ist ein symmetrische Tensor 2. Stufe (bei gegebenen Koordinatensystem als Matrix
darstellbar). Demzufolge können wir ihn mittels einer orthogonalen Transformation diagonalisieren. Dies
hat zu Folge, daß die Spur invariant gegenüber dieser Transformation ist.
Im folgenden setzen wir nun isotrope Verhältnisse voraus: Die Eigenwerte der Matrix (Hauptdiagonalelemente)
sind also alle gleich. Für die Spur ergibt sich nun zuerst allgemein:
Sp(^T) = Hl Bl �
+ El Dl �� �
− 3 ωelm
2 ωelm
Sp(^T) = 2 ωelm − 3 ωelm
Sp(^T) = − ωelm
Es gilt aber weiterhin bei Isotropie (gleiche Hauptdiagonalelemente):
Tkm = − pStrahl δkm
Sp(^T) = − 3 pStrahl
⇛ ωelm = 3 pStrahl
Wir haben hier etwas Grundlegendes aus der Physik gefunden. Für die Maxwell-Spannungen gilt:
Energie Kraft
=
Volumen Fläche
Die Maxwell-Spannungen stellen einen richtungsabhängigen Druck dar, den sogenannten Strahlungsdruck
elektromagnetischer Wellen! Ein Beispiel dafür ist, daß der Kometenschweif immer von der Sonne wegzeigt,
da er vom Strahlungsdruck der Sonne einfach weggedrückt wird. Der erste experimentelle Nachweis
des Strahlungsdruckes auf der Erde erfolgte 1899 durch Lebedew.
Unser Ziel in diesem Abschnitt war es aber, eine Impulsbilanz zu finden. Eigentlich haben wir dies auch
schon mit Gleichung (3.3) getan, doch wir wollen diese Gleichung mit unseren Definitionen in einer etwas
kompakteren Weise schreiben:
(3.3)

3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes 19
fk = − ∂πk
∂t
+ ∂
∂xm
Tkm ⇔ � f = − ∂�π
∂t + div ^T (3.4)
Wir wollen jetzt nur noch eine Erklärung dafür finden, warum das Minuszeichen in der Impulsbilanz
nicht mit in die Definition der Impulsdichte hineingenommen wird. Zur Erläuterung betrachten wir eine
Punktladung unter dem Einfluß elektromagnetischer Felder.
d
dt pmech k =
���
Fk = fk dV
(3.3)
=
V
���
∂
−
∂t
V
πk
Gauß
=
dV +
���
d
− πk dV
dt
���
∂
∂xm
V
V
� �� �
pfeld +
��
◦ Tkm dAm
∂V
� �� �
=
k
−
Am=nm A
d
dt pfeld k +
��
◦ Tkm nm dA
��
◦ Tkm nm dA =
d
dt
� mech
pk ∂V
+ p feld�
k
∂V
Tkm dV
Wir betrachten nun ein abgeschlossenes System. Dies wird realisiert, indem wir den Rand des Volumens
∂V in ein vom Feld abgeschirmtes Gebiet (oder evtl. sogar ins Unendliche) legen.
Daraus ergibt sich:
� p mech
k
Tkm = 0
+ p feld�
k = 0
d
dt
Da die totale Zeitableitung der Summe der Impulse gleich Null ist, stellt diese Summe eine Erhaltungsgröße
dar! Der Feldimpuls ist dem mechanischen Impuls völlig gleichgestellt. D.h. der Gesamtimpuls
(die Summe!) ist erhalten !
Aufgrund des Minuszeichens erhalten wir jetzt unter der Ableitung eine Summe, die ohne das Minuszeichens
eine Differenz wäre.
Zusammenhang zwischen Energiestromdichte und Impulsdichte: (im Vakuum)
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�D = ε0 � E;
� B = µ0 � H
�π = � D × � B = ε0 µ0 � E × � H
�π = � D × � B = ε0 µ0 � S
An dieser Stelle verwenden wir die Maxwell-Relation :

20
c 2 0 = 1
ε0 µ0
Die Maxwell-Relation wurde von Maxwell empirisch gefunden. Sie war der erste Hinweis darauf, daß die
Lichtausbreitung etwas mit elektromagnetischen Feldern (Wellen) zu tun hat. Sie ist fundamental für die
Physik, da der Bereich der Optik somit zu einem Teil der Elektrodynamik wird.
Unter Verwendung der Maxwell-Relation erhalten wir nun für die Dichten-Beziehung:
3.2.4 Schwerpunktsatz
�π = 1
c 2 0
(3.5)
� S (3.6)
Analog zum Impulssatz ist auch ein Drehimpulssatz für Felder formulierbar!
Wie wir im Abschnitt 3.2.3 gesehen haben, tragen Felder einen Impuls. In Bezug auf die Mechanik stellen
wir uns nun die Frage, ob man ihnen auch eine träge Masse zuordnen kann.
Das ist die Voraussetzung dafür, einen Schwerpunktsatz formulieren zu können.
Gedankenexperiment: Eine ruhende Platte sendet einen Lichtblitz aus.
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Abb. 3.6: Der elektromagnetische Impuls des Lichtblitzes breitet sich innerhalb einer Röhre mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Der Impulssatz liefert:
���
− M v =
Röhre
| � S |= S = c ωelm
πelm dV = 1
c 2
���
Röhre
(∗) (vgl. Abs. 8.1.4)
S dV (∗)
= 1
c
���
Röhre
ωelm dV = 1
c Welm
Damit der Schwerpunktsatz formulierbar ist, müßte Licht nun eine träge Masse (m) besitzen. D.h. wir
hätten:
M v + m c = 0
Der Vergleich mit dem Impulssatz liefert nun:
M v + 1
c Welm = 0
Wenn der Schwerpunktsatz gilt, dann erhalten wir die folgende Relation, die uns schon aus der relativistischen
Mechanik bekannt ist:
Welm = m c 2
Der elektromagnetischen Strahlung kann also eine träge Masse zugeordnet werden, obwohl die Ruhemasse
für Licht nicht definiert ist (”Man kann ein Photon ja schlecht anhalten und mal kurz wiegen.”).
(3.7)

Elektrostatik 21
4 Elektrostatik
In diesem Abschnitt wollen wir die einfachsten Lösungsverfahren und Interpretationen kennenlernen,
indem wir mit den einfachsten Fällen beginnen.
statisch:
˙�E = ˙ � D = ˙ �H = ˙ �B = 0
Folge des statischen Zustandes ist die Entkopplung der Maxwell-Gleichungen. In unserem Fall lauten
sie:
div � D = ρel
rot �E = �0 �D = ε � ⎫
⎪⎬
div
elektrischer Anteil
⎪⎭
E
� B = 0
rot � H = �j �B = µ � ⎫
⎪⎬
magnetischer Anteil
⎪⎭
H
Wir beschränken uns im folgenden nur auf die reinen elektrostatischen Probleme.
4.1 Lösungen mittels Integralform
Wir schreiben die Maxwell-Gleichungen jetzt mit Hilfe der Integralsätze von Gauß und Stokes (siehe
Abschnitt 2) um. ��
◦ �D d� �
A = Qin V, D � = ε �E, �E d�r = 0
∂V
Für hochsymmetrische Ladungsverteilungen (wie bei einer Punktladung oder einer homogen geladenen
Kugel) läßt sich das Feld direkt berechnen.
Voraussetzung für dieses Lösungsverfahren ist, daß man schon eine ”anschauliche” Vorstellung von der
Gestalt des Feldes haben muß.
Beispiel: Gesucht ist das ✿✿✿✿✿✿✿✿
�E-Feld einer Punktladung Q (q>0).
Die Punktladung stellt den Limes einer geladenen Kugel dar (genauer: den Limes für r → 0). Wir wissen,
daß es sich um ein kugelsymmetrisches Feld handelt, bei dem die elektrische Feldstärke nur vom Radius
abhängt; also auf jeder Kugelschale konstant ist. Ansatz: �
�r
E(x, y, z) = E(r)
r
ε
��
◦
∂V
� E d � A Ansatz
= ε
⇒ E(r) =
��
◦
∂V
Q
4 π ε r 2
E(r) �r
r d� A = ε
∂A
Abb. 4.1: Die Integrationsfläche ist die Kugel um Q (S 2 ). Dort ist � E ⇈ d � A.
��
◦ E(r) �r
r
S 2
�r
r
Coulomb-Gesetz:
dA = ε E(r)
� E(�r) =
��
◦ dA = ε E(r) 4 π r 2 ≡ Q
S 2
Q
4 π ε r 2
Wir haben jetzt also das Coulomb-Feld einer Punktladung berechnet.
Bringt man nun eine Probeladung q in dieses � E-Feld, hat dies eine Kraftwirkung zur Folge:
� F(�r) = q � E(�r) = q Q
4 π ε r 2
�r
r
�r
r

22
Wir haben somit das Coulomb’sche Kraftgesetz gefunden. Es ist experimentell über große Skalenteile
gesichert.
Dieses Verfahren ist gut, wenn man weiß, welche Form das Feld hat und man Symmetrien nutzen kann.
Doch die direkte Integrationsmethode versagt bei inhomogenen, allgemeinen Ladungsverteilungen. Eine
Möglichkeit für die Lösung dieses Problems ist im folgenden Abschnitt erklärt.
4.2 Skalares Potential, Poisson-Gleichung
Unser Ziel ist es immer noch, die Maxwell-Gleichungen für das elektrostatische Feld zu lösen. Wir gehen
nun von der Wirbelgleichung
rot � E = � 0
aus. Wir definieren nun analog wie in der Mechanik ein skalares Potential.
� E(�r) = − grad ϕ(�r) (4.1)
Aufgrund der immer geltenden Identität (rot(grad()) = 0 ist die Wirbelgleichung erfüllt. Das skalare
Potential ist also wie folgt definiert:
ϕ(�r) = −
�r�
�r0
� E d�r (4.2)
◮ �r0 ist beliebig, da ϕ(�r) bis auf eine freie Konstante bestimmt ist; meist verwendet man die folgende
Konvention:
lim ϕ(�r) = 0
|�r|→∞
◮ Das Linienintegral (4.2) ist wegunabhängig. Das bedeutet:
rot �E = � �
0 ⇔
�E d�r = 0
(Beweis mit dem Satz von Stokes)
alle Wege
◮ Das elektrische Feld � E steht senkrecht auf einer Äquipotentialfläche . Die Bedingung für eine
Äquipotentialfläche lautet: ϕ(�r) = const.
dϕ = 0 = grad ϕ d�r = − � E d�r
Das Skalarprodukt zwischen � E und d�r verschwindet ⇒ � E ⊥ d�r
Elektrische Spannung: physikalische Bedeutung von ϕ
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Die Spannung eines Punktes 2 gegen einen Punkt 1 ist wie folgt definiert:
elektrische Spannung (Potentialdifferenz): ϕ21 ≡ −
�r2 �
�r1
� E d�r =
Diese Definition gilt ganz allgemein in der Physik und nicht nur in der Elektrostatik.
Interpretation:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�r1 �
�r2
� E d�r (4.3)
1. ϕ21 ist die Arbeit pro Ladung, die gegen das Feld � E beim Verschieben einer Probeladung vom
Punkt 1 nach 2 geleistet werden muß. Diese Arbeit muß in das Feld hineingesteckt werden.

4.2 Skalares Potential, Poisson-Gleichung 23
2. ϕ21 ist die Arbeit pro Ladung, die vom Feld � E bei der Verschiebung eines geladenen Teilchens von
2 nach 1 geleistet wird. Diese Arbeit bekommt man aus dem Feld heraus.
Da in der Elektrostatik das Integral (4.3) wegunabhängig ist, gilt:
Beispiel: Potential einer Punktladung
✿✿✿✿✿✿✿✿
� E =
ϕ(�r) = −
Q
4 π ε r2 �r�
�r0=∞
ϕ(�r) = − Q
4 π ε
�r
r
ϕ21 = ϕ(�r2) − ϕ(�r1)
� E d�r | Integrationsweg ⇈ zum Feld ⇒ � E d�r = E dr
r�
∞
dr
r 2
Coulomb-Potential: ϕ(�r) = Q
4 π ε
An dieser Stelle setzen wir mit den restlichen Maxwell-Gleichungen fort (bis hierhin haben wir nur die
Wirbelgleichung betrachtet).
Im ladungsfreien Raum (ρel = 0) gilt:
div � D = ρel, � D = ε � E, ε = const.
div � E = ρel
ε
(4.1)
= − div (grad
� �� �
Laplace
ϕ(�r))
Poisson-Gleichung: ∆· ϕ(�r) = − ρel
ε
Laplace-Gleichung: ∆· ϕ(�r) = 0
Die Laplace-Gleichung hat eine fundamentale Bedeutung:
1
r
(4.5)
(4.4)
In einem endlichen Volumen hat das Potential im Inneren weder ein Minimum noch
ein Maximum. Wenn dies so wäre, müßte die erste Ortsableitung gleich Null und die zweite
Ortsableitung verschieden von Null sein. Da der Laplace-Operator aber die 2. Ortsableitung
darstellt und diese gleich Null ist, ist die Aussage gezeigt. Der Rand des Volumens bleibt noch
extra zu untersuchen.
Durch die Einführung des skalaren Potentials konnten wir das Problem des Lösens der Maxwell-Gleichungen
ersetzen. Wir haben jetzt nur das Problem, eine inhomogene, lineare, partielle Differentialgleichung 2.
Ordnung (die Poisson-Gleichung) zu lösen.
Aus der Lösung ϕ(�r) kann dann durch Gradientenbildung das elektrische Feld � E berechnet werden.
Lösung der Poisson-Gleichung - Methode der Green’schen Funktion
• Wir bestimmen zunächst die Lösung für eine Punktladung (wird auch als Green’sche Funktion
bezeichnet).
• Dann Superposition der Lösungen für Quellen, die aus unendlich vielen Punktladungen zusammengesetzt
sind.

24
Wir gehen zunächst von der Ladungsverteilung einer Punktladung am Orte �r ′ aus.
ρel(�r) =
�
0 ,�r �= �r ′
∞ ,�r = �r ′ ���
Q =
V
ρel(�r) dV
Dies sind die Eigenschaften der Dirac’schen δ-Funktion . Mehr über sie findet man im Abschnitt 2. Mit
ihren Eigenschaften können wir für die Ladungsverteilung einer Punktladung schreiben:
ρel(�r) = Q δ(�r −�r ′ )
Wenn wir dies nun in die Poisson-Gleichung (4.5) einsetzen, erhalten wir:
Wenn wir nun vom Vorfaktor Q
ε
∆· ϕ(�r) = − Q
ε δ(�r −�r ′ ) Randbed.: lim ϕ = 0
|�r|→∞
absehen, so können wir die Green’sche Funktion allgemein definieren:
∆· G(�r −�r ′ ) = − δ(�r −�r ′ ) (4.6)
Der Shift im Argument �r → �r − �r ′ ; xk → xk − x ′ k mit konstanten (x ′ k ) = �r ′ ist immer möglich, da der
Laplace-Operator unter solchen Translationen invariant ist.
Im folgenden wollen wir nun die Green’sche Funktion berechnen. Aufgrund der Translationsinvarianz
setzen wir �r ′ = 0 (am Ende der Rechnung dann �r ′ �= 0).
∆· G(�r) = − δ(�r)
Als Lösungsansatz verwenden wir eine Fourier-Transformation. Damit erhalten wir:
G(�r) = 1
(2π) 3
���
˜G( �k) e i�k�r 3
d k
d 3 k Volumenelement des � k-Raumes
G(�r) Green’sche Funktion im �r-Raum (Ortsraum)
G( � k) Green’sche Funktion im � k-Raum (Fourier-Transformierte)
∆· G(�r) = ∆· �r
=
1
(2π) 3
1
(2π) 3
���
= − 1
(2π) 3
= − 1
(2π) 3
���
˜G( � k) e i� k�r d 3 k | ∆· wirkt auf �r
˜G( � k) ∆· �r e i� k�r d 3 k
���
���
˜G( � k) � k 2
✿✿✿✿✿✿✿ ei� k�r d 3 k = − δ(�r)
� �� �
Fourier-Transformierte ≡ 1
1✿ ei� k�r d 3 k
Jetzt vergleichen wir die beiden unterstrichenen Integranden und erhalten durch Vergleich für die Fourier-
Transformierte der Green’schen Funktion:
˜G( �k) = 1
� �2 �k
Dies ist ein sehr einfacher Ausdruck; doch eins sollten wir nie vergessen:
Es gilt weiterhin der Erhaltungssatz der Schwierigkeit !
Gesucht ist ja weiterhin G(�r).

4.2 Skalares Potential, Poisson-Gleichung 25
Dieses Ergebnis können wir nun in unseren Ansatz einsetzen. Unser Ziel ist dann die Rücktransformation
˜G( � k) → G(�r).
G(�r) = 1
(2π) 3
��� e i � k�r
� k 2 d3 k
Nun ist die Einführung von Kugelkoordinaten zweckmäßig, wobei der Winkel θ der Winkel zwischen � k
und �r (⇒ nützlich für das Skalarprodukt im Exponenten der e-Funktion) ist.
G(�r) = 1
(2π) 3
G(�r) = 1
(2π) 2
∞�
dk
0
∞�
π�
0 0
2π �
0
dϕ
π�
dθ
0
eikr cos θ
k 2
sin θ e ikr cos θ dk dθ
k 2 sin θ
� �� �
Jacobi-Determinante
Nun substituieren wir: x = cos θ ⇒ dx = − sin θ dθ
Demzufolge:
Wenn wir dies nun einsetzen, erhalten wir:
G(�r) =
=
=
=
1
(2π) 2
1
(2π) 2
1
(2π) 2
1
(2π) 2
= 1
4π
∞�
1�
0 −1
2
r
2
r
2
r
1
| �r |
∞�
0
π�
sin θ dθ →
0
e ikrx dxdk = 1
(2π) 2
sin(kr)
kr
∞�
0
−1 �
1
− dx →
e ikr − e −ikr
ikr
1�
−1
dk
dx
d(kr) (Kunstgriff: Erweitern mit r) → kr = α
∞�
sin α
α dα
0
� �� �
→ nachsehen od. Residuenmethode anwenden
π
2
Nun können wir den oben erklärten Shift noch einmal anwenden und erhalten einen allgemeinen Ausdruck
für G:
G(�r −�r ′ ) = 1
4π
1
| �r −�r ′ |
Führen wir den vorhin weggelassenen Faktor Q
ε wieder ein, so erhalten wir für das Coulomb-Potential
(diese Lösung erfüllt die Randbedingungen):
ϕ(�r) = Q
4πε
1
| �r −�r ′ |
Mit (4.8) haben wir den ersten Schritt für die Lösung der Poisson-Gleichung, d.h. die Lösung für eine
Punktladung, abgearbeitet. Uns interessiert aber weiterhin das Potential bei einer beliebigen Ladungs-
(4.7)
(4.8)

26
verteilung. Um dorthin zu kommen, machen wir die folgende Rechnung.
∆· ϕ(�r) = − ρel(�r)
ε
Eigensch. δ-Fkt.
= − 1
ε
���
Quellen
ρel(�r ′ ) δ(�r −�r ′ ) dV ′
= 1
���
ρel(�r
ε
′ ) ∆· �r G(�r −�r ′ ) dV ′
=
∆· wirkt auf �r
1
ε ∆· ���
�r ρel(�r ′ ) G(�r −�r ′ ) dV ′
=
G einsetzen
���
1 ρel(�r
∆· �r
4πε
′ )
| �r −�r ′ 0 =
′
dV ∆· ist linear
|
�
∆· �r ϕ(�r) − 1
���
ρel(�r
4πε
′ )
| �r −�r ′ �
′
dV
|
� �� �
ψ(�r)
Ergebnis: ϕ(�r) = ψ(�r) + 1
4πε
��� ρel(�r ′ )
| �r −�r ′ | dV ′ ; ∆· �r ψ(�r) = 0
ψ(�r) ist eine beliebige Lösung der Laplace-Gleichung, die die Randbedingungen erfüllt. Ohne Beschränkung
der physikalischen Allgemeinheit wählen wir die triviale Lösung: ψ(�r) = 0, da wir uns nur für den
Lösungsteil interessieren, der direkt mit den Quellen ρel verknüpft ist!
Allgemeine ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
(physikalische) Lösung der Poisson-Gleichung:
✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
ϕ(�r) = 1
4πε
���
Quellen
ρel(�r ′ )
| �r −�r ′ |
�r Aufpunkt (wo das Potential berechnet werden soll)
�r ′ Beispiel: N diskrete Punktladungen
Quellpunkt (rastert Quelle bei der Integration ab) ✿✿✿✿✿✿✿✿
Jetzt werten wir das Integral (4.9) aus:
ρel(�r ′ ) =
N�
i=1
dV ′
(4.9)
Abb. 4.2: �r ′ rastert die Quelle systematisch bei der Integration
ab.
Abb. 4.3: Verteilung mehrerer Punktladungen
Qi δ(�r ′ −�ri)

4.3 Energie des elektrostatischen Feldes 27
ϕ(�r) = 1
���
4πε
N�
i=1
| �r −�r ′ |
N�
���
Qi δ(�r
ϕ(�r) =
4πε
′ −�ri)
| �r −�r ′ |
i=1
ϕ(�r) δ-Fkt.
=
N�
i=1
R 3
Qi
4πε
Qi δ(�r ′ −�ri)
1
| �r −�ri |
dV ′
dV ′
Jede Punktladung erzeugt für sich ein Coulomb-Potential. Das Potential am Orte �r setzt sich dann aus
der Überlagerung all dieser einzelnen Potentiale zusammen (Superpositionsprinzip).
Allgemeines Lösungsprinzip:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. Vorgabe von ρel(�r)
2. Auswertung des Integrals (4.9) ⇒ ϕ(�r)
3. Gradientenbildung des Potentials ⇒ � E(�r)
4. Gewinnen sonstiger gesuchter Größen wie z.B. Energie, Kräfte, . . .
4.3 Energie des elektrostatischen Feldes
elektrische Energiedichte: ωel = 1
2 � E � D
Die Gesamtenergie erhalten wir, indem wir über ein festes Volumen integrieren (setzen ε = const.), das
uns interessiert:
W = ε
2
��� � �2 �E dV
4.3.1 Energie des Coulomb-Feldes
V
Wir stellen uns nun die Frage, wieviel Energie in einem Coulomb-Feld gespeichert ist. Wir haben z.B.
eine Punktladung mit einem Coulomb-Feld. Wieviel Energie besitzt dieses Feld?
� E = Q
4πε r 2
Solch ein Feld reicht bis in das Unendliche und das Volumen, das uns interessiert ist der gesamte R 3 .
W = Q2
(4π) 2 ε 2
An dieser Stelle ist es sinnvoll, auf Kugelkoordinaten zu wechseln, da es sich um ein kugelsymmetrisches
Problem handelt. Die Integration über ϕ und θ führen wir schon aus, da es nur eine Abhängigkeit vom
Radius gibt:
dV → 2
����
θ
W = Q2
(4π) 2 ε 2
W = Q2
8πε
∞�
0
W = − Q2
8πε
ε
2
dr
r 2
� 1
r
· 2π
����
ϕ
∞�
0
� ∞
0
r 2 dr = 4π r 2 dr
4π r2
dr
r4 ε
2
�r
r
���
R 3
dV
r 4

28
Jetzt haben wir nur ein kleines Problem: Wenn wir die Grenzen einsetzen würden, so erhalten wir für die
Energie des Coulomb-Feldes W=∞. Dies hätte aber fatale Folgen für die Physik.
Denken wir einmal an die Gleichung (3.7) im Abschnitt 3.2.4 zurück. Da c = const. ist, müßte das
elektrische Feld eine unendlich große träge Masse besitzen, wenn die Feldenergie unendlich wäre. Wenn
wir solch ein Feld also verschieben wollten, müßten wir eine unendlich große Kraft aufbringen. Doch
aus der Erfahrung wissen wir, daß dem nicht so ist. Wir müssen demzufolge nun eine Lösung für dieses
Problem finden, welches auch ”Selbstenergieproblem” der klassischen Elektrodynamik genannt wird.
Wenn wir dieses Problem etwas umformulieren, können wir auch sagen: Der Begriff ”Punktladung”
führt in der klassischen Elektrodynamik zu Schwierigkeiten.
Experimentell: ”Elektron” ist gut (?) punktförmig.
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Wir haben keine kleinere Probeladung als e− , um die Ladungsverteilung
eines Elektrons zu ermitteln.
Klassische (Lösung): Einführung eines ”Abschneideradius”
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
m c 2 ≡ Q2
8πε
∞�
r0
dr Q2
=
r2 8πε
”klass. Elektronenradius”: r0 =
Abb. 4.4: Man definiert einen kleinsten Radius, bei dem die
Integration ”abgeschnitten” / abgebrochen wird. Der Energieinhalt
des Feldes entspricht der Fläche unter der Kurve.
1
r0
| Q = e, ε = ε0
e 2
8πε0mec 2 ≈ 1, 4 · 10−15 m
Mit Streuexperimenten wurde diese Größenordnung des Elektronenradius bestätigt. Es ist elegant, die
mechanische Masse (bzw. die Ruheenergie) auf die Feldenergie zurückzuführen. Außerdem kann man sich
bei diesem Modell unter einem Elektron etwas vorstellen.
Doch alle diese Modelle haben ein Problem: Sie funktionieren einfach nicht richtig! Es
ist besser, wenn man nicht versucht, sich unter z.B. einem Elektron etwas vorzustellen!
4.3.2 Energie des Feldes einer beliebigen Ladungsverteilung
W = ε
���
���
� 2 ε
E dV = grad
2
2
2 ϕ dV
Für unsere Rechnung verwenden wir die folgende Hilfsformel:
→ Bei uns: �a = grad ϕ, f = ϕ
⇒ (grad ϕ) 2 = −ϕ div(grad
� �� �
∆·
R 3
div(f · �a) = (grad f) �a + f · div �a
ϕ) + div (ϕ grad ϕ)
Es ergibt sich somit für unsere Energiegleichung:
W = ε
���
(−)ϕ ∆· ϕ dV +
2
ε
2
W = −
���
div (ϕ grad ϕ) dV | Gauß anwenden
ε
���
ϕ ∆· ϕ dV +
2
ε
2
��
◦ ϕ grad ϕ d� A
∂V
� �� �
→ 0 (vgl. Abschätzung)

4.3 Energie des elektrostatischen Feldes 29
Abschätzung: für lokalisierte Ladungsverteilung
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Wir betrachten eine Punktladung. Unsere geschlossene Integrationsoberfläche wählen wir als Kugeloberfläche
und legen sie in einen großen Abstand von ρel. Nun folgt:
ϕ(�r) ∼ 1
r
ϕ grad ϕ ∼ 1
r3 ��
◦ ϕ grad ϕ d� A ∼ 1
S 2
�r
r , S2 ∼ r 2
r3 · r2 ∼ 1
r
→ 0 für r → ∞
W = − ε
2
���
ϕ ∆· ϕ dV (4.5)
= 1
2
���
ϕ ρel(�r) dV
Für die Selbstenergie einer lokalisierten Ladungsverteilung haben wir also den folgenden Ausdruck gefunden:
Wel = 1
2
R 3
���
ϕ(�r) ρ(�r) dV (4.10)
Wenn wir die Lösung der Poisson-Gleichung (4.9) in (4.10) einsetzen, so erhalten wir:
Wel = 1
8πε
R 3
��� ���
R 3
R 3
ρel(�r) ρel(�r ′ )
| �r −�r ′ |
dV ′ dV
4.3.3 Energie einer Ladungsverteilung in einem äußeren Feld
Das äußere Feld sei gegeben durch � E a , ϕ a . Die Voraussetzung, die wir treffen, ist die, daß ρel fest
vorgegeben ist und von � E a nicht beeinflußt wird (”eingefrorene” Ladung).
Abb. 4.5: Die Ladungsverteilung befindet sich in einem äußeren Feld.
Wel = ε
2
���
( �E + �E a ) 2 dV
R 3
An dieser Stelle muß man darauf achten, daß die Felder immer erst superponiert
(überlagert) und dann erst quadriert werden.
Richtig: ( � E1 + � E2) 2
Wel = ε
2
Falsch: � E 2 1 + � E 2 2
��� �
( �E a ) 2 + �E 2 + 2 �E a�
�
E
1. Term Selbstenergie des äußeren Feldes / der äußeren Ladungsverteilung, die � E a erzeugt
2. Term Selbstenergie der betrachteten Ladungsverteilung (durch ρel erzeugt)
3. Term Wechselwirkungsenergie der Ladungsverteilung im äußeren Feld
→ der 1. und 2. Term sind wie in Abschnitt 4.3.2 zu berechnen
dV

30
→ für den 3. Term machen wir die folgende Rechnung:
���
���
= ε �E � a
E dV = ε gradϕ gradϕ a ���
dV
ϕ a ∆· ϕ dV
W WW
el
W WW
el
W WW
el
wie in
= − ε
Abs. 4.3.2
Poisson
=
���
ϕ a ρel(�r) dV
R 3
Beispiel: N einzelne Punktladungen
✿✿✿✿✿✿✿✿
ρel(�r) = N�
Qi δ(�r −�ri)
i=1
⇒ W WW
el
N�
=
i=1
4.4 Elektrische Multipole
Qi ϕ a (�ri) ”Ladung mal Spannung” (vgl. Ex-Ph)
Problem: Wir betrachten eine lokalisierte Ladungsverteilung, z.B. in einem Atomkern,
und wählen unseren Ursprung in der Ladungsverteilung.
Beobachtet (gemessen) wird das Feld in großen Abständen von der Ladungsverteilung (|�r ′ | ≪ |�r|, asymptotisches
Feld).
Frage: Welche Aussage über die Struktur der Ladungsverteilung (z.B. Abweichung von
der Kugelsymmetrie, Anordnung der geladenen Bausteine, . . . ) können wir aus
dem asymptotischen Feld gewinnen?
Vorgehen:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1
Wir müssen nun den Ausdruck |�r−�r ′ | in der allgemeinen Lösung der Poisson-Gleichung um die Stelle
�r ′ = �0 durch eine Taylor-Entwicklung approximieren.
1 1
Bez.: �r = (x1, x2, x3) = xi; =
r | �r | =
1
�
x2 1 + x2 2 + x2 3
→ Taylor:
1
| �r −�r ′ 1
= −
| | �r |
3� ∂
∂xi
i=1
� �
1
r
x ′ i
+ 1
2
3�
i=1 j=1
3�
�
∂
∂xi
∂
∂xj
� ��
1
r
x ′ i x ′ j
− . . .
Die folgende Nebenrechnung dient zur näheren Erläuterung der Taylor-Entwicklung in unserem speziellen
Fall.
1
| �r −�r ′ 1 3� ∂
= +
| | �r | i=1 ∂x ′ �
1
i | �r −�r ′ �
| �r ′ = � x
0
′ i + . . .
Wir betrachten jetzt einen Teil dieser Formel:
∂
∂x ′ �
1
i | �r −�r ′ �
=
|
∂
∂x ′ ⎡
⎣
1
�
i (xj − x ′ j )(xj − x ′ j )
⎤
⎦
�r ′ = � 0
x ′ k =0

4.4 Elektrische Multipole 31
Hilfsformel:
∂
∂x ′ i
∂
∂x ′ i
�
1
| �r −�r ′ |
�
�r ′ = � 0
f(xj − x ′ Kettenregel
j ) = − ∂
∂xi
= − ∂
∂xi
�
1
| �r −�r ′ |
�
�r ′ = � 0
f(xj − x ′ j )
= − ∂
∂xi
� �
1
r
An dieser Stelle endet die kurze Erläuterung. Wenn wir nun in unserem eigentlichen Ausdruck die Einstein’sche
Summenkonvention verwenden, so erhalten wir:
1
| �r −�r ′ � �
1 ∂ 1
= − x
| r ∂xi r
′ i + 1
� � ��
∂ ∂ 1
x
2 ∂xi ∂xj r
′ ix ′ j − . . .
Wenn wir dies nun in die Lösung der Poisson-Gleichung (4.9) einsetzen, so erhalten wir:
ϕ(�r) = 1
4πεr
���
ρel(�r ′ ) dV ′
�
−
�� �
Coulomb-Term
1
4πε
� � ���
∂ 1
x
∂xi r
′ i ρel(�r ′ ) dV ′
�
+
�� �
Dipol-Term
Interpretation:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1
2
1
4πε
� 2 ∂
∂xi∂xj
� ���
1
x
r
′ ix ′ j ρel(�r ′ ) dV ′
� �� �
Quadrupol-Term
Der 1. Term steht für das Potential der im Ursprung vereinigten Gesamtladung. Ohne Beweis:
Jede kugelsymmetrische Ladungsverteilung ρel(�r) = ρel(| �r |) liefert im Äußeren exakt das
Coulomb-Potential. Die höheren Terme der Entwicklung beschreiben die Abweichung von der
Kugelsymmetrie.
Alle Anteile bewirken spezielle Kräfte über �F ∼ �E ∼ gradϕ auf Probeladungen. Sie sind also
meßbar (ϕCoulomb ∼ 1
r , ϕDipol ∼ 1
).
r2 Auf diese Art und Weise können wir eine Aussage über die Struktur der Ladungsverteilung
machen.
4.4.1 Elektrischer Dipol
ϕ(�r) = ϕ Coulomb (�r) + ϕ Dipol (�r) + ϕ Quadrupol (�r) + . . . (4.11)
Wir betrachten jetzt nur den Dipol-Term des skalaren Potentials:
ϕ Dipol (�r) = − 1
4πε
�
∂
∂xi
� ���
1
x
r
′ i ρel(�r ′ ) dV ′
Mit
ergibt sich nun:
∂
∂xi
ϕ Dipol (�r) = 1
4πε
1 xi
= −
r r3 xi
r 3
���
x ′ i ρel(�r ′ ) dV ′
Diesen Ausdruck können wir nun als ein Skalarprodukt interpretieren. Somit können wir diese Gleichung
folgendermaßen umschreiben:
ϕ Dipol (�r) = 1
4πε
�r �p
r 3
�p =
���
�r ′ ρel(�r ′ ) dV ′
(4.12)
Der konstante Vektor �p wird auch als Dipolmoment bezeichnet. Anhand dieses Dipolmoments kann man
eine Charakterisierung der Ladungsverteilung vornehmen.

32
Beispiel: H2O-Molekül ✿✿✿✿✿✿✿✿
Abb. 4.6: Schematisches H2O-Molekül
Gesamtladung: Q = 0, Monopolanteil verschwindet
Messung: Diese liefert ein Dipolmoment | �p |≈ 6 · 10 −30 As · m
⇒ Der Winkel ergibt sich nun daraus, daß es nur eine Anordnung gibt, die das gemessene Dipolmoment
erzeugt.
Bemerkungen:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
◮ Im Allgemeinen hängt die Größe des Dipolmoments von der Lage des Ursprungs ab.
�p02 =
�
(�a +�r ′ ) ρel(�r ′ ) dV ′
�
�p02 = �a ρel(�r ′ ) dV ′ �
+ �r ′ ρel(�r ′ ) dV ′
�p02 = Q �a + �p01 Q. . . Gesamtladung
Nur wenn die Gesamtladung verschwindet, ist das Dipolmoment unabhängig von der Wahl des
Ursprungs (z.B. im Wassermolekül).
◮ �p verschwindet, wenn die Ladungsverteilung spiegelsymmetrisch bzgl. des Ortsvektors ist (ρel(�r) =
ρel(−�r)).
�
�p = �r ′ ρel(�r ′ ) dV ′
| �r ′ → −�r ′
�
�p = − �r ′ ρel(−�r ′ ) dV ′
�
| Spiegelsymmetrie
�p = − �r ′ ρel(�r ′ ) dV ′
�p = − �p ⇒ �p = � 0
Ein Vektor ist nur dann gleich seinem ”Inversen bezüglich der Addition”, wenn es sich um den
Nullvektor handelt.
◮ Elektrisches Feld eines Dipols (für Berechnung der Kräfte):
� Dipol Dipol 1
E = − gradϕ = −
4πε grad
�
�r �p
r3 �
� Dipol E Prod.-Regel
= − 1
� �
1
�r �p grad
4πε
r3 �
+ 1
�
grad (�r · �p)
r3 Betrachten wir nun die beiden Gradienten - Terme kurz gesondert:
�
1
grad
r3 �
= �r
r
�
d 1
dr r3 �
= − 3 1
r4 �r
r
grad (�r · �p) = �ek
∂
∂xk
(xl pl) | pl = const.
= pl �ek
∂xl
= pl �ek δlk
∂xk ����
δlk
= pk �ek = �p

4.4 Elektrische Multipole 33
Wir erhalten somit:
� E Dipol =
1
4πε r 3
�
3
(�r · �p) �r
r 2
�
− �p
(4.13)
Aus der Gleichung können wir ablesen, daß die Richtung von �p ausgezeichnet und qualitativ ∼
1
r 3 ist. Bringt man eine Probeladung in dieses Feld, kommt es zu einer spezifischen (meßbaren)
Kraftwirkung.
Einfaches Dipolmodell: 2 Punktladungen im Abstand ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�l Auch in diesem Fall interessiert uns wieder das
Abb. 4.7: Einfaches Dipolmodell
Feld in großem Abstand: |�r| ≫ | �l|. Das Potential ϕ(�r) ist die Superposition der zugehörigen Potentiale
der beiden Punktladungen (Coulomb-Potentiale, vgl. das Bsp. im Abschnitt 4.2):
ϕ(�r) = 1
�
4πε
Q
| �r −� �
−
l |
Q
| �r |
,
l
≪ 1, | �r |= r
r
Kurze Nebenrechnung:
1
| �r − � l | =
Taylor-Entw. von
1
�
r 2 + l 2 − 2�r � l
1
√ 1 + x :
= 1
r
Dies setzen wir nun in ϕ(�r) ein:
ϕ(�r) = 1
4πε
ϕ(�r) = 1
4πε
�
Q
r + Q �r �l Q
−
r3 r
Q � l �r
r 3
+ . . .
1
�
�
� l2
�
�
1 +
r2 − 2�r �l r2 ,
� �� �
x
1
| �r −� 1
≈
l | r
�
1 + �r �l r2 �
+ . . .
Für das einfache Dipolmodell erhalten wir nun für das Potential
Ohne Beweis:
�
ϕ(�r) = 1
4πε
�p ·�r
r 3
l2 vernachlässigbar
r2 �p ≡ Q � l (4.14)
Die weggelassenen höheren Terme der Taylor-Entwicklung verschwinden exakt bei dem folgenden
Grenzübergang:
� l → � 0 Q → ∞ derart, daß �p = Q � l = const.
Dies ist der Übergang zum sogenannten ”Punktdipol”.
Qualitativ: Elektrischer Dipol im äußeren Feld:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
✿✿✿✿✿✿

34
1. Wechselwirkungsenergie (siehe Abschnitt 4.3.3):
W WW
el
=
N�
i=1
Qi ϕ a (�ri)
Abb. 4.8: Symmetrie:Um die �p-Achse drehungsinvariant.
= Q ϕ a (�r + � l) − Q ϕ a (�r)
Taylor
= Q ϕ a (�r) + Q � l gradϕ a + . . . − Q ϕ a (�r)
= Q � l gradϕ a + . . .
W WW
el
= − �p � E a
Die Wechselwirkungsenergie ist absolut am kleinsten, wenn �p ⇈ � E a .
2. Die Kraft, die auf einen Dipol wirkt:
� F = Q � E a (�r + � l) − Q � E a (�r) Superposition aller Kräfte
Taylor: Ea k (xj + lj) = Ea k (xj) + ∂Ea k
lj + . . .
∂xj
� a E (�r + �l) = � a E (�r) + ( �l grad) � a E
� F = Q � E a (�r) + Q ( � l grad) � E a − Q � E a (�r)
� F = (Q � l grad) � E a
Im homogenen Feld ∂
∂xk
Drehungen sind möglich (siehe nächster Punkt).
3. Das Drehmoment auf einen Dipol
� F = (�p grad) � E a
lj ≪ xj
� E a verschwindet � F. Es findet keine Translation des Dipols statt. Aber
�M = �r × � F ( � M ist abhängig von Wahl des Ursprungs)

4.4 Elektrische Multipole 35
→ Superposition:
�M = (�r + � l) × Q � E a (�r + � l) − �r × Q � E a (�r)
= �r × Q � E a (�r + � l) + � l × Q � E a (�r + � l) − �r × Q � E a (�r) | � l |≪| �r |
Taylor
= �r × Q � E a (�r) +�r × Q( � l grad) � E a + · · · + � l × Q � E a (�r) + · · · −�r × Q � E a (�r)
= �r × (�p grad) � E a
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ + �p × � E a + . . .
Ohne Beweis: Der markierte Ausdruck verschwindet bei geeigneter Wahl des Nullpunktes (z.B. in
der negativen Ladung) oder bei homogenen Feldern.
4.4.2 Elektrischer Quadrupol
ϕ Quadru (�r) = 1
8πε
�
�M = �p × � E a
∂ 2
∂xi ∂xj
� ���
1
x
r
′ i x ′ j ρel(�r ′ ) dV ′
Diesen Term für das Potential können wir nun umformen und erhalten den folgenden völlig identischen
Ausdruck:
ϕ Quadru 1
(�r) =
6 · 4πε
� 2 ∂
∂xi ∂xj
� �
1 �3x ′
r
ix ′ j − δijr ′2� ρel(�r ′ ) dV ′
� �� �
spurfreier symmetrischer Tensor 2. Stufe
Wir haben also einen Ausdruck für das Quadrupol-Potential gefunden, in dem ein Tensor ”vorkommt”.
Wir definieren den Tensor des Quadrupolmoments wie folgt:
Qij =
��� �3x ′ ix ′ j − δijr ′2� ρel(�r ′ ) dV ′
Dieser Tensor besitzt die folgenden Eigenschaften:
• reeller symmetrischer Tensor 2. Stufe
• Tensor mit verschwindender Spur: Sp ^Q = Qii = 0
[Qij] = As · m 2
(4.15)
• ^Q ist mit orthogonalen Transformationen diagonalisierbar; dann entsprechen die Hauptdiagonalelemente
den Eigenwerten (Qi. . . EW)
Wegen Qii = 0 ⇒ Q1 + Q2 + Q3 = 0 (Invarianz der Spur)
z.B.: bei der Rotationssymmetrie um die x3-Achse:
Q1 = Q2
Sp.-Bed.
= − 1
2 Q3
(nur ein unabhängiger EW)
Den Ausdruck für das Potential können wir nun noch etwas vereinfachen:
∂2 1 ∂
�
= −
∂xi ∂xj r ∂xi
xj
r3 �
Prod.-R. 3xixj
=
r5 δij
−
r3 Bei der Summation liefert der zweite Teil keinen Beitrag, da Qij spurfrei ist:
Wir erhalten somit:
Qij
ϕ Quadru (�r) = 1
4πε
1
r3 δij = 1
r3 Qii = 0
1
r 5
1
2 Qijxixj
∼ 1
r 3
(4.16)
Einfaches Quadrupolmodell: 4 Punktladungen ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Bsp.: • häufig bei einfachen Molekülen wie N2, O2
• Deuterium: Qij ≈| e | 2, 8 · 10−27 cm2 Man kann die Effekte des Quadrupols im äußeren Feld über das obige Modell in analoger Weise zum
Dipolmodell studieren.

36
4.5 Leiter im elektrostatischen Feld
Abb. 4.9: Grenzübergang:
l → 0, Q · l 2 =const. ⇒ Punktquadrupol
In der Praxis treten im allgemeinen keine ”reinen” Ladungsverteilungen auf. Im Feld befinden sich
zusätzliche Objekte wie z.B. Meßgeräte, Tische etc..
Die Substanzen, die wir in ein elektrisches Feld bringen, können wir dann bezüglich ihrer elektrischen
Eigenschaft in die folgenden drei Gruppe einteilen:
Leiter Halbleiter Isolatoren
Für uns sind vorerst nur die Leiter interessant, da sie in Wechselwirkung mit dem elektrischen Feld treten.
Eigenschaften von Leitern:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
• Sie enthalten frei bewegliche Ladungsträger.
• Sie sind in der Regel nach außen hin elektrisch neutral.
(Kompensation von Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens pro Volumenelement)
Beispiele: Metalle, Plasmen, Elektrolyte
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Wechselwirkung äußerer Felder:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿
übliche Kraftwirkung
⇒ Verschiebung der Ladungsträger, bis sich ein neuer stationärer Gleichgewichtszustand eingestellt
hat
→ Prozeß der Verschiebung wird außer Acht gelassen, da es sich dabei um einen zeitabhängigen Vorgang
handelt!
In der Elektrostatik interessiert uns nur der asymptotische Endzustand!
Endzustand: Alle äußeren elektrischen Kräfte sind kompensiert.
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�
Fel = � 0 ⇒ � E = � 0 ⇔ ϕ = const.
⇒ Die Leiteroberfläche ist eine Äquipotentialfläche (Fläche konstanten Potentials). Räumlich getrennte
Leiter besitzen in der Regel auch unterschiedliche Potentialwerte.
Im Inneren der Leiter (mikroskopisch) erfolgt eine Kompensation von Ladungen und die Überschußladungen
sammeln sich auf der Leiteroberfläche (math.: ”Rand” eines Gebiets). Es kommt zur Abstoßung der gleichen
Ladungen und sie richten sich so aus, daß sie möglichst große Abstände zueinander einnehmen.
Abb. 4.10: Ladungen verteilen sich gleichmäßig auf der
Oberfläche.
Zur Charakterisierung dieser Erscheinung führt man eine ”Flächenladungsdichte” σ(�r) ein:
��
σ(�r) dA = Q = Gesamtladung [σ] = As
m2 F

4.5 Leiter im elektrostatischen Feld 37
Für die Lösung der Poisson-Gleichung mit Leitern im Feld werden Randbedingungen benötigt! Man
braucht daher Informationen über die Struktur des Feldes in der Nähe des Randes!
1. Plausibilitätsbetrachtung: Wir können nun das elektrische Feld, welches aus der Oberfläche des
Abb. 4.11: Aufspaltung des � E-Feld-Vektors
Leiters hinausragt (hineingeht) in eine tangentiale und normale Komponente aufspalten.
� E = � En + � Et
Falls nun � Et �= � 0 ⇒ � Ft �= � 0. Dies hätte eine Verschiebung der Ladungsträger zur Folge, was einen
Widerspruch zur Annahme eines statisches Gleichgewichtszustandes darstellt.
� Et ≡ � 0
⇒ Das elektrische Feld muß senkrecht auf der Leiteroberfläche (Rand des Gebiets)
stehen!
�
2. Auswertung der Wirbelgleichung: �E d�r = 0
Abb. 4.12: kleines Stück Leiter → hinreichend eben
Nähe des Randes: h → 0;
für h → 0 ist d�r ein Element der Tangentialebene der Leiteroberfläche, d.h � E ⊥ zum
Rand
� � � � �
�E d�r = �E d�r + �E d�r + �E d�r + �E d�r
1
3
1,3 Diese beiden Wege gehen in unterschiedliche Richtungen und kompensieren sich so. Man kann
auch argumentieren, daß h → 0. Dann liefern die Integrale keinen Beitrag mehr, da es keinen
Weg mehr gibt, über den integriert werden kann.
4 Dieses Wegstück liegt im Leiter. Dort gilt aber: �E = �0. Demzufolge verschwindet auch dieses
Integral.
�
⇒ �E d�r = 0
Für kurze Wege gilt demzufolge:
3. Auswertung der Quellengleichung:
� E d�r = 0 ⇒ � E ⊥ d�r ⇒ � Et = � 0
��
◦
∂V
2
�D d � A = Qin V
4
2

38
��
◦
∂V
�D d � A =
Abb. 4.13: ”Keksdose” befindet sich in der Oberfläche
∂V. . . Oberfläche dieser Dose
��
Deckel
�D d � A +
��
Boden
�D d � A +
��
Seitenwand
�D d � A
Das Integral über die Bodenfläche fällt weg, da im Inneren des Leiters kein elektrisches Feld ist.
Auch das Seitenwand-Integral liefert keinen Beitrag, da �En ∼ � Dn ⇒ � D ⊥ d� A ⇒ = 0.
Wir erhalten somit: ��
��
�D �n dA = Qin V = σ dA
Einführung des Potentials:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
∂ϕ
∂n
Deckel
Deckel
⇒ � D �n = σ ⇔ � E �n = σ
ε = |� En|
σ = � D �n = ε � E �n = − ε �n gradϕ = − ε ∂ϕ
∂n
σ = − ε ∂ϕ
∂n
wird als die Normalenableitung des Potentials bezeichnet.
Potentialberechnungen:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
(4.17)
Diese Aufgabenstellung ist im allgemeinen kompliziert, da ρel(�r) ↔ σ(�r) nicht unabhängig voneinander
sind. Es kommt zu einer starken Rückkopplung. Die Lösung wird viel einfacher, wenn σ(�r) vorgegeben
ist ⇔ ∂ϕ
∂n auf dem Rand ist gegeben. Das Lösen der Poisson-Gleichung mit Randbedingungen stellt eine
Randwertaufgabe dar.
Randbedingungen für: ∆· ϕ = − ρel
ε
1. Dirichlet’sche Randbedingung: ϕ auf dem Leiter vorgegeben.
2. Neumann’sche Randbedingung: ∂ϕ
∂n
auf dem Leiter gegeben.
3. Gemischte Randbedingung: a · ϕ + b · ∂ϕ
∂n gegeben
Mit diesen Randbedingungen existiert eine eindeutige Lösung.
4.5.1 Minimaleigenschaft der elektrostatischen Energie
Das statische Gleichgewicht bei der Anwesenheit von Leitern ist durch die konstante Potentialverteilung
auf den Leitern charakterisiert. Wir wollen nun zeigen, daß die elektrostatische Energie für diese Situation
ein Minimum annimmt.
W = 1
2
���
�E D� dV
Für jede andere Feldkonfiguration �E ′ , � D ′ muß dann gelten (gestrichene Größen bezeichnen das variierte
Feld):
W ′ = 1
2
���
� ′
E D � ′
dV ≥ W

4.5 Leiter im elektrostatischen Feld 39
Abb. 4.14: Es sind zwei verschiedene � E-Felder dargestellt.
Vor.: Die Ladungsverteilung und Flächenladungsdichte auf den Leitern werden festgehalten
z.z.:
ρel(�r) = ρ ′ el(�r) σ(�r) = σ ′ (�r)
∆W = W ′ − W = 1
2
� ��E �
′
D � ′
− �E D�
Für die Differenzen führen wir nun die folgenden Abkürzungen ein:
Damit ergibt sich nun:
∆W = 1
� ���E
+ � ′′
E
2
� � D � + D � ′′ �
− �E � �
D dV
∆W = 1
�
�
� ′′
E D � ′′ 1
��E �
dV + � ′′
D + � ′′
E D�
dV
2
2
dV ≥ 0
� E ′′ = � E ′ − � E � D ′′ = � D ′ − � D
Aufgrund von � D = ε �E und � D ′′ = ε �E ′′ können wir den letzten Ausdruck auch schreiben als:
∆W = 1
2 ε
�
�E ′′� ′′
E dV +
�
�E D � ′′
dV (4.18)
Wir betrachten nun das zweite Integral aus Gleichung (4.18) separat und benutzen �E = − gradϕ:
�
�
�E D � ′′
dV = − gradϕ � D ′′ dV
Außerdem verwenden wir die folgende Hilfsformel:
Der Term mit div � D ′′ verschwindet, da
Somit erhalten wir
���
���
�E D � ′′
dV = − div(ϕ � D ′′ ) dV
↓ Gauß
���
� E � D ′′ dV = −
div(ϕ � D ′′ ) = ϕ div � D ′′
� �� �
=0
+ � D ′′ gradϕ
div � D ′′ = div( � D ′ − � D) = div � D ′ − div � D = ρ ′ el(�r) − ρel(�r) Vor.
= 0
��
◦ ϕ � D ′′ d� A
∂V
Wir können nun die Oberfläche ∂V in zwei Anteile aufsplitten. Der eine ist die äußere Oberfläche des
Volumens (∂V∞) und der zweite Anteil ist die Oberfläche des Leiters, der sich im Volumen befindet,
denn dies ist auch eine Oberfläche des Volumens (∂VL). Die Flächennormale der äußeren Oberfläche zeigt
nach außen, wogegen die Flächennormale der Leiteroberfläche in den Leiter hineinzeigt. Das hängt damit
zusammen, daß wir die Oberfläche des Volumens betrachten; uns also in das Volumen setzen und hinaus

40
schauen. Wenn nun die Flächennormale aus dem Volumen hinauszeigt, muß sie zwangsläufig in den Leiter
hineinzeigen. �
�
�E D � ′′
dV = − ϕ � D ′′ d� �
A − ϕ � D ′′ d� A
V
∂VL
Der Anteil der äußeren Oberfläche verschwindet hier, da bei der Multipolentwicklung r hinreichend groß
ist und dann gilt:
⎫
�
�E D � ′′
dV = −
V
�
∂VL
� �
ϕ �D ′
− D�
d� A
ϕ ∼ 1
r
�D ′′ ∼ 1
r 2
∂V∞ ∼ r 2
↓ ϕ auf Oberfläche const. ( Voraussetzung!)
�
�E D � ′′
dV = − ϕ
� � �
�D ′
− D�
d� A
V
∂VL
Für einen Leiter gilt weiterhin � D = � D ′ . Damit:
a) �verschwindet die Tangentialkomponente
�Dt = ε �Et = �0, D � ′
t = ε �E ′ t = � �
0
⎪⎬
⎪⎭
∼ 1
r
∂V∞
→ 0 für r → ∞
b) verschwindet � auch die Normalkomponente
�Dn = σ �n Vor.
= � D ′ �
n
�
⇒ �E D � ′′
dV = 0 ⇒ Damit reduziert sich Gl. (4.18) auf:
V
∆W = ε
2
� ��E ′′ � 2
dV = ε
2
� � �2 �E ′ − �E � ��
≥0
�
dV ≥ 0
Wir konnten also zeigen, daß die elektrische Feldenergie minimal wird, wenn auf dem Rand
des betrachteten Volumens (Leiteroberfläche) das Potential konstant gehalten wird.
Diese Eigenschaft ist z.B. für numerische Rechnung sehr nützlich, da man so ein Kriterium dafür hat, ob
die Rechnung in die richtige oder total falsche Richtung geht (Man prüft ständig, ob die Energie größer
oder kleiner wird; wird sie größer, so ist man auf dem Holzweg.).
4.5.2 Kapazität
Wir betrachten jetzt zwei räumlich getrennte Leiter mit den Ladungen (+Q) und (-Q). Diese Anordnung
wird unabhängig von der Leiterform als Kondensator bezeichnet.
1
Abb. 4.15: Anordnung eines Kondensators
2�
2�
U = �E d�r = − grad ϕ d�r = ϕ1 − ϕ2 = ϕ12
1

4.5 Leiter im elektrostatischen Feld 41
Da die ϕi konstant sind, gilt auch: U = const.
Um die Aufnahmefähigkeit eines Systems für Ladungen zu charakterisieren, wird der Begriff der Kapazität
eingeführt (formale Definition):
C = Q
U
[C] = As
V
= F (4.19)
Diese Größe ist vom Zwischenmedium und der Geometrie der Leiteranordnung abhängig.
Berechnung der Kapazität:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
• Q ist vorgegeben.
• Berechnung des Potentials im Zwischenraum durch das Lösen der Poisson-Gleichung der Form
∆· ϕ = 0 + Randbedingungen (Geometrie).
• Daraus erhält man die Potentialdifferenz (die Spannung).
• Nun folgt die einfache Berechnung der Kapazität.
Die Berechnung geht oft aber auch viel einfacher, d.h. ohne direktes Lösen der Laplace-Gleichung. Wir
führen dies nun am Beispiel des (idealen) Plattenkondensators durch.
Abb. 4.16: Der Plattenkondensator
• Die Plattenfläche A ist sehr groß (unendliche Ausdehnung); der Plattenabstand d dagegen sehr
klein.
• Auf den Platten liegt eine homogene Ladungsverteilung vor, da es zu einer Abstoßung der gleichen
Ladungen kommt, die einen möglichst großen Abstand zueinander einnehmen.
→ σ = const.
• Außerdem vernachlässigen wir das Streufeld am Rand der Platten (da d klein und A groß).
Mit diesen Voraussetzungen können wir nun mit der Berechnung beginnen.
1. Berechnung von � E
σ A = ε
��
� E d � A
�,außen
� �� �
=0,da kein Feld
��
◦ � D d � A = Qin V = σ A
+ ε
��
�,innen
� E d � A + ε
� D = ε � E
Abb. 4.17: Integrationsfläche für die Berechnung von � E
��
�E dA� Rest
� �� �
=0,�n⊥ � E

42
σ A = ε
σ A = ε
��
�,innen
��
� E d � A Ansatz: � E = � E(z) = E(z)�ez (Homogenität d. Ladungsverteilg.)
E(z) �ez · �ez dA
� �� �
d � A
E ist nur von z abhängig ⇒ E ist auf einer Fläche (x,y) const.
��
σ A = ε E(z) dA ⇒ E(z) = σ
= const. (unabhängig von z)
ε
2. Spannungsberechnung
� E = σ
ε �ez
2�
U = �E d�r Wahl des Weges entlang einer Feldlinie des �E - Feldes ⇒ d�r = �ez dz
U =
1
d�
0
U = σ
ε d
σ
ε �ez �ez dz
3. Berechnung der Kapazität
Zusammenhang zwischen ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
C = Q
U
Kapazität und Energie
✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿
U =
Q d
ε A
= ���� ε
Zwischenmedium
·
A
d
����
Geometrie
Die Definition der Kapazität erscheint sehr formal. Deshalb suchen wir jetzt einen physikalischen Zusammenhang
zwischen der elektrostatischen Energie des Feldes und der Kapazität. Unser Ausgangspunkt ist
der Green’sche Satz .
Green’scher Satz: ϕ, ψ sind 2 beliebige Skalarfelder
� � � � � ��
ϕ ∆· ψ + �∇ϕ �∇ψ
V
Wahl: ϕ = ψ = Potential, auf den Leitern konstant
V . . . Volumen außerhalb der Leiter
∆· ϕ = 0
∂V = ∂V∞ + ∂VL1 + ∂VL2
Für unseren Fall lautet der Green’sche Satz also wie folgt:
�
(grad ϕ) 2 �
dV = � 2
E dV =
V
V
dV =
��
◦
∂V
��
◦
∂V
ϕ ∂ψ
∂n dA
ϕ ∂ϕ
∂n dA

4.5 Leiter im elektrostatischen Feld 43
�
� 2
E dV =
V
�
V
��
◦
∂VL 1
ϕ ∂ϕ
∂n
� E 2 dV ϕ=const.
= ϕ1
dA +
��
◦
∂VL 1
∂ϕ
∂n
��
◦
∂VL 2
ϕ ∂ϕ
∂n
dA + ϕ2
dA +
��
◦
∂VL 2
��
◦
ϕ ∂ϕ
∂n dA
∂V∞
� �� �
→ 0, r → ∞
∂ϕ
∂n dA
Verwenden jetzt: ∂ϕ
∂n = �n grad ϕ = − �n �E und multiplizieren mit ε
2 durch.
⎡
⎤
1
2
�
V
� E � D dV = − 1
2
⎢
⎣
ϕ1
��
◦
∂VL 1
�D d � A
� �� �
QL 1
+ ϕ2
��
◦ �D d
∂VL2 � ⎥
A ⎥
� �� �
⎦
−QL 2
Da �n in den Leiter hineinzeigt, benötigen wir für die Anwendung der
Maxwell-Gleichungen bei den beiden Integralen noch ein ”Minus”.
Wel = − Q
2 (ϕ2 − ϕ1)
Wel = Q
2 (ϕ1 − ϕ2)
Wel =
Q U
2
= C
2 U2 = 1
2 C Q2
(4.20)
Unter dieser Gleichung versteht man die energetische Definition der Kapazität. In der Mechanik findet
man eine ”Merk-Analogie” zu dieser Gleichung:
Wkin = m
2 v2 = 1
2 m p2

44
5 Magnetfeld stationärer Ströme
Im elektrostatischen Fall hatten wir eine Entkopplung der elektrischen und magnetischen Anteile in den
Maxwell-Gleichungen. Für das Magnetfeld betrachten wir nun:
div � B = 0
rot � H = � j
�B = µ � H µ = const.
(5.1)
Aufgrund der Identität div(rot � H) = 0 = div � j folgt die Kontinuitätsgleichung
div � j = 0
Es muß nun � j(�r) vorgegeben sein. Daraus wollen wir nun � H und � B berechnen.
5.1 Lösung mittels Integralform
��
◦ �B d� A = 0,
�
�H d�r = �
I Summe aller vorzeichenbehafteten
A Ströme durch die Fläche A
∂V
∂A
Bei symmetrischen Feldern kann man die Integralform häufig direkt ausrechnen.
Beispiel: unendlich langer Draht mit der Stromstärke I
✿✿✿✿✿✿✿✿
��
◦
∂V
�B d � A = 0 ⇔ Die Feldlinien des � B - Feldes sind geschlossen.
Es existieren keine magnetischen Ladungen!
Abb. 5.1: ”Rechte-Hand-Regel” legt die Richtung der � H-Feldlinien fest
Abb. 5.2: Der Integrationsweg ist S 1 ;
A beliebige Oberfläche, ∂A Rand von A (Integrationsweg)
Anschaulich: Zylindersymmetrie
�
Ansatz: H(x, � y, z) = H(r, � ϕ, z) = H(r)(−�eϕ) = H(r) �ez × �r
�
r
Das Feld ist translationsinvariant bezüglich z und außerdem invariant unter Drehungen um die
z-Achse. Deshalb hängt � H in Zylinderkoordinaten nur noch vom Abstand r von der Zylinderachse
ab.
Einsetzen in (5.1):
� � �
�H d�r = H(r) �ez × �r
�
d�r = I
r
∂A
∂A

5.2 Das Vektorpotential 45
da ∂A = S 1 �
: d�r ⇈ �ez × �r
�
r
�
in jedem Punkt: d�r = �ez × �r
� �
I = H(r) �ez ×
�
r
ds
∂A
�r
�2 ds
r
| H(r) auf S 1 const.
�
I = H(r) ds = H(r) 2πr
∂A
H(r) = I
2πr ⇒ � H = I (�ez ×�r)
2πr 2 Und mit � I = I �ez :
�H(�r) = � I × �r
2πr 2
Der Betrag von � B bzw. � H ist ∼ 1
r . Dieses untypische Verhalten ist auf den unendlich langen Draht
zurückzuführen.
Wir suchen nun aber eine Methode, die auch für unsymmetrische Stromverteilungen funktioniert.
5.2 Das Vektorpotential
Gesucht ist nun wie in der Elektrostatik ein allgemeines Verfahren für beliebige Stromverteilungen.
Die Gleichung div � B = 0 läßt sich durch die Einführung des sogenannten Vektorpotentials � A(�r) immer
durch
�B = rot � A [ � A] = Vs
m
erfüllen, da die Identität div(rot(. . . )) = 0 gilt. Mit der Materialgleichung und der 2. Maxwell-Gleichung
erhalten wir:
�j = rot H �
1
=
µ rot � B Vekt.-Pot. 1
=
µ rot rot � A = 1
� �
grad div
µ
� �
A − ∆· � �
A
An dieser Stelle erinnern wir uns wieder daran, daß ein Vektorfeld durch die Angabe seiner Wirbel und
Quellen eindeutig festgelegt werden kann (vgl. Abschnitt 2). Bis jetzt haben wir nur Aussagen über die
Wirbel von � A gemacht, d.h. die Quellen fehlen noch.
⇒ Festlegung (Coulomb-Eichung): div � A = 0 (zweckmäßig)
(5.2)
Poisson-Gleichung: ∆· � A = − µ � j (5.3)
Wir können nun auch die Lösung der Poisson-Gleichung aus der Elektrostatik übernehmen (siehe Abschnitt
4.2):
5.2.1 Eichtransformation
�A(�r) = µ
4π
���
Leiter
� j(�r ′ )
| �r −�r ′ |
Für die (klassische) Physik ist � A (nur) eine Hilfsgröße. Meßbar sind nur � H oder � B (z.B. über � F = � j × � B).
Wir haben nun die Möglichkeit, einen Übergang � A → � A ′ zu machen, ohne daß sich das Magnetfeld � B
ändert.
Ausgangspunkt ist die folgende Transformation:
dV ′
(5.4)

46
”Eichtransformation”: � A ′ = � A + grad f(�r) (5.5)
�B ′ = rot � A ′ = rot � A + rot grad f(�r) = rot
� �� �
=0
� A = � B
Wir benötigen nun noch eine zusätzliche Bedingung. Wir fordern die Quellfreiheit des Vektorpotentials
unabhängig von der Eichfunktion f(�r).
div � A ′ = 0 = div � A + div grad f(�r) = div � A + ∆· f(�r)
⇒ Laplace-Gleichung: ∆· f(�r) = 0
Falls der Gradient einer Lösung der Laplace-Gleichung zum Vektorpotential � A addiert wird,
so ändert sich die (klassische) Physik nicht!
Beispiel: homogenes Magnetfeld in z-Richtung
✿✿✿✿✿✿✿✿
�B = (0, 0, B) B = const. (wegen Homogenität)
�A ′ = � − B
�
B
2 y, 2 x, 0� Diese beiden Vektorpotentiale liefern beide
�A = (0, Bx, 0)
über rot � A = � B das obige Magnetfeld!
Die beiden Vektorpotentiale sind auch quellfrei. Sie lassen sich in der Tat durch die Eichtransformation
ineinander überführen.
f = − B
2 xy + const. ⇒ ∆· f = 0
grad f = � − B B
2 y, − 2 x, 0� , d.h.
�A ′ = � A + grad f
Im folgenden wollen wir nur noch solche Größen als physikalisch relevante Größen (”Meßgrößen”) zulassen,
die invariant unter der Eichtransformation sind (z.B. � B)!
Frage: Ist die allgemeine Lösung für ✿✿✿✿✿✿
� A (5.4) überhaupt mit der Nebenbedingung
div� A = 0 verträglich?
Vor.:
� j sei räumlich beschränkt (reiche also nicht ins Unendliche).
a) Poisson-Gleichung:
∆· � A = − µ � � j | div-Bildung
div ∆· � �
A = − µ div �j �
∆· div� �
A = − µ div �j � �� �
= 0
⇒ div � j = 0 (Kontinuitätsgleichung)
Die Nebenbedingung ist mit der Kontinuitätsgleichung verträglich.
b) Allgemeine Lösung:
div� A(�r) = µ
4π div�r
���
div� A(�r) = µ
4π
���
Leiter
Leiter
div�r
� j(�r ′ )
| �r −�r ′ |
� j(�r ′ )
| �r −�r ′ |
dV ′
dV ′
| div wirkt auf �r

5.2 Das Vektorpotential 47
Nebenrechnung:
�
�j(�r ′ )
div�r
| �r −�r ′ �
|
Prod.-Reg.
=
� ′ 1
j(�r ) grad�r
| �r −�r ′ |
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
= − �j(�r ′ (�r −�r
)
′ )
| �r −�r ′ | 3 =�j(�r ′ 1
) (−1) grad�r ′
| �r −�r ′ |
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Prod.-Reg.
= − div�r ′
⎛
⎜ � ′ j(�r )
⎝
| �r −�r ′ | +
1
(�r −�r ′ )
div�r ′ ⎞
� ′
j(�r )
� �� �
⎟
⎠
= − div�r
= 0 Kontinuitätsgl.
′
�
�j(�r ′ )
| �r −�r ′ �
|
An dieser Stelle endet unsere kurze Nebenrechnung. Die beiden markierten
Ausdrücke sind identisch.
div� A NR
= − µ
4π
���
div�r
Leiter
′
� ′ j(�r )
| �r −�r ′ ′
dV
|
div� A Gauß
= − µ
��
◦
4π
� ′ j(�r )
| �r −�r ′ | d�F ′
∂V ′
Wir legen unsere Integrationsoberfläche ∂V ′ nun dahin, wo � j = � 0 (also außerhalb des Gebietes).
Daraus folgt dann, daß
⇒ div � A = 0
5.2.2 Biot - Savart’sches Gesetz (für dünne Leiter)
Alles kompatibel!
In der Praxis haben wir es häufig mit Leitern kleinen Querschnitts zu tun (”Drähte”). Wenn der Querschnitt
gegen Null geht, dann sprechen wir von sogenannten ”Linienströmen”.
dV ′ = d � F d�r ′ =| d � F | · | d�r ′ | d � F . . . gerichtetes differentielles Flächenelement
d � F ⇈ d�r ′ ⇈ � j
� j(�r ′ ) dV ′ =| � j(�r ′ ) | · | d � F | d�r ′
Die Angabe der Richtung von �j wird durch die Richtung von d�r ′ übernommen.
(5.4) ⇒ A(�r) �
µ
=
4π
���
| � ′ j(�r ) | · | d� ′ F | d�r
| �r −�r ′ |
Falls der Aufpunkt hinreichend weit vom Leiter entfernt und der Querschnitt klein ist, kann bei der
1
dF-Integration der Faktor |�r−�r ′ | als konstant angesehen werden!
A(�r) ≈ µ
��
|
4π
�j(�r ′ ) | · | d� �
d�r
F | ·
� �� � Leiter
I
′
| �r −�r ′ |

48
A(�r) ≈ µ
4π I
�
Leiter
d�r ′
| �r −�r ′ |
Aufgrund der Kontinuitätsgleichung muß der Stromkreis geschlossen sein. Damit erhalten wir nun einen
Ausdruck, der exakt für ”Linienströme” ist, für dünne Leiter aber eine gute Näherung darstellt.
A(�r) ≈ µ
4π I
�
Leiter
d�r ′
| �r −�r ′ |
Mit Hilfe diese Ausdrucks können wir nun das Magnetfeld berechnen.
�B(�r) = rot � A = � ∇�r × � A(�r)
�B(�r) = µ
4π I
� �
d�r
�∇�r ×
′
| �r −�r ′ �
|
Nebenrechnung:
�∇�r ×
(5.6)
d�r ′
| �r −�r ′ | = � 1
∇�r ×
| �r −�r ′ | d�r ′ = � 1
∇�r
| �r −�r ′ =
|
�
1
grad�r | �r −�r ′ �
× d�r
|
′
= − (�r −�r ′ )
| �r −�r ′ | 3
′
× d�r
× d�r ′
Wenn wir dieses Resultat nun einsetzen, so erhalten wir das Biot-Savart’sche Gesetz für dünne Leiter:
Biot-Savart’sches Gesetz:
� B(�r) = − µ
4π I
� (�r −�r ′ ) × d�r ′
| �r −�r ′ | 3
Diese Gesetzt stellt eine sehr gute Näherung für dünne Drähte und große Abstände dar ( Querschnitt
Abstand
Beispiele:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. Feld eines unendlich langen Leiters
| �r |= r, | �r ′ |= s, | d�r ′ |= ds, | �a × � b |=| �a | · | � b | sin α
| � B |= µ
4π I
| � B |= µ
4π I
| � B |=
µ I
2πr
∞�
−∞
∞�
−∞
| �r −�r ′ | · | d�r ′ | sin α
| �r −�r ′ | 3
| sin α =
r
(r2 + s2 µ I
ds =
3/2
) 4π r
�
s
r2 √ r2 + s2 (vgl. das Ergebnis in Abs. 5.1)
r
√ r 2 + s 2
2. Kreisförmige Leiterschleife
Wir suchen das Feld im Mittelpunkt der Leiterschleife: � B = � B(0). Außerdem ist:
�r = 0, �r ′ = R �er, d�r ′ = ds �eϕ = R dϕ d�eϕ � �
µ I
B(0) = −
4π
S1 (R dϕ �eϕ) × (R �er)
R3 �B(0) = −
�
dϕ
µ I
4π
1
R (�eϕ × �er)
S 1
� ∞
−∞
(5.7)
≪ 1).

5.3 Energie von Stromverteilungen 49
�B(0) = µ
2
I
R �ez
Abb. 5.3: kreisförmige Leiterschleife
Mit diesem Teilresultat können wir nun auch eine qualitative Erklärung der atomaren magnetischen
Momente im Rahmen des Bohr’schen Atommodells geben.
• kreisendes Elektron ^= Ringstrom
• Kreisfrequenz: ω = 2π
τ , τ. . . Umlaufzeit
• Drehimpuls: � L = �r × �p = R 2 me ω �ez, me. . . Elektronenmasse
• Der Ringstrom erzeugt ein Magnetfeld.
I = ˙ Q ≈ e
τ
= e
2π ω
�B(0) = µ0
2 R I �ez ≈ µ0
e
2π
ω
2 R �ez = µ0 e
2π me
� L
2 R 3
Das magnetische Moment ist wie folgt defininert (siehe Exp.-Ph.):
d �m = � M dV
Mit der Materialgleichung und der Näherung
erhalten wir:
� M . . . Magnetisierung
�B = µ0 � H + � M � M = k � B k . . . numerische Konstante
�m = k
���
unsere Näherung: �m ∼ µ0 e
V
�B(0) dV = k µ0 e
2π me
me
� L
2 R 3
���
dV
V
� �� �
∼R 3
� L exakt: �m = µ0 e
2 me
Das magnetische Moment �m ist für die paramagnetische Eigenschaft von Substanzen verantwortlich.
5.3 Energie von Stromverteilungen
5.3.1 Magnetische Feldenergie
Diesen Fall handeln wir analog zum elektrostatischen Fall ab (vgl. Abschnitt 4.3.2).
Wm = 1
2
�
�H � B dV = 1
2
�
�H rot � A dV
Wir wenden jetzt die Hilfsformel
�
div �a × � �
b = �b rot �a − �a rot �b � L

50
an und erhalten somit:
Wm = 1
2
�
�A rot � � ��H� dV +
�j 1
Wm =
� � �
div �A × H�
2
� ��
Gauß
dV
�
1
2
�
��
�j A� 1
� �
dV + ◦ �A × H�
d
2
�F ∂V
Wir legen unseren Rand ∂V wieder weit außerhalb der (lokalisierten) Ladungsverteilung. Somit liegen die
folgenden Tendenzen vor:
�A ∼ 1
r , H� 1
∼ , ∂V ∼ r2
r2 Damit verschwindet das geschlossene Oberflächenintegral, da wir mit r gegen unendlich gehen. Der Ausdruck
für die magnetische Feldenergie reduziert sich zu:
Wm = 1
2
���
�j(�r) A(�r) � dV (5.8)
R 3
An dieser Stelle setzen wir die allgemeine Lösung des Vektorpotentials (5.4) ein und erhalten einen
Ausdruck für die Energie des magnetischen Feldes.
Wm = µ
8π
��� ���
R 3
R 3
� j(�r) � j(�r ′ )
| �r −�r ′ | dV ′ dV
Wir können auch diese magnetische Energie als ”Selbstenergie” interpretieren. Diese beiden Gleichungen
sind mit den Gleichungen der Elektrostatik völlig identisch (vgl. (4.10)).
5.3.2 Energie einer Stromverteilung im äußeren Feld � B a
Wir setzen hier in analoger Weise wie in der Elektrostatik voraus, daß die Stromverteilung ”eingefroren”
ist, also nicht von � Ba beeinflußt wird.
Wm = 1
� ��H
+ � a
H
2
� � B � + B� a �
dV
Wm = 1
�
�H
2
� B dV + 1
�
�H
2
a�
�
a 1
��H �
B dV + B� a
+ H� a� B dV
2
1. Term Selbstenergie der Ladungsverteilung
2. Term Selbstenergie des äußeren Feldes
3. Term Wechselwirkungsenergie der Stromverteilung im äußeren Feld
Wechselwirkungsenergie:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
W WW
m = 1
� ��H �
B� a
+ H� a� B
�2
= �H rot � A a dV
W WW
m
W WW
m
W WW
m
= �.
. . Rechnung wie in Abs. 5.3.1
= �j(�r) A� a
dV
R 3
Im Spezialfall dünner Leiter (Biot-Savart):
�j(�r) dV =| �j | · | d�F | d�r
W WW
�
m = | �j | · | d�F |
� ��
I
�
�
Leiter
�A a d�r
dV festes
�
= �H
Medium µ
� B a dV

5.4 Magnetischer Dipol 51
Hierbei ist vorausgesetzt, daß sich � Aa über den gesamten Leiterquerschnitt nur ”wenig” ändert (konstant
ist).
�
= I �A a ��
d�r = I rot � A a d� ��
F = I �B a d�F W WW
m
Leiter
W WW
m
F
= I Φ a |F
F bezeichnet die von der Leiterschleife eingeschlossene Fläche und Φ a |F den magnetischen Fluß des
äußeren Feldes durch die Fläche F.
5.4 Magnetischer Dipol
Den magnetischen Dipol behandeln wir völlig analog zum Fall in der Elektrostatik.
Voraussetzung:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
◮ lokale Stromverteilung
◮ | �r |≫| �r ′ |, d.h. uns interessiert das Magnetfeld in großen Abständen von � j
Für die Vereinfachung des Sachverhaltes machen wir unsere Rechnungen für ”dünne” Leiter. Wir benutzen
dafür die Lösung der Poisson-Gleichung (5.4) und die Näherung für dünne Leiter (5.6).
⇒ A(�r) = µ
4π I
�
d�r ′
| �r −�r ′ |
Wenn wir jetzt den Fall haben, daß mehrere unabhängige Stromkreise vorliegen, so können wir diese
einfach superponieren.
A(�r) = µ
4π
N�
Ik
�
d�r ′ k
| �r −�r ′ k |
k=1
O.B.d.A. betrachten wir nur eine Leiterschleife, da wir das Resultat ohne Probleme verallgemeinern
können.
Leiter
Leiter
Multipolentwicklung: ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Wir wenden Taylor bzgl. des Quellpunktes an
1
| �r −�r ′ 1
=
| r −
� �
∂ 1
x
∂xi r
′ i + . . . r = √ 1
| �r −�r
xi xi
′ | =
1
+
���� r
Monopol
�r ′ �r + . . .
r3 � �� �
Dipol
Diese Entwicklung setzen wir nun in das Integral des Vektorpotentials ein:
�A(�r) = µI
4π
�
d�r ′
r
µI
+
4π
�
�r �r ′
r3 d�r ′ + . . .
Monopolanteil:
� d�r ′
r
= 1
r
Physikalische Ursache:
�
Leiter
′ geschl. Leiterschl.
d�r = 0
Daß der Monopolanteil verschwindet, macht eine Aussage darüber, daß es in der Maxwell’schen
Theorie keine magnetischen Monopole gibt. Für alle hinreichend großen Abstände ist stets
das Dipolfeld als dominanter Anteil meßbar!
Leiter
F

52
Wir machen nun für den Dipolanteil eine identische Umformung: ”nahrhafte Null”
d�r ′ (�r �r ′ ) = 1
2 [d�r ′ (�r �r ′ ) − �r ′ (�r d�r ′ )]
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
+ 1
2 [d�r ′ (�r �r ′ ) + �r ′ (�r d�r ′ )]
1. Summand: Zerlegung eines doppelten Vektorprodukts (markierte Ausdrücke sind identisch)
Leiter
d�r ′ (�r �r ′ ) = 1
2 (�r ′ × d�r ′ ) ×�r
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Dieses Resultat setzen wir nun ein und erhalten
�A Dipol (�r) = µI
4π
1
r3 �
⎡
⎣ 1
2 (�r ′ × d�r ′ ) ×�r + 1
2
�A Dipol (�r) = µI
8π
�
Leiter
(�r ′ × d�r ′ ) × �r
r 3
+ 1
2 d (�r (�r �r ′ ))
d (�r (�r �r ′ ))
� �� �
=0, Umlaufint. über totales Diff.
Wir definieren das magnetische Dipolmoment �m der Stromverteilung nun wie folgt:
�m = µI
2
�
Leiter
(�r ′ × d�r ′ ) [ �m] = VS · m (5.9)
�A Dipol (�r) =
�m �r
4 π r 3
⎤
⎦
(5.10)
Bem.: Der Ausdruck für � A Dipol gilt allgemein. Allerdings wird �m für dicke Leiter oder Permanentmagneten
anders berechnet.
An dieser Stelle wollen wir noch eine äquivalente Darstellung für das Vektorpotential des Dipolfeldes
geben.
�
1 α =
Hilfsformel: rot(α �a) = grad α × �a + α rot �a
r
�a = �m
rot �m
� �
1
= grad × �m +
r r
1
r
rot �m
r
� �� �
− �r
r 3
= �m �r
r 3
rot �m
� �� �
0, �m=const.
�A Dipol (�r) = 1
4 π rot
� �
�m
r
Wir wollen nun das Dipolmoment �m anhand ebener Leiter geometrisch Veranschaulichen.
�m = µI
�
(�r
2
′ × d�r ′ )
1
2 (�r ′ × d�r ′ ) = �n 1
2 | �r ′ × d�r ′ |
� �� �
dF
Daß man mit dem Kreuzprodukt die Fläche des Parallelogramms, welches von den
beiden Vektoren aufgespannt wird, berechnen kann, ist eine geometrische Bedeutung.
⇒ �m = µ I �n � dF = µ I F �n (∗) F . . . die von der Leiterschleife eingeschlossene Fläche

5.4 Magnetischer Dipol 53
Abb. 5.4: �m ⊥ Fläche(in Normalenrichtung)
Abb. 5.5: �n = �ez
Beispiel: Kreisförmig umlaufende Punktladung (vgl. Abschnitt 5.2.2) I = ✿✿✿✿✿✿✿✿
˙ e ω
Q =
�ez | � L |
→ Anwendung von (*)
�m = µ0
�m = µ0 e
2 me
e � L
2π R 2 me
π R 2
� L (exakter Ausdruck)
Berechnung von �B ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Dipol :
�A Dipol ist keine direkte Meßgröße ⇒ � B Dipol
�B Dipol = rot
�B Dipol Vektor-
=
analysis
� �
�A Dipol
1
4π
= 1
4π
�
grad div
� �
�m
rot rot
� �
r
�m
− ∆·
r
�m
�
r
2π
Drehimp.
=
e | � L |
R 2 me 2π
Wir betrachten nun beide Anteile separat.
1. div(α �a) = �a grad α + α div �a
�
1 α = r
�a = �m = const.
� �
�m
grad div
r
=
�
grad �m grad 1
� �
= − grad �m
r
�r
r3 =
� � �
1
= − grad �m�r
r3 � �
1
− grad
r3 �
�m�r + 1
�
grad( �m�r) | f = f(r) ⇒ grad =
r3 �r
=
d
r dr
�
− − 3
r4 �r �m
( �m�r) +
r r3 �
2. ∆· �m 1
= �m ∆·
r r
r �= 0: ∆· 1
r = 0 (vgl. Coulomb-Potential)
r = 0 Uninteressant, da wir das Feld nur in großen Abständen betrachten (Vor. für
die Multipolentwicklung)
�B Dipol (�r) = 1
4 π r 3
�
3
( �m �r) �r
r 2
�
− �m
(5.11)
Diese Gleichung können wir direkt mit der Gleichung des � E-Feldes eines elektrischen Dipols (4.13) vergleichen.
Sie ähneln sich sehr und man muß nur �m gegen �p ”austauschen”.
� L =

54
In äußeren magnetischen Feldern kommt es wieder zu speziellen Kraftwirkungen auf magnetische Dipole.
Sei � H a ein äußeres Feld, dann gilt (ohne Beweis):
Wechselwirkungsenergie : WWW mag = − �m � Ha Kraft :
�F = ( �m grad) H� a
Drehmoment :
M � = �m × H� a
Nachtrag: Nichtexistenz magnetischer Monopole
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
→ Wir hatten den Nachweis nur für den Spezialfall dünner Leiter geführt.
→ Jetzt wollen wir diesen Sachverhalt allgemein nachweisen.
Ausgangspunkt: Allgemeine Lösung des Vektorpotentials (5.4)
�A(�r) = µ
4π
���
Leiter
� j(�r ′ )
| �r −�r ′ |
Wir machen jetzt eine Multipolentwicklung für lokalisierte Stromverteilungen.
1
| �r −�r ′ | =
�A(�r) = µ
4π r
1
r
����
interessant, da nur dieser Anteil zum Monopol führt
���
� ′ ′
j(�r ) dV + . . .
Leiter
⎫
⎪⎬
⎪⎭
dV ′
+ �r
r 3 �r ′ + . . .
Beweise analog wie in der
Elektrostatik
Es bleibt zu zeigen, daß das Integral verschwindet ⇔ Monopolanteil ist identisch Null.
Wir führen für die x-Komponente von � j eine explizite Rechnung durch. Aufgrund der Schreibarbeit lassen
wir den ”Strich” weg (�r ′ = �r).
���
jx(�r) dV =
Hilfsformel: div(α �a) = �a grad α + α div �a
� �� �
=0, Kontinuitätsgl.
���
���
jx(�r) dV = (x · � ���
j) dV
jx(�r) dV Gauß
��
= ◦ x · �j d�F ���
jx(�r) dV = 0
∂V
��� ���
�j �ex dV = �j grad(x) dV
� �a = � j
α = x
Abb. 5.6: Wir wählen ∂V so, daß sie außerhalb von � j �= � 0
liegt.
Diese Rechnung können wir nun analog für die y- und z- Komponente von � j machen. Das Resultat ist:
Wir können jetzt allgemein sagen:
Es gibt in der Maxwell’schen Theorie keine magnetischen Monopole; zumindest
nicht für lokalisierte Stromverteilungen!

5.5 Kräfte von Magnetfeldern auf Ströme 55
5.5 Kräfte von Magnetfeldern auf Ströme
Wir betrachten jetzt eine Stromverteilung im äußeren Feld � B a , � A a . Durch eine Stromquelle werde für
einen konstanten Strom in der Leiterschleife gesorgt.
Gesucht: Kraft � F, die das äußere Feld � B a auf die Stromverteilung ausübt ( � f = � j × � B a )
→ Herleitung auf Basis des Energiesatzes
Energiebilanz:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Bei kleinen Verschiebungen des Stromkreises um δ�r wird vom System Arbeit � F δ�r verrichtet, die auf
Kosten der magnetischen Feldenergie δWmag realisiert wird. Wir treffen die folgenden Annahmen für
eine vereinfachte Rechnung:
◮ Energiebeiträge der Stromquelle / Joule’sche Wärme seien vernachlässigbar, z.B. supraleitende
Stromschleife (I=const.).
◮ Keine Deformation der Leiterschleife beim Verschieben (Selbstenergie sei const.).
◮ Das äußere Feld sei fest vorgegeben.
⇒ Abnahme der magnetischen Feldenergie = verrichtete mechanische Arbeit
Wmag → Wmag + δWmag ; δWmag + � F δ�r = 0
⇒ Wmag ist unter den obigen Voraussetzungen die Wechselwirkungsenergie.
W WW
mag = Wmag = � � j � A a dV ; δWmag = − � F δ�r
Abb. 5.7: Verschiebung einer Leiterschleife
δ�r = (δx1, δx2, δx3, )
Der Index ”a” wird während der Rechnung unterdrückt.
Zweckmäßig: Komponentenschreibweise, Summationskonvention (vgl. Abschnitt 2)
�
δWmag = δ jl Al dV | Das Volumen sei fest und hinreichend groß
(Verschiebung nur innerhalb von V)
�
→ Variation und Volumen-Integration sind unabh.
=
�
δ(jl Al) dV | nur die Stromverteilung wird variiert, äußeres Feld fest
δAl=0
= Al δjl dV | jl = jl(xk)
=
=
�
Al
�
Ai
∂jl
∂xk
∂ji
∂xn
δxk dV
δxn dV
| Indexumbenennung
| δxn . . . Variat. der Leiterschleife durch Verschieben
Hilfsformel: Zerlegung doppeltes Vektorprodukt (vgl. Abschnitt 2)
� �
∂jm
εikl εlmn = (δimδkn − δinδkm)
∂xk
∂jm
∂xk
� �
∂jm
εikl εlmn =
∂xk
∂ji ∂jk
− δin
∂xn ∂xk ����
div � j=0
� �
∂ji
∂jm
= εikl εlmn | · δxn
∂xn
∂xk � �
∂ji
∂
δxn = εikl εlmn jm δxn
∂xn
∂xk
Dieses Resultat können wir nun in unsere Gleichung für δWmag einsetzen.

56
δWmag =
δWmag =
δWmag
�
�
Ai εikl εlmn
εikl εlmn Ai
Prod.-Reg.
=
�
� ∂
∂xk �
∂
∂xk
∂
jm
jm
�
δxn dV
�
δxn dV
(Ai jm) δxn dV
εikl εlmn
�
∂xk
��
Integral 1
�
−
�
εikl εlmn jm
Wir betrachten zunächst das Integral 1:
� �
∂
∂
(εikl εlmn Ai jm) δxn dV = δxn Tkn
∂xk � �� �
∂xk � �� �
Tkn
Tensordivergenz
� �
∂Ai
δxn dV
∂xk
dV Gauß
⇒
��
◦Tkn dFn → 0
Daraus ergibt sich für unsere Änderung der magnetischen Feldenergie:
δWmag =
=
=
�
� �
∂Ai
− εikl εlmn jm δxn dV
� �� � ∂xk
l,n vertauschen
�
� �
∂Ai
εnml jm εikl
δxn dV
���� ∂xk
i,l vertauschen
�
∂Ai
− εnml jm εlki δxn dV
∂xk � �� �
| Antisymmetrie von ε
= −
= −
Skalar-Prod.
= −
Wegen der obigen Energiebilanz:
�
(rot � A) l =Bl
εnml jm Bl δxn dV
� �� �
( � j× � B) n
� ��j �
× B�
n δxn dV
� ��j
× B� a �
· δ�r dV
✿✿✿✿✿✿✿✿
δWmag = − � F δ�r Kraftdichte
= −
�
�
�f dV δ�r = − �f δ�r dV
Der Vergleich der beiden markierten Ausdrücke liefert (da δ�r bel.):
Beispiele für Kraftdichten:
✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. bewegte Punktladung
Lorentz-Kraftdichte:
� f = � j × � B a
(5.12)
�j = ρel(�r, t) �v (Konvektionsstrom)
Für eine Punktladung gilt: ρel = Q δ(�r −�rQ(t)) �rQ(t) . . . aktueller Ort der
Punktladung
�j = Q �vQ δ(�r −�rQ(t))
� �
�vQ(t) . . . aktuelle Geschwindigkeit der Punktladung
�F = �f dV =
�
�j × B(�r) � dV
�F = Q �vQ × δ(�r −�rQ) � B(�r) dV
� F δ−Fkt.
= Q �vQ × � B(�rQ) Lorentz-Kraft auf eine Punktladung Mit dem 2. Newton’schen Axiom
� F = m ¨ �r erhalten wir noch eine wichtige physikalische Meßgröße: Die spezifische Ladung.
¨�r =
Q
�v ×
���� m
spezifische Ladung
� B

5.5 Kräfte von Magnetfeldern auf Ströme 57
2. Kraft zwischen 2 geschlossenen Leitern
Abb. 5.8: Die Richtung der
Lorentz-Kraft erhalten wir
mittels der
”Rechte-Hand-Regel”
Ges.: Leiter 2 erzeugt � B2 ⇒ Kraftwirkung des Leiters 2 auf 1
Vor.: dünne Leiter
�j � dV → I d�r �
. . . dV → . . . d�r
Abb. 5.9: Wir betrachten jetzt nur das vom 2. Leiter erzeugte Magnetfeld und
dessen Wirkung auf den Leiter 1.
� F1 =
���
� j1 × � B2 dV =
�
L1
I1 d�r × � B2(�r1)
Wir können nun � B2(�r1) durch das Biot-Savart’sche Gesetz (5.7) ersetzen und erhalten für die Kraft
auf den ersten Leiter
�F1 = µ I1 I2
4π
� �
d�r1 × (d�r2 × (�r1 − �r2))
| �r1 −�r2 | 3
L1 L2
Mit dieser Gleichung erhalten wir eine sehr komplizierte Richtungsabhängigkeit, die unangenehm
ist. Deshalb diskutieren wir den Fall am Beispiel paralleler Drähte:
Definition des Ampères:
Abb. 5.10: Parallele Drähte mit gleicher Stromrichtung ziehen sich an.
Wenn im Vakuum auf zwei gerade starre Leiter, die sich im Abstand von 1 m befinden, auf
einer Länge von 1 m eine Kraft von 2 · 10 −7 N wirkt, so fließt in ihnen ein Strom von 1 A
Stärke.

58
6 Felder quasistatischer Ströme
Die meisten Probleme der Elektrotechnik und Elektronik spielen sich im Gebiet der langsam veränderlichen
Felder ab.
Diese Aussage ist diffus, denn was bedeutet ”langsam”? Langsam wogegen?
Annahme: Zeitlich periodischer Vorgang (oder periodisch gedämpft)
T. . . Schwingungsdauer, c. . . Lichtgeschwindigkeit
⇒ c · T = λ. . . Wellenlänge
⇒ Wir haben so einen zeitlichen Vergleich auf einen räumlichen zurückgeführt.
Falls: λ ≫ l (l. . . charakteristische Systemlänge), so ist die Retardierung der Felder zu vernachlässigen.
D.h. � j oder ρel ändern sich an irgendeiner Stelle im System
⇒ Feldstärkeänderungen werden instantan (”sofort”) im gesamten System wirksam!
Bsp. Wechselstrom: ν=50 Hz ⇒ λ ≈ 6.000 km; Labor-/Hausanlagen liegen im Meterbereich
→ Retardierung zu vernachlässigen
Dies ist z.B. realisierbar durch rot � H = � j + ˙ � D
| � j | ≫ | ˙ � D | (6.1)
Wir wollen jetzt eine kurze Abschätzung für zeitlich periodische Felder treffen:
�E ∼ �E0(�r) eiωt ˙�D
⇒
= i ω ε � �
E |
�j = σ �E ˙ D � |
| �j | = | i | ω ε | �E |
σ | � =
E |
ω ε
≪ 1
σ
⇒ Für hinreichend kleine Frequenzen ist die Vernachlässigung der Retardierung realisierbar. Am Beispiel
von Kupfer ergibt sich:
σ
ε = 1017 s −1 sichtbares Licht: ω ≈ 10 14 s −1 ⇒
ω ε
σ ≈ 10−3 ≪ 1
Der Gültigkeitsbereich der quasistationären Ströme hängt stark vom gewählten Material ab.
Zusammenfassende Annahmen:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. Vernachlässigung des Verschiebungsstroms ˙ � D im Inneren und Äußeren der Leiter.
2. Keine Raumladungen ρel(�r, t) innerhalb der Leiter
Abschätzung:
� j = σ � E, allgemeine Kontinuitätsgleichung:
0 = ∂ρel
∂t + div(σ � E)
∂ρel
∂t + div � j = 0
0 = ∂ρel
∂t + (grad σ)�E + σ div �E 0 Max.-Gl. ∂ρel σ
= +
∂t ε ρel + �E grad σ
→ betrachten jetzt homogene Leiter: grad σ = 0, σ = const.
˙ρel + σ
ε ρel = 0
Int.
⇒
t − ρel(t) = ρ0 e τ τ ≡ ε
σ
Nach einer Zeit t = τ sind sie Raumladungen dann abgebaut. Hier zwei Zahlenbeispiele:
Kupfer: τ ≈ 10 −17 s Isolator: τ ≈ 10 −2 s
Für fast alle Bereiche der Elektrotechnik / Elektronik sind diese Annahmen gut erfüllt. Damit reduziert
sich unser Maxwell-System auf:

6.1 Induktionsvorgänge in Leitern 59
div � D = 0
div � B = 0
rot � E = − ˙ � B
rot � H = � j
aber � j = � j(�r, t), unter der Vorraussetzung, daß die
Vorgänge langsam ablaufen.
außerdem: div � j = 0
Bei der Feldberechnung entsprechend des obigen Systems ist eine Fallunterscheidung notwendig.
1.Fall � j(�r, t) ist vorgegeben (einfache Variante)
- Zunächst Berechnung von � H, � B (wie im analogen Fall, t wird als formaler Parameter betrachtet
⇒ Zeitabhängigkeit von � j überträgt sich einfach auf � H) → vgl. Methoden in Abs.
5.
- über das Induktionsgesetz kann man � E und � D einfach berechnen.
2.Fall Innerhalb der Leiter ist � j(�r, t) i.A. unbekannt
- häufig führt man die Stromdichte mittels des Ohm’schen Gesetzes auf das elektrische Feld
zurück
� j(�r, t) = σ � E(�r, t)
- Die Gleichungen sind verkoppelt → komplizierter
- Es ist notwendig, alle Funktionen simultan zu bestimmen; die Kopplung sieht wie folgt aus:
6.1 Induktionsvorgänge in Leitern
Abb. 6.1: Kopplung der physikalischen Größen
Ausgangspunkt: magnetische Feldenergie, wobei � j = � j(�r, t) sein kann!
Wmag(t) = 1
2
Wmag(t) = µ
8π
�
�H � B dV = 1
2
� �
�j(�r, t) � ′ j(�r , t)
| �r −�r ′ |
�
� j � A dV
dV dV ′
⇒
� H = � H(�r, t)
Die Zeit t ist hier nur ein formaler Parameter, der für die Herleitung dieses Ausdrucks keine Bedeutung
hat.
Im Falle zweier räumlich getrennter Leiter sieht die Sache wie folgt aus:
Wmag = 1
⎧
µ
⎨�
�
�j1(�r, t)
2 4π ⎩
1 2
�j2(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′ � �
�j2(�r, t)
+
2 1
�j1(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′ +
� �
�j1(�r, t) �j1(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′ � �
�j2(�r, t)
+
�j2(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′
⎫
⎬
⎭
1 1
2 2

60
Für die beiden ersten Integrale (12) können wir die Methode dünner Drähte anwenden:
� �
�j dV → I(t) d�r →
Damit � �ergibt
sich z.B.
µ
. . . dV dV
4π
′ = µ
4π I1(t)
� �
d�r d�r
I2(t)
′
| �r −�r ′ | = L12 I1(t) I2(t), wobei
1 2
1 2
Koeff. der Gegeninduktion: L12 = µ
4π
V
� �
d�r d�r ′
| �r −�r ′ |
L12 ist (abgesehen von µ) eine rein geometrische Größe (Form der Leiterschleife und deren gegenseitiger
Lage). Analog können wir (21) berechnen:
� �
µ
. . . dV dV
4π
′ = µ
4π I2(t)
� �
d�r d�r
I1(t)
′
| �r −�r ′ | = L21 I2(t) I1(t)
2 1
Hierbei gilt offensichtlich:
2 1
L12 = L21
Für die beiden restlichen Integrale ( � �
, � �
) ist die Näherung dünner Drähte nicht praktikabel.
1 1
2 2
1 2
→ führt auf divergente Integralausdrücke
⇒ die Volumenintegration muß vollständig ausgeführt werden
Wir definieren jetzt folgende Größen:
L11 = µ
4π I 2 1
L22 = µ
4π I 2 2
� �
1 1
� �
2 2
� j1(�r, t) � j1(�r ′ , t)
| �r −�r ′ |
� j2(�r, t) � j2(�r ′ , t)
| �r −�r ′ |
dV dV ′
dV dV ′
Somit erhalten wir für die Feldenergie:
Wmag(t) = 1
2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
Koeffizienten der Selbstinduktion
�
L11 I 2 1 + 2 L12 I1 I2 + L22 I 2� 2
Wenn wir diese Gleichung für N Leiter verallgemeinern, ergibt dies:
Wmag(t) = 1
2
N�
N�
k=1 l=1
Lkl Ik Il
Die Lkl sind wie folgt festgelegt:
l �= k ⇒ Llk ≡ µ
4π
� �
d�r d�r
l k
′
| �r −�r ′ |
l = k ⇒ Lll ≡ µ
4πI2 � �
�jl(�r, t)
l
�jl(�r ′ , t)
| �r −�r ′ |
l l
mit Lkl = Llk
dV dV ′
Da Wmag ≥ 0, sind die Koeffizienten von Lkl > 0 (pos. definit). Bei der Wahl des Umlaufsinns in � �
. . .
ist dies zu berücksichtigen.
(6.2)
l k

6.1 Induktionsvorgänge in Leitern 61
Typisch für die Energie ist die Struktur der quadratischen Form. Am Beispiel einer einzelnen Spule ergibt
sich:
Wmag = 1
L I2
2
In diesem Fall werden die Indizes auch weggelassen, da man ja nur eine einzige Spule (Leiter) hat.
Induktionsvorgänge:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Nach der Maxwell-Theorie haben zeitlich veränderliche Magnetfelder aufgrund von
rot � E = − ˙ � B ein elektrisches Wirbelfeld zur Folge bzw. über Uind = � � E d�r eine induzierte Spannung.
Wir betrachten im folgenden insbesondere die wechselseitige Induktion zweier stromdurchflossener Leiterschleifen.
U ind
1
U ind
1
�
= �
d
E d�r = −
dt
�
�B d
1
1
�F = − d
dt
�
�B1 d�F − d
dt
�
�B2 d�F = U ind
11
1
1
+ U ind
12
Die Induktionsspannung besteht aus 2 Anteilen. Durch zeitliche Änderungen von � B2 und des Eigenfeldes
�B1.
1. Berechnung der Gegeninduktion U ind
12
�
1
�
�B2 d � F Vekt.-Pot.
=
�B2 d � F (5.4)
=
�1
�B2 d�F �1
1
�
1
�
1
µ
4π
dünne Leiter
=
rot � A2 d�F Stokes
=
�
�j2(�r2, t)
dV d�r1
| �r1 −�r2 |
2
µ
4π I2(t)
� �
d�r1 d�r2
| �r1 −�r2 |
1 2
→ Methode des ”dünnen Drahtes”
�
�A2 d�r1
1
�B2 d � F (6.2)
= L12 I2(t) = Φ12 Φ12 . . . mag. Fluß von Leiter 2 auf 1
⇒ U ind
12 = − d
dt (L12 I2(t))
starre Geometrie
⇒ U ind
12 = − L12 ˙ I2(t)
2. Berechnung der Selbstinduktionsspannung Uind 11
�
Φ11 = �B1 d� �
F = rot � A1 d�F Stokes
�
= �A1 d�r1
1
1
1
�r1 ^= �r
Die Näherung dünner Drähte führt auf divergente Integrale. Es ist sinnvoll, einen mittleren magnetischen
Fluß Φ11 einzuführen. Als Gewichtungsfunktion verwenden wir die Stromdichte:
�
Φ11
1
Φ11 =
�j d�F �
�
�j d�F ⇔ I1 Φ11 = Φ11 �j d�F 1
I1 Φ11 =
�� �
�A1(�r
1
′ ) d�r ′ �j(�r, t) d�F � �� �
1
Φ11
1

62
Ein Umordnen der Vektoren ist möglich, wobei dV ′ = d�r ′ d � F ′ .
I1 Φ11 =
I1 Φ11
���
� ′
j(�r ) A1(�r � ′ ) dV ′
1
(5.4)
= µ
4π
Φ11 = L11 I1(t)
� �
1 1
⇒ U ind
11 = − d
dt Φ11
Abb. 6.2: Längs einer Stromröhre in Leiter 1 gilt die Kontinuitätsgleichung:
� j(�r)d � F = � j(�r ′ )d � F ′
außerdem: d�r ′ ⇈ � j(�r ′ )
� j(�r) � j(�r ′ )
| �r −�r ′ | dV dV ′ = L11 I 2 1
Zusammengefaßt gilt bei starrer Geometrie: U ind
1
starre Geometrie
⇒ U ind
11 = − L11 ˙ I1(t)
= − L12
dI2
dt
− L11
Bei der Verallgemeinerung für N Leiter bei starrer Geometrie ergibt sich:
Φi =
N�
j=1
Lij Ij ⇒ U ind
i
Beispiel: Berechnung der Selbstinduktion der Torus-Spule über einen indirekten Weg
✿✿✿✿✿✿✿✿
= −
N�
j=1
Lij
dIj
dt
dI1
dt
Abb. 6.3: Charakteristische Radien der Torus-Spule: r,R
N Windungen, Stromstärke I
1. Feldberechnung → Integralform
�
�H d�r = N · I S 1 mit Radius r ′ , � H entlang einer Feldlinie const.
S 1 ,r ′
N · I = H
�
S 1 ,r ′
dr ⇒ H(r ′ ) =
N · I
2π r ′
Wir betrachten jetzt den Spezialfall ”dünner” Torus: r
≪ 1
R
R − r ≤ r ′ ≤ R + r ⇒ R � r ′ � R ⇒ r ′ ≈ R
⇒ H =
N · I
2π R
für
2. Magnetische Energie
Wmag = 1
�
�H
2
� B dV = µ
2
Wmag = µ
2
!
Wmag = 1
2
N 2 VTorus
4π 2 R 2
L I2
I 2
r
≪ 1
R
N 2 I 2
4π 2 R 2
⇒ L =
�
Torus
dV
µ N2
4 π2 VTorus
R2

6.2 Schwingungsdifferentialgleichung 63
6.2 Schwingungsdifferentialgleichung
In Anwendungen spielen zeitlich periodische Vorgänge eine dominante Rolle. Wir wollen jetzt eine qualitative
Erklärung geben. Dafür betrachten wir einen einfachen Stromkreis mit L, C, R - Gliedern. Die Ka-
pazität und Induktivität haben wir in den vorherigen Abschnitten schon besprochen, doch der Ohm’sche
Widerstand ist uns eigentlich noch ”unbekannt”. Wir wollen R deshalb am Beispiel eines geraden Leiters
aus homogenen Material betrachten:
�
I = �j d�F = j F | j = σ E
F
I = σ F E | E = U
I = σ
l
F
U
l
1
⇔ I =
R U
⇒ R = 1
σ
l l
= ρ
F F
ρ . . . spez. elektrischer Widerstand
Energiebilanz ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿
d
dt (Wmag + Wel) +
im Kreis (vgl. Abs. 3.2.2)
✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿
Wel = 1
2C Q2 , Wmag = 1
2
��
◦�S d�F = −
� �� �
≈0 keine Abstrahlung
���
L I2
WJoule = �j � dünne Drähte
E dV = I(t)
⇒ 0 = 1
2C
d
dt Q2 + 1
2
0 = 1
C I Q + L I ¨ Q + R I 2
0 = 1
C Q + L ¨ Q + R ˙ Q
�
Leiter
L d
dt I2 + R I 2
���
�j �E dV
V
� �� �
WJoule
� E d�r Ringspannung
= I · U = R · I 2
I = ˙ Q
Für die Schwingungsdifferentialgleichung erhalten wir also:
freie, gedämpfte Schwingung:
¨ Q + R
L ˙ Q + 1
LC
Q = 0
Für den Fall, daß R=0, erhalten wir die Differentialgleichung für die freie, ungedämpfte Schwingung:
6.3 Der Skineffekt
¨Q + 1
LC Q = 0 ⇒ ω2 0 = 1
LC
Der Skineffekt ist ein Beispiel dafür, daß die Stromdichte nicht vorgegeben ist. Mittels des Ohm’schen
Gesetzes ist die Stromdichte aber durch das elektrische Feld bestimmt.

64
Maxwell:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
div � B = 0
div � D = 0
rot � E = − ˙ � B (1)
rot � H = σ � E (2)
⎫
⎪⎬
⎪⎭
− keine elektrischen Ladungen
− ˙ � D vernachlässigt (quasistationär)
− keine zusätzlichen äußeren Felder
− � j = σ � E für moderate Frequenzen
− σ, µ, ε = const.
Hier tritt nun der unangenehme Fall auf, daß die Gleichungen (1) und (2) verkoppelt sind. Durch die
Erhöhung der Ordnung wird nun eine Entkopplung des Systems erreicht.
rot (1) ⇒ rot rot � E = − rot ˙ � B = − µ rot ˙ �H
∂
∂t
(2) ⇒ ∂
∂t rot � H = rot ˙ � H = σ ∂
∂t � E
rot rot � E = grad div � E
� �� �
=0
Mit diesen Umformungen erhalten wir nun:
− ∆· � E = ∆· � E = µ rot ˙ � H µ rot ˙ �H = µ σ ∂ � E
∂t
µ σ ∂� E
∂t = ∆· � E
Diese Gleichung hat die Form einer ”Diffusonsgleichung” bzw. ”Wärmeleitungsgleichung”. In analoger
Weise erhalten wir, wenn wir die beiden Operationen (rot und ∂/∂t jetzt auf die jeweils andere Gleichung
anwenden:
µ σ ∂� B
∂t = ∆· � B
Das weitere Vorgehen besteht nun darin, mit der Lösung der ”Diffusionsgleichung” in die Original-
Maxwell-Gleichungen einzugehen, wodurch sich dann Einschränkungen ergeben.
Wir werden nun die Lösung für den Fall eines zylinderförmigen dicken Leiters aus homogenen Material
suchen.
Vor.: · grad ε = grad µ = grad σ = 0
✿✿✿✿✿
· ρel = 0, keine Raumladungen im Leiter (kleine Frequenzen)
· Gültigkeit von �j = σ�E (kleine ω)
� j = jz �ez
jz = jz(r, ϕ, z) = jz(r)
Aufgrund des Ohm’schen Gesetzes machen wir nun den folgenden Ansatz:
� E(�r, t) = ^E(r) �ez e iωt
e iωt beschreibt die periodische Zeitabhängikeit (komplex) und ^E(r) ist die komplexe Funktion des Radius.
Das Rechnen mit komplexen Größen ist zweckmäßig und für lineare Gleichungen mit reellen Koeffizienten
möglich. D.h. keine ”Vermischung” von Real- und Imaginärteil.
Also: · Gleichungen lösen
✿✿✿✿✿
· Trennen von Real- und Imaginärteil
· Re ist hier der physikalisch relevante Anteil
Mit diesem Ansatz gehen wir nun in die Differentialgleichung:
∂�E ∂t = iω�E, ∆· �E Zyl.-Koord.
�
1 d
=
r
r dr
d
dr � �
E +
�
Differentiation
��
nach ϕ, z
�
=0
i µ ω σ ^E(r) �ez eiωt = 1
�
d
r
r dr
d
dr ^E(r)
�
�ez eiωt i µ ω σ ^E(r) = 1
�
d
r
r dr
d
dr ^E(r)
�
| α = √ ω µ σ

6.3 Der Skineffekt 65
d 2^E(r)
dr 2
1
+
r
d^E(r)
dr − i α2 ^E(r) = 0
Wir haben so eine Differentialgleichung 2. Ordnung zur Bestimmung der Funktion ^E(r) gefunden. Üblich
ist die Lösung über Potenzreihenansätze, doch hier ist die folgende Substitution zweckmäßiger:
x
Substitution: r =
α √ −i
d
dr = α √ −i d
dx
x . . . formale kompl. Variable
Wir erhalten mit dieser Substitution eine spezielle Bessel’sche Differentialgleichung.
d2^E 1
+
dx2 x
d^E
dx + ^E = 0
Die allgemeine Form der Bessel’schen Differentialgleichung sieht wie folgt aus:
y ′′ + 1
x y ′ +
�
1 − p2
x2 �
y = 0
p ist hier ein reeller Parameter, der in unserem Fall gleich Null ist.
Die Lösungen der Bessel’schen Differentialgleichung sind:
y(x) = A · Jp(x)
� �� �
Bessel’sche Fkt.
+ B · Np(x)
� �� �
Neumann’sche Fkt.
Ein Vergleich für unseren Fall liefert: ^E(x) = A · J0(x) + B · N0(x)
Wir müssen jetzt nur noch die Randbedingungen berücksichtigen:
A,B . . . Integrationskonstanten
die Fkt. N0(x) wird für x → 0 (d.h. im Zentrum des Leiters) unendlich groß
⇒ | � j| → ∞; dies ist aber unphysikalisch
⇒ B = 0 gewählt!
Rücksubstitution:
^E(r) = A · Jo(α √ −i r)
Mit einer Zeitabhängigkeit: ^Ez(r, t) = A · Jo(α √ −i r) e iωt , � E = ^Ez �ez
Jetzt müssen wir noch die Integrationskonstante A fixieren.
Stromstärke: ^I(t) = I
����
I ←
��
I =
I
�
jz dF ← σ
�
jz(r) dF Polar-koord.
=
Quers. el. Feld
= 2π A σ
I =
2π A σ
−i α 2
x0 �
0
R�
0
J0(x) x dx
Scheitelwert
e iωt , Re(^I(t)) = I cos(ωt)
Ez dF ⇒ I hängt irgendwie mit A zusammen
R�
0
2π �
0
→ Integration über den Querschnitt des Leiters
jz(r) r dϕ dr = 2π
Für die Integrale über Bessel-Funktionen gilt:
R�
jz(r) r dr
J0(α √ −i r) r dr | Subst.: r = x
α √ −i
2π A σ R
⇒ I =
α √ J1(α
−i
√ −i R)
I α
Hieraus erhält man: A =
√ −i
2π σ R J1(α √ −i R)
0
R = x0
α √ −i
�
J0(x) x dx = x · J1(x), J1(0) = 0
⇒ Damit ist A fixiert!

66
⇒ jz(r, t) = α √ −i I
2π R
J0(α √ −i r)
J1(α √ −i R) eiωt
Aus dieser Lösung suchen wir jetzt den physikalisch relevanten Anteil: Polardarstellung z =| z | e iϕ
jz(r, t) =| jz(r) | e iϕ(r) e iωt =| jz(r) | e i(ϕ(r)+ωt)
⇒ Re(jz(r, t)) =| jz(r) | cos(ϕ(r) + ωt)
Mit den Funktionen J0 und J1 (siehe Tabellen) ist nun eine Diskussion möglich.
Jetzt: Wir interessieren uns jetzt für die Stromverteilung am Rande sehr dicker Leiter!
✿✿✿✿✿
Abb. 6.4: Rand eines dicken Leiters:
R≫1, r≫1, r

Elektromag. Felder beliebiger zeitabh. Ladungen und Ströme 67
Abb. 6.5: Skin-Effekt
7 Elektromag. Felder beliebiger zeitabh. Ladungen und Ströme
Bisher wurden nur Spezialfälle betrachtet. Ab jetzt gehen wir das vollständige Maxwell-System an!
Weiterhin gilt:
• µ, ε = const. (homogene Medien)
• ρel(�r, t), � j(�r, t) seien gegeben
• Randbedingungen
div � B = 0 (7.1)
div � D = ρel (7.2)
rot � E = − ˙ � B (7.3)
rot � H = � j + ˙ � D (7.4)
�B = µ � H , � D = ε � E (7.5)
Frage: Welche elektromagnetischen Felder sind möglich, falls ρel und ✿✿✿✿✿✿
�j vorgegeben werden und die
Rückwirkung zu vernachlässigen ist?
7.1 Elektrodynamische Potentiale
In der Elektrostatik haben wir gesehen, daß die Einführung von Potentialen zweckmäßig war. Dies ist
auch hier im allgemeinen Fall möglich.
Das System der gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung können wir auf Kosten der
Ordnung entkoppeln.
Im Einzelnen sieht dies nun wie folgt aus:
Aufgrund von Gleichung (7.1) kann wieder ein Vektorpotential eingeführt werden, das jetzt aber zeitabhängig
ist:
�B(�r, t) = rot � A(�r, t)
Dies ist für quellfreie Felder wegen der Identität div (rot �v) = 0, ∀ �v, immer möglich!
Dies setzen wir nun in die Gleichung (7.3) ein:
rot �E = − ˙ B �
∂
= −
∂t rot � A = − rot ˙ A � | rot linearer Operator
� �
�0 = rot �E ˙
+ �A

68
⇒ Die Summe � E + ˙ � A ist wirbelfrei!
⇒ das Feld kann als Gradient eines skalaren Potentials ϕ(�r, t) geschrieben werden:
� E + ˙ �A = − grad ϕ(�r, t) ⇒ � E = − grad ϕ − ∂ � A
∂t
→ Dieses Potential stimmt im Fall der Elektrostatik ( ˙ � A = � 0) mit dem skalaren Potential überein.
Die Felder � A(�r, t) und ϕ( �
r, t) werden als elektrodynamische Potentiale bezeichnet.
Jetzt bleiben uns noch die Gleichungen (7.2) und (7.4). Wir können sie benutzen, um Bestimmungsgleichungen
für � A und ϕ zu finden.
div � D = ρel | Einsetzen der Gleichung für � �
E + (7.5)
div − grad ϕ − ˙ �
A�
= ρel
ε
− ∆· ϕ − div ˙ ρel
A � = | Addition einer ”Nahrhaften Null”
ε
− ∆· ϕ + ε µ ¨ϕ − ∂
�
div
∂t
� �
A + ε µ ˙ϕ = ρel
(∗)
ε
rot � H = � j + ˙ � D | Einsetzen von � H + (7.5)
1
µ rot rot � A = � j + ε ˙ � E | rot rot(. . . ) = −∆· (. . . ) + grad div(. . . )
˙�E = − grad ˙ϕ − ¨ � A
− ∆· � A + grad div � A = µ �j − ε µ grad ˙ϕ − ε µ ¨ A�
− ∆· � A + ε µ ¨ �
A � + grad div � �
A + ε µ ˙ϕ = µ �j (∗∗)
Zur Abkürzung definieren wir nun einen linearen Differentialoperator 2. Ordnung:
d’Alembert-Operator: � ≡ 1
v 2
∂2 1
− ∆· v ≡ √
∂t2 ε µ
v ist hierbei eine universelle Geschwindigkeit. Der d’Alembert-Operator wird auch als Wellen-Operator
bezeichnet.
Mit diesem Operator wird aus (*) und (**) also:
�ϕ − ∂
�
div
∂t
� A + 1
�
˙ϕ =
v2 ρel
ε
�� �
A + grad div � A + 1
�
˙ϕ = µ
v2 � ⎫
⎪⎬
Die Bestimmungsgleichungen für
j ⎪⎭
� A
und ϕ sind noch miteinander verkoppelt!
�B = rot � A fixiert nur die Wirbel von � A. Die Quellen wurden noch nicht festgelegt, was für ein Vektorfeld
aber erforderlich ist, wenn man es eindeutig bestimmen möchte (vgl. Abs. 2). Zweckmäßig ist nun:
Lorentz-Konvention: div � A + 1
v 2
Mit dieser Konvention erhält man nun für die ”Wellengleichungen”:
�ϕ = ρel
ε
∂ϕ
∂t
= 0 (7.6)
und � � A = µ � j + Lorentz-Konvention! (7.7)

7.2 Retardierte Potentiale 69
Wir haben jetzt also inhomogene Wellengleichungen mit ρel(�r, t) und � j(�r, t) als Inhomogenitäten. Man
kann dieses Gleichungssystem auch als ”Potentialform” der Maxwell-Gleichungen bezeichnen!
Die Lorentz-Konvention gehört dazu!!!
Die Lorentz-Konvention scheint erlaubt, aber eine relativ willkürliche Bedingung zu sein. Eine Begründung
findet sich im Rahmen der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik.
Wir zeigen hier, daß die Lorentz-Konvention mit der Ladungserhaltung verträglich ist! Dazu wenden wir
und div auf die Gleichung (7.7) an:
∂
∂t
∂ ∂ ρel ∂ϕ 1 ∂ρel
�ϕ = ⇔ � =
∂t ∂t ε ∂t ε ∂t
div �� A = div µ � �
j ⇔ � div � �
A = µ div �j Multiplikation mit ε, µ + Addition liefert:
�
∂ρel
µ
∂t + div � � �
j = � div � A + µ ε ∂ϕ
�
∂t
� ∂ρel
∂t + div � j = 0
� �� �
=0, Lorentz-Konvention
Zumindest liefert die Lorentz-Konvention keine Widersprüche zur Physik!
Eichtransformation: vergleiche Abs. 5
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Elektrodynamische Potentiale sind nur Hilfsgrößen. Physikalisch meßbar sind nun �E und � B. Unter der
Berücksichtigung der Lorentz-Konvention gibt es nur noch Freiheiten in der Wahl von � A(�r, t) und ϕ(�r, t).
�A → � A ′ = � A + grad f(�r, t)
ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂
⎫
⎬
Gelten simultan mit gleichem f(�r, t).
f(�r, t) ⎭
∂t
Für die beobachtbaren Felder � E und � B gilt nun:
�B ′ = rot � A ′ = rot ( � A + grad f) = rot � A + rot grad f =
� �� �
=0
� B
� ′ ′ ∂
E = − grad ϕ − � A ′
�
= − grad ϕ −
∂t ∂f
�
−
∂t
∂� A ∂f
− grad
∂t ∂t
� ′ ∂
E = − grad ϕ − � A
∂t = �E D.h. zunächst ist � E = � E ′ und � B = � B ′ für alle Funktionen f(�r, t). Deshalb untersuchen wir jetzt noch die
Lorentz-Konvention, um eventuelle Einschränkungen zu finden oder auszuschließen.
div � A ′ + 1
v2 div � A ′ + 1
v2 ∂ϕ ′
∂t
∂ϕ ′
∂t = div � A + 1
v2 Eichtransf.
= div � A + ∆· f + 1
v 2
∂ϕ
∂t
∂ϕ
∂t − �f(�r, t) ! = 0
− 1
v 2
∂ 2 f
∂t 2
Dies bedeutet: Die Lorentz-Konvention ist nur dann invariant, wenn gilt:
�f(�r, t) = 0
Die Funktion f ist also eine Lösung der homogenen Wellengleichung.
7.2 Retardierte Potentiale
�
∂ϕ
Im statischen Fall ∂t = 0, ∂� �
A
∂t = 0 reduzieren sich die Wellengleichungen (7.7) auf die schon diskutierten
Poisson-Gleichungen:
∆· ϕ = − ρel
ε
∆· � A = − µ � j (Coulomb-Eichung)

70
Bei den Poisson-Gleichungen war die Methode der Green’schen Funktionen erfolgreich (vgl. Abs. 4.2).
Wir gehen nun zur Lösung der Wellengleichung analog vor:
�G(�r, t) = δ(�r) · δ(t) δ(�r) = δ(x) · δ(y) · δ(z)
Hierbei ist G(�r, t) die Green’sche Funktion der inhomogenen Wellengleichung. Die rechte Seite der Gleichung
stellt eine punktförmige Quelle dar, die nur am Orte�r = � 0 und nur zur Zeit t=0 von Null verschieden
ist.
Wir ”erraten” jetzt die Lösung:
retardierte Green’sche Funktion: G R (�r, t) = 1
4πr δ
�
t − r
�
v
Diese Funktion ist nur bei r = t · v �= 0, d.h. auf dem Lichtkegel von Null verschieden!
Physikalische Argumente:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
δ-artige Quellen erzeugen bei t=0 einen Blitz am Ort �r = � 0.
◮ G R verschwindet ∀ t < 0 (dann ist das Argument der δ-Funktion immer negativ bei r > 0, v > 0)
◮ G R erfüllt physikalisch sinnvolle Randbedingungen (d.h. sie verschwindet für r → ∞ und alle
endlichen t)
◮ t > 0: Der Lichtblitz breitet sich mit der Geschwindigkeit v als Kugelfläche (Radius r=vt) aus
Es existiert aber eine weitere Fundamentallösung:
avancierte Green’sche Funktion: G A (�r, t) = 1
4πr δ
�
t + r
�
v
Sie beschreibt die einlaufenden Kugelwellen für t < 0. Wir haben also formal akausale Verhältnisse vorliegen,
d.h. vor dem Einschalten der Quelle war die Wellenlösung bereits da!!!
Die tiefere Ursache für das Auftreten von G A und G R ist:
Die Invarianz des Wellenoperators unter der Transformation t → -t. Der Wellenoperator
ist ein reversibler Operator.
Wir zeigen nun, daß G R/A Lösungen von �G = δ(�r) · δ(t) sind. Aufgrund von
G(�r, t) = G(r, t) ist die Einführung von Kugelkoordinaten sinnvoll:
� = 1
v 2
∂ 2
∂t
R/A Prod.-R.
�G
∂2 2 ∂
− ∆· mit ∆· = + + Diff. nach ϕ, θ
2 ∂r2 r ∂r
� �
1
�
= − ∆· · δ t ∓
4πr
r
�
−
v
� �� �
Term 1
1
4πr2 � 2 ∂ 1
−
∂r2 v2 ∂2 ∂t2 � �
· δ t ∓ r
�
v
� �� �
−
Term 2
1
4πr
2 ∂
r ∂r δ
�
t ∓ r
�
v
�
∂
− 2
∂r
�
1
4πr
∂
∂r δ
�
t ∓ r
�
v
� �� �
Term 3
Jetzt wollen wir diese 4 Anteile etwas genauer diskutieren.
� �
1
1 Beachte Elektrostatik: ∆· = − δ(r)
4πr
2 Bis auf den Faktor 1
4πr :
� 2 ∂ 1
−
∂r2 v2 ∂2 ∂t2 �
=
� ∂
∂r
− 1
v
wobei ξ− ≡ t − r
v , ξ+ ≡ t + r
v
D.h.
∂2 ∂ξ + ∂ξ− f � ξ + od. −� = 0
� �
∂ ∂
∂t ∂r
� �� �
Term 4
+ 1
v
�
∂
=
∂t
1
v2 ∂ 2
∂ξ + ∂ξ −
retardierte / avancierte Koordinate

7.2 Retardierte Potentiale 71
3,4 Differentiation nach r
Insgesamt:
�GR/A = δ(r) · δ � t ∓ r
�
v
�GR/A = δ(r) · δ(t)
∂
∂r
� �
1
= −
r
1
r2 ⇒ Kompensation der Terme
| erste δ − Funktion nur bei r = 0 verschieden von Null
Wir betrachten nun eine beliebige (lokalisierte) Quellverteilung am Beispiel des skalaren Potentials ϕ(�r, t).
� ϕ(�r, t) = ρel(�r, t)
ε
δ−Fkt.
= 1
ε
��
ρel(�r ′ , t ′ ) δ(�r −�r ′ ) δ(t − t ′ )
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ dV ′ dt ′
Wir setzen hier jetzt die Definitionsgleichung der Green’schen Funktion (nur G R ) ein:
� G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) = δ(�r −�r ′ ) δ(t − t ′ )
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Hierbei ist die Invarianz von � unter Verschiebungen in Raum und Zeit verwendet (vgl. Elektrostatik).
� ϕ(�r, t) = 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) � (�r,t)G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
� ϕ(�r, t) = � 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
�
0 = � ϕ(�r, t) − 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
�
⇒ ϕ(�r, t) = Ψ(�r, t) + 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
Hierbei ist Ψ(�r, t) eine beliebige Lösung von � Ψ(�r, t) = 0, d.h. sie löst die homogene Wellengleichung.
Wir lassen die Lösung des homogenen Problems weg (⇔ Ψ(�r, t) = 0) und interessieren uns nur für den
Lösungsanteil, der direkt mit der Inhomogenität ρel verknüpft ist.
Spezielle Lösung !!!: Ψ(�r, t) = 0 und G = G R
⇒ ϕ(�r, t) = 1
ε
Einsetzen der Green’schen Funktion:
G R (�r −�r ′ , t − t ′ 1
) =
4π (�r −�r ′ ) δ
�
t − t ′ − | �r −�r ′ �
|
v
→ ϕ(�r, t) = 1
��
ρel(�r
4πε
′ , t ′ )
| �r −�r ′ | δ
�
t − t ′ − | �r −�r ′ �
|
v
��
ρel(�r ′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
dV ′ dt ′
Integration bzgl. t’ trivial: Liefert den Integranden an der Stelle
t ′ = t − | �r −�r ′ |
(vgl. Abs. 2)
v
ϕ(�r, t) = 1
4πε
�
Quellen
ρel
In analoger Weise erhält man für das Vektorpotential:
�A(�r, t) = µ
4π
�
Quellen
�
�r ′ , t − |�r−�r ′ �
|
v
| �r −�r ′ dV
|
′
�
�j �r ′ , t − |�r−�r ′ �
|
v
| �r −�r ′ dV
|
′
(7.8)
(7.9)

72
Diese speziellen Lösungen heißen retardierte Potentiale.
Charakteristisch:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Das Zeitargument tR = t − | �r −�r ′ |
heißt retardierte Zeit.
v
Ursache: Alle physikalischen Wirkungen breiten sich mit endlicher Geschwindigkeit aus (gilt
streng!).
Die Potentiale bei �r zum Zeitpunkt t rühren vom Zustand der Quelle am Orte �r ′ und zur früheren Zeit tR
her! Die Zeitdifferenz t − tR ist gerade die Laufzeit der Welle von �r ′ nach �r mit der Laufgeschwindigkeit
v.
◮ Ohne Beweis: Retardierte Potentiale genügen der Lorentz-Konvention.
◮ Im statischen Fall reduzieren sich die Lösungen auf die Lösungen der Poisson-Gleichung (t ≈ tR).
Lösungsprinzip: Vorgabe von ρel(�r, t) und ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�j(�r, t)
• Berechnung von ϕ(�r, t), � A(�r, t) durch Integration
• Berechnung von � B(�r, t) und � E(�r, t) durch Differentiation
• Impuls, Energie, Kräfte, . . .
7.3 Der Hertz’sche Dipol
= Prototyp einer Strahlungsquelle
Eine zeitlich abhängige Quelle wird realisiert durch: q = q(t)
˙�p = ˙q � l = I � l, I = I(t)
Wir verzichten auf alle Feinheiten im Inneren einer realen Antenne. Daher wird unser Modell nur für
hinreichend große Abstände, d.h. für |�r −�r ′ | ≫ | � l|, die Linearantenne einigermaßen modellieren können.
7.3.1 Berechnung der retardierten Potentiale
Wir beschränken uns jetzt also von Anfang an auf einen infinitesimalen Dipol | � l| ≪ 1 und punktförmige
Ladungen.
ρel(�r, t) = q δ(�r) − q δ(�r + �l) für | �l| ≪ |�r| Taylor
∂
ρel(�r, t) ≈ − q lk δ(�r) + . . .
∂xk
ρel(�r, t) = − pk
∂
∂xk
Diesen Ausdruck differenzieren wir jetzt partiell nach der Zeit:
δ(�r)
∂
∂t ρel(�r, t) = − ˙pk
∂
∂xk
δ(�r) | pk nicht ortsabhängig
= − ∂
=
( ˙pk δ(�r))
∂xk
� �
− div ˙�p δ(�r) ⇔
∂
∂t ρel(�r, t) = − div �j

7.3 Der Hertz’sche Dipol 73
Ein Vergleich liefert nun:
� j(�r, t) = ˙ �p δ(�r)
ρel(�r, t) und �j(�r, t) beschreiben die Quellstruktur des infinitesimalen Dipols. Wir wollen jetzt die retardierten
Potentiale auswerten. Dafür starten wir mit dem Vektorpotential:
�A(�r, t) = µ
�
� �j �r
4π
′ , t − |�r−�r ′ �
|
v
| �r −�r ′ dV
|
′ = µ
�
� ′ δ(�r ) �p ˙ t −
4π
|�r−�r ′ �
|
v
| �r −�r ′ dV
|
′
�A(�r, t) δ−Fkt. µ ˙�p
=
4π
� t − r
�
v
r
�A(�r, t) = µ
4πr ˙ �
�p t − r
�
v
Jetzt setzen wir mit ϕ(�r, t) fort. Wir haben dazu 2 Möglichkeiten:
1. Variante: Retardierte Potentiale + Integration
2. Variante: Lorentz-Konvention + � A(�r, t)
Wir werden die 2. Möglichkeit benutzen.
∂
∂t ϕ(�r, t) = − v2 div � A
�A einsetzen
= − 1
µε
= − 1
4πε
µ
4π div
�
1
r ˙ �
�p t − r
�
v
�
�
1
r div ˙ �p + ˙ �p grad 1
�
r
In einer kurzen Nebenrechnung müssen wir jetzt die beiden Differentiationen ausführen:
grad 1 �r d 1 �r
= = −
r r dr r r3 div ˙ �p � t − r
� ∂ � �
r Kettenr.
v = ˙pk t −
∂xk
v = ∂ ˙pk
� �
r t − v
∂ � t − r
� ·
v
∂ � t − r
�
v = ¨pk
∂xk
∂ � t − r
¨�p =
�
v ,
∂xk
da
∂
∂t ˙pk
� �
� � r
r ∂ ˙pk t − v
t − v =
∂ � t − r
� ·
v
∂ � t − r
�
v
� ∂t �� �
Somit:
div
=1
˙ �p � t − r
� 1
v = −
v ¨pk
∂r
= −
∂xk
1
v ¨pk
xk 1
= −
r v ¨ �p � t − r
� �r
v r
Diese Zwischenergebnisse setzen wir nun in die Lorentz-Konvention ein:
�
∂
1 ˙�p
� �
r t − �r v
ϕ(�r, t) =
∂t 4πε r3 + 1
v2 ¨�p � t − r
�
�r v
r2 �
Wir integrieren jetzt bzgl. der Zeit: RB: lim ϕ(�r, t) = 0
r→∞
ϕ(�r, t) = 1
4πε
� 1
v
�r
r 2
�
˙�p t − r
�
v
Jetzt machen wir noch einen kurzen Test: statischer Dipol
ϕ(�r, t) = 1
4πε
7.3.2 Berechnung der Feldstärken
Magnetische Induktion �B:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿
+ �r
�
�p t −
r3 r
�
v
�
�r �p
r 3 Vergleich mit Abschnitt 4.4.1 ⇒ Stimmt!

74
�B = rot � A = µ
4π rot
�
1
r ˙ �p � t − r
�
v
�
Hilfsformel: rot(u �v) = grad u × �v + u rot �v
�B(�r, t) = µ
�
grad
4π
1
r × ˙ �p � t − r
� 1
v +
r rot ˙ �p � t − r
�
v
�
rot ˙ � � � � �
�
r
r
∂ ˙p3 t − v ∂ ˙p2 t − v
�p =
− , . . . , . . .
∂x2
∂x3
rot ˙ �p Kettenr.
�
= − 1
v ¨p3
�
∂r
− −
∂x2
1
�
�
∂r
¨p2 , . . . , . . .
v ∂x3
rot ˙ �p = − 1
v grad r × ¨ �p � t − r
� 1 �r
v = −
v r × ¨ �p � t − r
�
v
Wenn wir dieses Resultat jetzt einsetzen, so erhalten wir:
�B(�r, t) = µ
�
−
4π
�r
r3 × ˙ �p � t − r
� 1 �r
v −
v r2 × ¨ �p � t − r
�
v
�
Wir führen jetzt die folgende Abkürzung ein: �p R ≡ �p � t − r
�
v
Elektrische Feldstärke �E: ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿
�
∂
E(�r, t) = − grad ϕ − � A
∂t
�
1
E(�r, t) = −
4πε grad
�
�r
r3 �pR + 1
v
�B(�r, t) = µ
4π
�r ˙ �p R
�
r 2
�
− �r
r3 × ˙ �p R − 1
v
− µ
4π
Nun machen wir ein paar Zwischenrechnungen:
�
�r �p R
grad
r3 �
Prod.-R. 1
=
r3 grad � �r �p R� + �r �p R grad 1
r3 grad 1 �r
=
r3 r
d
dr
1 �r
= −3
r3 r5 ⎛
grad � �r �p R� = �ek
∂
∂xk
� xl p R l
grad � �r �p R� = �ek p R k + �ek xl
� Prod.-R.
= �ek
�
− 1
�
v
�
�r
Analoge Rechnung für grad
˙ �p R
r2 �
˙p R l
⎜ ∂xl ⎜
⎝∂xk
����
δlk
∂r
∂xk
����
=xk/r
¨�p R
r
p R l
+ xl
= �p R − 1
v
bis auf den Faktor 1
v .
Nach dem Einsetzen erhalten wir mit �p R ≡ �p � t − r
�
v :
� E(�r, t) = 1
4πε
⎧
⎨
⎩ − ¨ �p R
v 2 r +
+ 3 � �r �p R� �r
r 5
∂pR ⎟
l ⎟
∂xk
⎠
�r
r2 × ¨ �p R
�
⎞
�
�r ˙ �p R
�
�r
r
�
�r ¨ �p R
�
�r
v2 r3 − ˙ �p R
v r2 + 3 � �r �p R� �r
v r4 �
− �pR
r 3
Die Felder � E und � B stellen eine exakte Lösung der Maxwell-Gleichungen für den infinitesimalen Dipol
dar. Der Näherungscharakter liegt in der Identifizierung des Dipols mit einer realen Antenne.
7.3.3 Diskussion dieser Lösung der Felder
Technisch interessant ist der periodisch schwingende Dipol, d.h. �p(t) = �p0 cos ωt für �p R (t) = �p0 cos � ω � t − r
��
v .

7.3 Der Hertz’sche Dipol 75
Definition:
v λ
=
ω 2π
Wir führen die Diskussion der Lösung in zwei Bereichen durch.
1. Nahzone: r → 0
Die größten Potenzen von 1
2. Fernzone:
r sind dominant.
r → ∞
Die kleinsten Potenzen von 1
r dominieren hier.
✿✿ ◮ Nahzone:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
� EN = 1
4πε
�
− �pR
r3 + 3 � �r �p R� �r
r5 �
+ . . .
Wann ist die Näherung gültig?
�BN = − µ
4π
|�p R |
r3 ����
≫
mitgenommen
| ˙ �p R |
v r2 ����
vernachlässigt
λ . . . Wellenlänge
�r × ˙ �p R
r3 + . . .
Für den periodischen Dipol ist | ˙ �p R | = ω |�p R |, | cos | = | sin | = 1. Dies führt auf die Ungleichung:
|�p R |
r3 ≫ ω |�pR |
v r2 ⇔
1 ω 2π
≫ =
r v λ
⇒ λ ≫ r wobei außerdem r ≫ | � l|
Die Näherung ist also gut für λ ≫ r ≫ l. Weiterhin kommt noch dazu, daß bei kurzen Abständen die
Laufzeit der Welle kurz ist. ⇒ Vernachlässigung der Retardierung!
z.B.
�p R
r3 = �p � t − r
�
v
r3 Taylor für
=
kl. r/v
�p(t)
r 3
1 ˙�p(�r)
−
v r3 � �� �
Terme der Ordnung ∼ 1
r 2 wurden schon vernachlässigt. Nun muß diese Vernachlässigung auch konsequent
durchgezogen werden. Damit ergibt sich:
� EN = 1
4πε
�
− �p(t)
r 3
3 �r (�r �p)
+
r5 �
∼ 1
v
�BN = µ
4π
| ˙ �p|
r 2
˙�p(t) × �r
Dies zeigt, daß in der Nahzone quasistatische Verhältnisse vorliegen!
Außerdem: � E ∼ cos ωt, � BN ∼ sin ωt → Phasenverschiebung zwischen � E, � B
✿✿ ◮ Fernzone:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
� EF = 1
4πε
�BF = − µ
4π
⎡
Für den harmonischen Dipol ist die Fernzone
charakterisiert durch:
⎣− ¨ �p R
v 2 r +
�r × ¨ �p R
v r 2
�r
+ . . .
�
�r ¨ �p R
� ⎤
+ . . . ⎦
v 2 r 3
Durch einfaches ”Ausrechnen” ergibt sich:
� EF �r = 0
⎫
⎪⎬
⎪⎭
r 3
r ≫ λ
Hier darf die Retardierung nicht vernachlässigt
werden!
� BF = √ εµ �r
r × � EF

76
⇒ � EF ⊥ � BF ⊥ �r
r
⇒
� EF, � BF, �r
r
bilden ein Rechtssytem!
Wegen � BF ∼ cos ωt und � EF ∼ cos ωt schwingen das elektrische und magnetische Feld in der Fernzone in
Phase! Die Fernzone wird auch als ”Wellenzone” bezeichnet.
→ retardierte Zeit ⇔ Wellenlösungen
Typisch ist auch: Form der Funktionen in der Fernzone:
�EF, � BF ∼ 1
r f
�
t − r
�
v
⇔ Auslaufende Kugelwelle!
Allerdings ist die Kugelsymmetrie nicht vollständig realisiert, da z.B. �EF und � BF entlang der Dipolachse
�r
r ⇈ �p verschwinden. Entlang dieser Achse findet also keine Abstrahlung und somit auch kein Energietransport
statt.
Abb. 7.1: � BF sind konzentrische Kreise in der Ebene, auf
der �p senkrecht steht
Hieraus folgt: Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen!
7.3.4 Energieverhältnisse
Uns interessiert im folgenden nur die Fernzone (=Wellenzone)! Der auftretende Winkel θ entspricht dem
Winkel in Abb. 7.1.
Energiedichte:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
ωel = 1
2 �E � D = 1
2 �EF � DF = ε
2
ωel
Einsetzen von � EF
=
ωmag = 1
2 � HF � BF = 1
2µ
� �2 �EF
| ¨ �p R | 2 sin 2 θ
32 π2 ε v4 r2 Maxw.-Rel.
=
� �2 �BF = µ |¨ �p R | 2 sin 2 θ
32 π2 v2 r2 µ | ¨ �p R | 2 sin 2 θ
32 π 2 v 2 r 2
Vergleich liefert: ωel = ωmag (7.10)
Im Fernfeld entfällt jeweils die Hälfte der Gesamtenergie auf das elektrische bzw. das magnetische Feld.
Dies ist typisch für elektromagnetische Wellen.
Energiestromdichte �S = �EF × ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
� HF
Man kann nun die Felder direkt einsetzen und den Poynting-Vektor ausrechnen oder aber die folgende
Beziehung verwenden, die für das Fernfeld gültig ist:
�BF = √ εµ �r
r × �EF �
�
ε
S =
µ � �
�r
EF ×
r × � �
EF
�HF = 1
µ � BF
= ε v � EF ×
Zerlegung des doppelten Vektorproduktes mit: �a ×
�
�r
r × � �
EF
� �
�b × �c = � �
b (�a�c) − �c �a � �
b

7.3 Der Hertz’sche Dipol 77
� S = v ε �r
r
� �2 �EF
− v ε
� �
�
�r
EF
r
� �� �
=0, da � EF⊥ �r
r
= v �r
r
2 ωel
� S = v ωelm
(7.10)
= v (ωel + ωmag) �r
r
� S. . . Energiestromdichte
v. . . Geschwindigkeit des Transports
ωelm. . . transportierte Größe: elektromagnetische Energiedichte
�r
r
. . . Richtung des Energietransports
Elektromagnetische Felder transportieren Energie und Impuls !
Nach dem Einsetzen der Energiedichte:
�r
r
� S = µ | ¨ �p R | 2 sin 2 θ
16 π 2 v r 2
�r
r
�
�π = 1
c2 � �
S
Für die technischen Anwendungen ist die mittlere (zeitliche) abgestrahlte Leistung eine signifikante Größe.
Zeitlicher Mittelwert von � S(�r, t) :
��
Mittlere Leistung: N = ◦�S
d�F F
� S ≡ 1
T
T�
�S(�r, t) dt
F . . . beliebige geschlossene Fläche mit dem Dipol im Inneren; weit außen, so daß
� EF, � BF gültig sind.
Wir wählen: F = S 2 ⇒ d � F = dF · �n, mit �n = �r
r !
� S = µ sin 2 θ | ¨ �p R | 2
16 π 2 v r 2
N = µ |¨ �p R | 2
16 π 2 v
N = µ |¨ �p R | 2
16 π 2 v
N = µ |¨ �p R | 2
6 π v
�r
r
��
◦ sin2 θ
π�
0
2π �
0
r 2
�r
r
0
�r
r dF | Kugelkoordinaten: dF = r2 sin θ dθ dϕ
sin 3 θ dθ dϕ | Bronstein
Allgemein gilt: N ∼ | ¨ �p R | 2
Wir wollen nun die zeitliche Mittelung explizit am Beispiel des harmonischen Dipols durchführen.
�p(t) = q(t) �l = q0 cos ωt
˙�p(t) = ˙q(t) �l = I(t) �l mit I(t) = I0 sin ωt | ”Wechselstrom”
¨�p(t) = ˙ I(t) �l = I0 ω cos ωt | l = | �l| | ¨ �p R | 2 = I2 0 ω2 l2 cos2 � ω � t − r
��
| ¨ �p R | 2 = I2 0 ω2 2 1
l
T
v
T� � �
2
cos ω t − r
��
dt
v
�
0
�� �
= 1
� �2 l
2
I2 0
⇒ | ¨ �p R | 2 = 2 π2 v2 λ
⇒ N = π
� �2 l
µ v I
3 λ
2 2π
0 =
3
� µ
ε
= 1
2 I2 0 ω2 l2 | ω = 2πv
λ
� �2 l
I
λ
2 eff mit Ieff = I0 √2

78
An einem Ohm’schen Widerstand R erzeugt ein Wechselstrom eine Joule’sche Wärme R I2 eff . Daher
bezeichnet man in analoger Weise formal:
Warum ✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿
ist der Himmel blau?
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
✿✿✿✿✿✿
Strahlungswiderstand des Dipols: RS ≡ 2π
3
⇒ N = RS I 2 eff
� µ
ε
� �2 l
λ
Diese Fragestellung geht auf Lord Rayleight zurück. Wir betrachten jetzt wieder einen periodischen Dipol:
�p = q0 � l cos ωt
¨�p = I0 ω � l cos ωt bzw. ¨ �p = − q0 ω 2 � l cos ωt
Der Vergleich liefert: I0 = − q0 ω = − 2π v
λ q0
Hiermit können wir nun I0 in N eleminieren:
N = 4
3 π3 v3 2 1
l
λ4 q2 0 ⇒ N ∼ 1
λ4 Damit ergibt sich nun ein Modell: Nur eine Plausibilitätserklärung!
• die Sonne strahlt elektromagnetische Energie aus und die Luftmoleküle werden im elektromagnetischen
Feld der Sonne zum Schwingen angeregt
• jetzt senden die Luftmoleküle selbst elektromagnetische Wellen aus, wobei die abgestrahlte Leistung
∼ 1
λ 4
Insbesondere: λrot ≈ 2 λblau
Nrot
=
Nblau
(λblau) 4
1
= 4
(λrot) 24 Die Leistung des abgestrahlten blauen Lichts ist wesentlich stärker als z.B. die des roten
Lichts. Deshalb dominiert das blaue Licht am Himmel.
Hinweis: für λ → 0 wird N divergent!
Hier deutet sich die Ultraviolett-Katastrophe der klassischen Strahlungstheorie an! Eine Lösung
ist nur in der Quantentheorie zu finden (vgl. Planck’sches Strahlungsgesetz).
7.4 Liénhard-Wichert’sche Potentiale
Gesucht: elektromagnetisches Feld einer bewegten Punktladung
→ ”beschleunigt” bewegte Punktladung strahlt elektromagnetische Wellen ab
⇒ Instabilität der klassischen Atommodelle (Elektron strahlt und müßte demzufolge in den
Kern stürzen)
Abb. 7.2: Punktladung im Ursprung;
dies ist komplizierter, da �r = �r(t ′ ) und �v = �v(t ′ ) sich ständig ändern
Um eine formale Unabhängigkeit von der Zeit t’ zu erhalten, wählen wir für die elektrodynamischen
Potentiale die Darstellung:
ϕ(�r, t) = 1
��
ρel(�r
4πε
′ , t ′ )
|�r −�r ′ �
δ t
|
′ − t + |�r −�r ′ �
|
dV
c
′ dt ′

7.4 Liénhard-Wichert’sche Potentiale 79
�A(�r, t) = µ
4π
��
�j(�r ′ ′ , t )
|�r −�r ′ | δ
�
t ′ − t + |�r −�r ′ �
|
c
dV ′ dt ′
Wir verwenden hier ”c” statt ”v” für die Ausbreitungsgeschwindigkeit, um Mißverständnisse zu vermeiden.
Obige Integrale gehen nach Ausführung der t’-Integration in die üblichen Potential-Ausdrücke über
(vgl. (7.8),(7.9)).
Für bewegte Punktladung:
ρel(�r ′ , t ′ ) = q δ(�r ′ �
)
� ′ ′ ′ j(�r , t ) = q δ(�r ) �v(t ′ )
”Punktladung am aktuellen Ort �r ′ = � 0 !”
Dies setzen wir nun ein und führen die (triviale) Integration bzgl. V’ aus:
ϕ(�r, t) = q
4πε
�A(�r, t) =
Wir haben jetzt nur ein kleines Problem:
µ q
4π
�
� δ t ′ − t + r(t ′ )
c
r(t ′ )
�
dt ′
�
� �v(t ′ ) δ t ′ − t + r(t ′ �
)
c
r(t ′ dt
)
′
Da r(t’) im Argument der δ-Funktion nicht bekannt ist, kann die Integration nicht einfach realisiert
werden. Daher setzt man mit der folgenden Substitution fort:
dξ 1
= 1 +
dt ′ c
dr(t ′ )
dt ′
ξ ≡ t ′ − t + r(t ′ )
c
1
= 1 +
c
d
dt
�
�r 2 (t ′ ) = 1 + 1
c
�r
r
d
dt ′�r(t ′ )
Da wir nicht das Ende von �r mit dem ”Pfeil” bewegen, sonden den ”Fuß”, ist ˙ �v = −�v, da �r → −�r.
dξ �r
= 1 −
dt ′ r
Nun schreiten wir zur Elimination in den Integralen:
ϕ(�r, t) = q
4πε
�
δ(ξ) dξ
r − �r�v =
c
q
�
4πε r − �r�v
�
�
�
��
�
c
�A(�r, t) = µq
4π
Rücksubstitution: ξ = 0 ⇔ t ′ = t − r(t ′ )
c
�v
c
�
�v δ(ξ) dξ
r − �r�v
µq�v
= �
c 4π r − �r�v
�
�
�
��
�
c
ϕ(�r, t) =
q
�
4πε r − �r�v
�
�
�
��
�
c
�A(�r, t) =
µ q �v
�
4π r − �r�v
�
�
�
��
�
c
� t ′ =t− r(t ′ )
c
� t ′ =t− r(t ′ )
c
Diese Potentiale werden als retardierte Potentiale von Liénhard-Wiechert bezeichnet. Sie stellen eine
exakte Lösung der Maxwell-Gleichungen dar.
Im Coulomb-Fall (�v = � 0) reduziert sich die Lösung auf das bekannte Coulomb-Potential für ϕ und � A = � 0.
� ξ=0
� ξ=0

80
Wir betrachten jetzt wieder � E und � B:
� E = − grad ϕ − ∂ � A
∂t
Wir verwenden nun die folgende Hilfsformel (Kettenregel):
∂t ′
∂t =
Man findet nun nach einiger Rechnerei:
� E = q
4πε
c
(�r�v − rc) 2
�B = − √ εµ � E × �r
r
⎧
⎨
⎩ − ˙ �v
c
1
1 − �r�v
rc
r +
Wir betrachten nun ein paar Grenzfälle:
grad t ′ = − �r
rc
�B = rot � A
1
1 − �r�v
rc
�
�r − �v
cr � �
· �v 2 − c2 − r˙ �⎫�
�v ⎬�
�
�
�r�v − cr ⎭�
mit ˙ �v = d
dt ′�v
• �v = � 0, ˙ �v = � 0
Dies liefert das Coulombfeld und � B verschwindet.
� t ′ =t− r(t ′ )
c
• �v �= � 0, ˙ �v = � 0
Diesen Anteil erhält man auch, wenn man ausgehend vom Coulombfeld eine Lorentztransformation
ausführt. Es kommt hier zu keiner ”Abstrahlung”.
• �v �= �0, ˙ �v �= �0 Erzeugung und Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.
Nun interessiert uns noch die Abstrahlung. Dafür ist �
�S d�F wesentlich für weit entfernte Oberflächen.
Wir diskutieren das asympotische Verhalten der Felder:
1. �v ˙ = �0, gleichförmig bewegte Punktladung (Index ”gl”)
�Egl = q 1
4πε r2 c(�v 2 − c2 � �
) �r �v
� � − ∼ 3
�r�v r c
r − c
� �� �
1
r2 | � Hgl| ∼ 1
r 2
Wir wählen: F = S 2 ∼ r 2
�
⇒ �S dA� 1
∼
r2 nur von ∢(�v, �r
r ) und |�v| abhängig
(gleiches Verhalten bis auf die Richtung)
1
r2 r2 ∼ 1
r2 F
r→∞
→ 0 ⇒ kein Energiestrom durch entfernte Oberfläche
Eine gleichförmig bewegte Punktladung strahlt nicht!
2. �v ˙ �= �0, beschleunigte Punktladung
�E − �Egl = − q
�
1 c ˙�v
� � �
�r�v
�r
� � − c +
4πε r
3
�r�v c r r
r − c
˙ � � �
�r �v
�v · −
r c
�
� �� �
| � H − � Hgl| ∼ 1
r
�
⇒ �S dA� 1
∼
r
abhängig von Winkeln, |�v|, | ˙ �v|
1
r r2 ∼ 1 verschwindet nicht für r → ∞
In der Tat wird Leistung (in Form von Wellen) in den Raum abgestrahlt. Die Abschätzung ist zwar
grob, aber eine genaue Rechnung liefert dasselbe.
Resultat:
Eine beschleunigt bewegte Punktladung strahlt elektromagnetische Wellen ab! ⇒ Die
klassischen Atommodelle sind instabil!
∼ 1
r

Elektromagnetische Wellen (freie Wellen) 81
8 Elektromagnetische Wellen (freie Wellen)
Wir betrachten zeitlich veränderliche Felder außerhalb ihrer Erzeugungsgebiete. Die spezielle Art der
Erzeugung interessiert uns hier nicht.
Die Maxwell-Gleichungen lauten dann:
Weiterhin gilt auch hier:
• µ, ε sind const.
freie Wellen: ρel = 0, � j = � 0
• es handelt sich um stückweise homogene Medien
• Randbedingungen
8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen
div � D = 0 (8.1)
div � B = 0 (8.2)
rot � E = − ˙ � B (8.3)
rot � H = ˙ � D (8.4)
�D = ε � E , � B = µ � H (8.5)
Das Vorgehen ist prinzipiell das gleiche wie in Abschnitt 7: → Potential → � � A = 0, �ϕ = 0.
Im Fall ρel = 0 und � j = � 0 kann man für � E und � B direkt homogene Wellengleichungen ableiten.
rot auf (8.3) : rot rot �E = − µ rot ˙ H�
∂
∂t auf (8.4) : rot ˙ H � ¨
= ε �E
⇒ rot rot � E = − εµ ¨ � E | rot rot (. . . ) = grad div (. . . ) − ∆· (. . . )
grad div � E
� �� �
=0
− ∆· � E = − εµ ¨ � E
Mit µε = 1
v 2 und analoger Rechnung für � B erhalten wir:
� � E = 0
� � B = 0
Die direkte Herleitung dieser homogenen Wellengleichungen für � E und � B gelingt nur für ρel = 0 und
� j = � 0.
Maxwell-Relation:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Die wesentliche Grundaussage ist, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen in
einem Medium mit dessen elektromagnetischen Eigenschaften verknüpft ist.
Vakuum: µ0ε0 = 1
c 2 0
µε = µrµ0εrε0 = µrεr
c 2 0
≡ n2
c 2 0
= 1
v2 ⇔ n = c0
v
n = √ µrεr . . . Brechungsindex des Mediums
In vielen Medien gilt als gute Näherung: µr ≈ 1 ⇒ n ≈ √ εr. Es gibt also einen direkten Zusammenhang
von optischen (n) und elektrischen (εr) Eigenschaften.
Aus der Herleitung der obigen Wellengleichungen folgt:

82
Beispiel:
✿✿✿✿✿✿✿✿
Jede Lösung der Maxwellgleichungen löst auch die beiden homogenen Wellengleichungen.
Aber die Umkehrung ist nicht gültig !!!
Eine reine elektrische Welle ( � B = � 0, � � E = 0) löst zwar die Wellengleichung, existiert nach Maxwell aber
NICHT!, denn � B = � 0 ⇒ ˙ � D = � 0 ⇒ ˙ �E = � 0 !
Man muß mit den Lösungen der Wellengleichungen immer noch in die Maxwell-Gleichungen
gehen. Dann ergeben sich noch zusätzliche Einschränkungen (z.B. bzgl. der Richtung oder der
Amplitude).
8.1.1 Die allgemeine ebene Welle
Als partielle Differentialgleichung besitzt die homogene Wellengleichung eine sehr große Lösungsmenge.
Daher tritt das folgende Problem auf: Klassifizierung der Lösungen von �U(�r, t) = 0 (U beliebige Wellenfunktion).
Üblich ist die Klassifizierung nach räumlichen Symmetrien, wie z.B. Kugel- oder Zylindersymmetrie.
Einfachster Fall: U ist außer von der Zeit nur noch von einer Raumkoordinate abhängig
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿
z.B. U = U(z, t) → physikalisch: bzgl. x-, y-Koordinate liegen homogene Verhältnisse vor
�U = 0 ⇔
� 1
v 2
∂2 ∂2
−
∂t2 ∂z2 �
U(z, t) = 0
◮ zu beliebigen festen Zeitpunkten wird U als Konstante in jeder zur x-y-Ebene parallelen Ebene
angesehen
◮ die Zeitabhängigkeit bewirkt ein ”Laufen” in ±z-Richtung
Allgemeine Lösung:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Hierfür führen wir zwei neue Variable ein: ξ ≡ z − v · t η ≡ z + v · t
Nebenrechnung:
∂ ∂ξ
=
�
∂z ∂z
1
v2 ∂
∂ξ
∂2 ∂2
−
∂t2 ∂z2 ∂η ∂ ∂ ∂
+ = +
�
∂z ∂η
�
∂ξ ∂η
1 ∂ ∂
U = −
v ∂t ∂z
� � 1
v
Die Integration ist trivial:
bzgl. ξ :
∂
U(ξ, η) = f(η)
∂η �
bzgl. η : U(ξ, η) = f(η) dη +U2(ξ) = U1(η) + U2(ξ)
� ��
U1(η)
�
Rücksubstitution:
Es bleibt nur eine Nebenbedingung:
1 ∂ ∂ ∂
= · · · = −
v ∂t
�
∂η ∂ξ
∂ ∂
∂
+ U = − 4
∂t ∂z
2
∂ξ ∂η U(ξ, η) ! = 0
Allgemeine Lösung: U(z, t) = U1(z + vt) + U2(z − vt)
U1, U2 müssen zweimal nach den Argumenten differenzierbar sein. Ansonsten sind sie aber
völlig beliebig!
Jede dieser Lösungen nennen wir Welle!
Bedeutung der beiden Funktionen:
U1(z + vt). . . in negative z-Richtung laufende Welle
U2(z − vt). . . in positive z-Richtung laufende Welle
Beispiel: Uz rechtslaufend
✿✿✿✿✿✿✿✿

8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen 83
U2(z1 − vt1) = U2(z2 − vt2)
⇒ z1 − vt1 = z2 − vt2
z2 − z1 = v(t2 − t1) (v > 0)
⇒ falls z2 > z1 ⇔ t2 > t1
Allgemeiner: Ausbreitung der ebenen Wellen in �n-Richtung (�n bel. Einheitsvektor)
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
U(�r, t) = U(�n�r − vt)
z.B.: �n = �ez �n�r = z → U = U2
�n = − �ez �n�r = −z → U = Ũ(−z − vt) = U1(z + vt)
Elektromagnetische Wellen als ebene Wellen:
�E = �E(�n�r − vt)
↗
U(�n�r − vt)
↘
�B = � ⎫
⎪⎬
wobei jede Vektorkomponente diese Abhängigkeit
besitzt
⎪⎭
B(�n�r − vt)
8.1.2 Kugelwellen
Hier liegt als räumliche Symmetrie die Kugelsymmetrie vor.
U(�r, t) = U(x, y, z, t) Kugelkoord.
= U(r, θ, ϕ, t) = U(r, t) r = � x2 + y2 + z2 �
1
�U(r, t) =
v2 ∂2 � �
1
− ∆· U =
∂t2 v2 ∂2 �
∂2 2 ∂
− − U(r, t)
∂t2 ∂r2 r ∂r
! = 0
Die allgemeine Lösung besitzt die Form:
U(r, t) = 1
r [ U1(r + vt) + U2(r − vt) ]
Nachweis der Lösung: Einsetzen in die Wellengleichungen und differenzieren oder:
Subst.: U(r, t) = 1
r V(r, t) � Dgl. für V(r, t) ⇒ Lsg. wie unter 8.1.1
◮ Die Lösung ist eine Überlagerung einer einlaufenden (U1) und einer auslaufenden (U2) Welle.
◮ Typisch: Die Wellenamplitude ist ∼ 1
r .
◮ Wichtig: Huygen’sches Prinzip (Elementarwellen = Kugelwellen! → vgl. Beugung)
8.1.3 Ebene harmonische Wellen
Wir spezialisieren uns nun immer mehr:
1. wir betrachten nur noch den auslaufenden Anteil (�n�r − vt, also keine Überlagerungen mehr)
2. nun Einschränkung der beliebigen auslaufenden Funktion U2 auf die harmonischen Funktionen
Sinus und Kosinus
Warum machen wir diese Einschränkungen?
• harmonische Funktionen sind häufig technisch von Bedeutung (periodisch in den Quellen)
• beliebige Funktionen lassen sich nach dem Fourier-Theorem aus harmonischen Funktionen superponieren
(Fourier-Reihen-Entwicklung)
• Wellengleichung ist linear:
�U = � � Un,m �e inkx e iωmt = 0
→ Aus harmonischen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen (”Wellenpakete”) superponieren!

84
Für elektromagnetische Wellen machen wir den folgenden Ansatz zur Lösung:
( � k�r − ωt) . . . Phase der Welle
� E0, � B0 . . . komplexe Amplituden
� k . . . Wellenzahlvektor
� E(�r, t) = � E0 e i(� k�r−ωt) � B(�r, t) = � B0 e i(� k�r−ωt)
| � k| = 2π
λ
Jetzt noch ein paar Bemerkungen zum Rechnen mit komplexen Funktionen:
�n = � k
| � k|
• ist möglich bei linearen Gleichungen mit reellen Koeffizienten (erfüllt durch �U = 0)
• große ”technische” Erleichterungen beim Rechnen
• Sobald man nichtlinerare physikalische Größen (ωel, � S. . . ) bildet, muß vorher der Realteil der
Felder berechnet werden. Erst dann kann man die nichtlinearen Größen berechnen!
Nun gehen wir mit unseren Ansätzen in die harmonische Wellengleichung:
�� �
1
E =
v2 ∂2 �
− ∆· �E0 e
∂t2 i(� �
k�r−ωt)
= � 2 ω
k − 2
v2 �
� E0 e i(� k�r−ωt) ! = 0 | � E0 �= 0, e iϕ �= 0
Dispersionsrelation: ω 2 ( � k) = v 2 � k 2
Die konkrete Wellengleichung erzwingt einen Zusammenhang von ω und � k. Für andere Wellen bzw.
Wellengleichungen gelten natürlich andere Dispersionsrelationen. Die folgende Gleichung, die eigentlich
schon jeder für ”Wellen” kennt, gilt nur für elektromagnetische Wellen !
→ ω = vk ⇒ k = 2π
, ω = 2π ν ⇒ v = λ · ν
λ
Diskussion der Lösung: e ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
i(�k�r−ωt) i = e �k�r −iωt e
◮ Zeitabhängigkeit: e −iωt , zeitliche Periode: T = 2π
ω
◮ Ortsabhängikeit: e i� k�r , räumliche Periode: λ = 2π
k
Ändert man �r in Richtung von � k um λ, so ändert sich � k�r um 2π, d.h., e i� k�r ändert sich nicht.
◮ Die Felder � E, � B der harmonischen Welle sind für alle �r, t konstant, für die die Phase � k�r − ωt eine
Konstante ist.
� k�r − ωt = const. → betrachten Momentaufnahme zur Zeit t=const.
(8.6)
� k�r = const. ⇔ definiert die Phasenfläche (=Ebene im Raum)
Die Phasengeschwindigkeit schreitet mit v = ω
k
voran.
� E ∼ e i( � k�r−ωt) = e ik
Phasengeschwindigkeit: vPh = ω
k
�
�k
�r− ω
k k t
�
= e ik(�n�r−vt)

8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen 85
In Medien sind εr bzw. v oder die Brechzahl n i.A. frequenzabhängig (→ Dispersion). Ursache: atomare
Struktur der Medien.
Wellenpakete (superponiert aus ebenen Wellen) zerfließen im Zeitverlauf. Der Schwerpunkt von Wellenpaketen
bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit:
Beispiel: elektromagnetische Welle im Vakuum
✿✿✿✿✿✿✿✿
vPh = ω ck
= = c
k k
vGr = dω
⎫
⎪⎬
vPh d
= vGr
= (ck) = c
⎪⎭
dk dk
Gruppengeschwindigkeit: vGr = dω
dk
Dies ist i.A. nicht so!
Wir haben bis jetzt nur die homogenen Wellengleichungen erfüllt. Jetzt müssen wir noch in die Maxwell-
Gleichungen gehen!
∂
∂t � E = −iω � E � ∇ � E = i � k � E (analog für � B)
Quellgleichungen:
div � D = 0 ⇒ i ε � k � E = 0 ⇒ � k � E0 = 0 ⇒ � k ⊥ � E0
div � B = 0 ⇒ i � k � B = 0 ⇒ � k � B0 = 0 ⇒ � k ⊥ � B0
Wirbelgleichungen:
rot � H = ˙ � D ⇒ � k × � H = − ω ε � E ⇒ � k × � H0 = − ε ω � E0
rot � E = − ˙ � B ⇒ � k × � E = µ ω � H ⇒ � k × � E0 = µ ω � H0
� k, � E, � B bilden ein Rechtssystem mit dieser Reihenfolge (und zyklischen Vertauschungen). � k
k
ist die Ausbreitungsrichtung. Daraus folgt, daß elektromagnetische Wellen Transversalwellen
sind, wobei außerdem noch gilt, daß � E ⊥ � B.
Zusammenfassend: Für ebene hamonische Wellen gilt:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�E(�r, t) = �E0 e
•
i(�k�r−ωt) �B(�r, t) = � B0 ei(� �
Wellenfunktion = komplexe Vektoren
k�r−ωt)
•
� k � E = 0
µ ω � H = � k × � E
• ω = v k Dispersionsrelation
�
- Transversalwellen
- ( � E, � H, � k) bilden ein Rechtssystem
8.1.4 Energieverhältnisse für ebene Wellen
Energiedichte:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
ωelm = 1
2 � E � D + 1
2 � H � B
Dies ist eine quadratische Bildung. Daher muß zuerst der Realteil der Felder gebildet werden.
z.B.: � E = (Ex, Ey, Ez) � E = � E0 e i(� k�r−ωt)
d.h., Ex = E0x e i(� k�r−ωt)
⇒ davon ist Re gesucht Beachte: E0x ∈ C
Wir verwenden die Polardarstellung: E0x = |E0x| e iδx mit der reellen konstanten Phase δx
⇒ Ex = |E0x| e i(� k�r−ωt+δx) ⇒ Re(Ex) = |E0x| cos( � k�r − ωt + δx) analog restl. Komponenten
Nebenrechnung:
µω� H = �k × �E ⇒ µω Re( � H) = �k × Re( �E) ⇒ µ 2 ω 2 (Re� H) 2 = �k 2 (Re�E) 2
(Re� H) 2 = 1
µ 2
� 2 k
ω2 (Re� 2 (8.6)
E) = 1
µ 2
1
v2 (Re�E) 2
Mit diesen Zwischenergebnissen gehen wir nun in die Energiestromdichte:
( � k ⊥ � E)

86
ωelm = ε
2 (Re�E) 2 + µ
2 (Re� H) 2 = ωel + ωmag = ε
2 (Re�E) 2 + 1
2
Der Vergleich liefert:
ωel = ωmag
1
µv 2 (Re� E) 2 = ε (Re � E) 2 = 2ωel
Der Beitrag der elektrischen Energie zur Gesamtenergie ist genauso groß wie der Beitrag des magnetischen
Feldes (vgl. Fernfeld des Hertz’schen Dipols).
Zeitlicher Mittelwert von ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Damit:
ωelm: f(t) = 1
T
cos 2 ( � k�r − ωt + δx) = 1
T
ωelm = ε (Re � E) 2 ⇒ ωelm = ε (Re � E) 2 = ε
2
T�
f(t) dt
Hinweis zur Notation: * ^= komplex konjugiert
0
T�
0
cos 2 ( �k�r − ωt + δx) dt Bronstein
=
� |E0x| 2 + |E0y| 2 + |E0z| 2�
ωelm = ε
2 � E ∗ � E
1
2
|z| 2 = z ∗ z
Die mittlere Energiedichte der elektromagnetischen Wellen ist proportional zur Intensität des Wellenfeldes.
Die Intensität ist wie folgt definiert:
Poynting-Vektor:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
� S = � E × � H
für eine vektorielle Welle: I = � E ∗ � E
für eine skalare Welle: I = U ∗ U
Auch die Energiestromdichte ist quadratisch im Feld. Deshalb müssen wir erst den Realteil bilden.
�S = (Re�E) × (ReH) � = (Re� 1
� �
E) × �k × Re�E | Zerlegung doppeltes Vektorprod.
µω
�
1
S =
µω �k (Re�E) 2 + Terme, die wegen �k ⊥ �E verschwinden
(8.6) �S = v ε (Re� 2
E) �k k
� S = v ωelm
v . . . Geschwindigkeit des Energietransports
ωelm . . . Größe, die transportiert wird
� k
k . . . Richtung des Energietransports
8.1.5 Polarisation von elektromagnetischen Wellen
Polarisation → tritt nur bei vektoriellen (mehrkomponentigen) Wellenfunktionen auf und ist
direkt mit der Transversalität solcher Wellen verknüpft
↓
gewisse Änderung der Schwingungsrichtung der Wellen (am festen Ort)
Wir betrachten im folgenden eine ebene harmonische elektromagnetische Welle (Licht).
� E = � E0 e i(� k�r−ωt) � E0 = (E0x, E0y, E0z) komplexe Zahlen
� k
k

8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen 87
O.B.d.A. wählen wir die z-Achse als Ausbreitungsrichtung, so daß
Da Transversalwellen vorliegen:
� k = (0, 0, kz) ^=Ausbreitung nur in z-Richtung
� E0 = (E0x, E0y, 0) Beachte: � E0 � k = 0, wobei: E0x = |E0x| e iδx E0y = |E0y| e iδy
Wir bilden nun die physikalisch relevanten Anteile: �k�r = kz · z
�
Re Ex = Re |E0x| ei(� �
k�r−ωt+δx) = |E0x| cos(kzz − ωt + δx)
�
Re Ey = Re |E0y| ei(� �
k�r−ωt+δy) = |E0y| cos(kzz − ωt + δy)
wobei wir i.A. δx �= δy und |E0x| �= |E0y| zulassen wollen.
Durch geeignete Wahl des Zeitanfangspunktes: t → t + t0 kann der konstante Anteil einer Phase zum
Verschwinden gebracht werden. Wir führen dies hier für Re Ex durch:
kzz − ω(t + t0) + δx
Wenn man hiermit nun in die Phase von Ey eingeht:
!
= −ωt ⇒ t0 = 1
ω (kzz + δx)
kzz − ω(t + t0) + δy = −ωt + δy − δx
Damit ergibt sich nun für einen festen Beobachtungsort (z=const.):
Re Ex = |E0x| cos(−ωt) = |E0x| cos(ωt)
Re Ey = |E0y| cos(δ − ωt) mit δ ≡ δy − δx
Für die Eleminierung der Zeitabhängigkeit verwenden wir ein Additionstheorem:
Re Ey
|E0y|
Re Ey
|E0y|
= cos δ cos(ωt) + sin δ sin(ωt)
�
| sin(ωt) =
Ex
= cos δRe + sin δ
|E0x|
(Re Ex) 2
1 −
|E0x| 2
Quadrieren und elementare Umformungen ergeben:
(Re Ex) 2
|E0x| 2
�
1 − cos 2 (ωt)
2 (Re Ey)
+
|E0y| 2 − 2 Re Ex Re Ey
|E0x| |E0y|
cos δ = sin 2 δ
Hierbei handelt es sich um eine Ellipsengleichung, wobei die Hauptachsen der Ellipse nicht mit den
Koordinatenachsen zusammenfallen.
Man spricht deshalb von elliptisch polarisiertem Licht (Welle), d.h. der � E-Vektor läuft an einem festen
Ort auf einer Ellipse um (analog auch der � B-Vektor).
Spezialfälle: Wahl der Parameter δ, |E0x|, |E0x|
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. Zirkular polarisierte Welle
|E0x| = |E0y|
δ = δy − δx =
⇔ gleichlange Hauptachsen
π
+ kπ, k ∈ Z
2
⇔ cos δ = 0, sin δ = 1
⇒ (Re Ex) 2 + (Re Ey) 2 = |E0x| 2 ”Kreisgleichung”
Man unterscheidet noch nach dem Drehsinn (Konvention: Man blickt der Welle entgegen.) → linksoder
rechtsdrehende Welle
k gerade: linksdrehend
- zeitabh. Gleichungen: Re Ex = |E0x| cos(ωt), Re Ey = |E0y| sin(ωt)
- entspricht der mathematisch positiven Richtung
k ungerade: rechtsdrehend
- zeitabh. Gleichungen: Re Ex = |E0x| cos(ωt), Re Ey = −|E0y| sin(ωt)
- mathematisch negative Richtung

88
2. Linear polarisierte Welle
δ = δy − δx = n π, n ∈ Z
(Re Ex) 2
|E0x| 2
2 (Re Ey)
+
|E0y| 2
⇒ Re Ex = ± |E0x|
|E0y|
∓ 2 Re Ex Re Ey
|E0x| |E0y|
Re Ey
”Geradengleichung”
= 0
� Re Ex
|E0x|
Das Vorzeichen ist von n abhängig (gerade/ungerade).
Qualitativ: fixierter Ort (Achse ∼ k Ex, Re Ey)
�2 Re Ey
∓ = 0
|E0y|
8.2 Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
Wir betrachten den Fall der Reflexion und Brechung am Nichtleiter.
Aus dem Halbraum z

8.2 Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen 89
Annahme zur Lösung des Randwertproblems (durch experimentelle Befunde nahe gelegt!):
bestehen aus:
�
Die Lösungen
in (1):
- einfallende Welle
- reflektierte Welle
in (2): - gebrochene Welle
Falls die Grenzfläche keine Ebene ist, muß man für die reflektierte und gebrochene Welle komplizierte
Überlagerungen aus ebenen Wellen ansetzen.
⎫
⎪⎬
jeweils unterschiedliche Amplituden, Wellenzahlvektoren
und Frequenzen
einfallende Welle: � E = � A e i( � k�r−ωt)
reflektierte Welle: � E ′ = � A ′ e i( � k ′ �r−ω ′ t)
gebrochene Welle: � E ′′ = � A ′′ e i(� k ′′ �r−ω ′′ t)
Übergangsbedingung:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
⎪⎭
Die Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes ( � ET ) beim Übergang zwischen zwei
Dielektrika hat zur Folge:
� ET + � E ′ T = � E ′′
T bei z = 0, ∀ t, x, y
Wir betrachten zunächst den Punkt x=0, y=0 (also �r = � 0):
Insbesondere für t=0:
�AT e −iωt + � A ′ T e −iω ′ t = � A ′′
T e −iω ′′ t
� AT + � A ′ T = � A ′′
T
Jetzt differenzieren wir (8.7) nach t an der Stelle t=0: ω � AT + ω ′� A ′ T = ω ′′� A ′′
T
Bei nochmaliger Differentiation erhalten wir: ω 2� AT + ω ′2� A ′ T = ω ′′2� A ′′
T
Durch Elimination von � AT , � A ′ T und � A ′′
T
ω ω ′ ω ′′
ω 2 ω ′2 ω ′′2
�A ′′
T
führt dies zu:
ω = ω ′ = ω ′′
(8.8)
∀ t (8.7)
Eine andere Variante, um zu diesem Ergebnis zu kommen, ist:
⎛
1
⎝
1 1
⎞ ⎛
�AT
⎠ ⎜
· ⎝�A
′ ⎞ ⎛ ⎞
0
⎟
T ⎠ = ⎝0⎠
0
⇒
Homogenes Gleichungssystem, dessen Lösung
bei det()=0 zu finden ist!
det(. . . ) = ω ′2 (ω ′′ − ω) + ω 2 (ω ′ − ω ′′ ) + ω ′′2 (ω − ω ′ ) ! = 0 → vgl. oben
Frequenzen ändern sich beim Übergang zwischen Nichtleitern nicht.
Physikalisch: Photonenmodell des Lichts
EPhoton = ¯h ω ∼ ω ist an der Grenzfläche erhalten
Da ω = ω ′ = ω ′′ , ist eine Abspaltung der Zeitabhängigkeit in der Wellenfunktion möglich (Fall t=0;
x,y�=0):
Übergangsbedingung:
� AT e i(kxx+kyy) + � A ′ T
′ ′
ei(k xx+k yy) = � A ′′
T
′′ ′′
ei(k x x+k y y)
Wir gehen jetzt analog wie oben vor, differenzieren jetzt aber nach x und y an der Stelle x=y=0. Dies
ergibt ein Gleichungssystem, dessen Lösung wie folgt aussieht:
kx = k ′ x = k ′′
x
ky = k ′ y = k ′′
y
�
Alle 3 Vektoren � k, � k ′ und � k ′′ liegen in
einer Ebene.
(8.9)

90
O.B.d.A. betrachten wir die Ausbreitung in der x-z-Ebene.
Reflexion: Da sich die einlaufende und reflektierte Welle im selben Medium befinden, gilt:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
| � �
k| = �k
ω 2 =
c1
(8.8)
= ω ′
c1
�
= �k ′2 = | � ′
k |
kx = | � k| sin θ (8.9)
= k ′ x = | � k ′ | sin θ ′
Brechung:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
kx = ω
c1
sin θ = k ′′
′′ ω
x =
c2
sin θ ′′
⇒ sin θ = sin θ ′
Reflexionsgesetz: θ = θ ′
| mit (8.8) folgt:
Brechungsgesetz: n12 = c1
= sin θ
sin θ ′′
Wegen c = 1
√ µε sind die optischen Eigenschaften eines Mediums auf die elektromagnetischen Eigenschaften
zurückführbar.
Totalreflexion
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Sie tritt nur bei Übergängen von optisch dichteren in optisch dünnere Medien auf.
c1
c2
< 1 ⇒ n12 < 1 ⇒
c2
sin θ
sin θ ′′ < 1 ⇒ θ ′′ > θ
Grenzwinkel der Totalreflexion: (”schweifender”
Austritt)
θ ′′ = π
2 ⇒ n12 = sin θgr
Der Grenzwinkel ist direkt aus der Brechzahl bestimmbar.
Für θ > θgr sagt die Strahlenoptik: Licht wird total reflektiert. Es dringt also nicht in das Medium
(2) ein.
Dies ist falsch vom Standpunkt der Wellenoptik und aufgrund experimenteller Ergebnisse.
Man kann ein geringes Eindringen des Lichtes in das Medium (2) beobachten!
Nachweis (theoretisch): Wir betrachten die gebrochene Welle.

8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen) 91
k ′′
z
(8.8)
= ω
k ′′
z = ω
c1
c2
cos θ ′′ = ω
c2
�
n 2 12 − sin2 θ
�
1 − sin 2 θ ′′ = ω
Im Bereich der Totalreflexion gilt nun:
k ′′
z = ω
c1
√ −1
c2
�
1 −
� c2
c1
n 2 12 − sin 2 θ < 0
�
sin 2 θ − n2 ω
12 =
c1
� 2
sin 2 θ = ω
i
c1
� �c1
c2
�
sin 2 θ − n 2 12
� 2
− sin 2 θ
k ′′
z ist bei der Totalreflexion rein imaginär! Dagegen sind andererseits kx = k ′′
x , ky = k ′′
y
reell!
Wellenfunktion im Medium (2): ky = 0
Wir definieren jetzt:
Damit:
Eindringtiefe:
� ′′
E = A � ′′ i(k
e ′′ ′′
x x+k z z−ωt)
1 ω
=
δ c1
�
sin 2 θ − n 2 12
� ′′
E = A � ′′ −
e z ′′
δ i(k
e x x−ωt)
Nun wollen wir die beiden e-Anteile kurz diskutieren:
′′
i(k e x x−ωt) . . . Wellenausbreitung parallel zur Grenzfläche
e
− z
δ . . . ⊥ zur Grenzfläche wird diese Welle exponentiell gedämpft. Streng genommen ist sie
aber �= 0 für z > 0. Sie dringt also in das Medium (2) ein!
δ ∼ c1
ω
Die eindringende Welle ist im Bereich von z≈ einige Wellenlängen beobachtbar. Der Grenzübergang zur
Strahlenoptik besteht nun darin:
∼ λ
λ → 0 ⇒ δ → 0 ⇔ kein Eindringen
8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen)
Die Gesetze der geometrischen Optik gelten nur bei λ → 0 streng.
Experiment:
Man beobachtet komplizierte Intensitätsverteilungen
an den Grenzen zwischen Licht und Schatten.
Beugung ist die Wellenbewegung in den geometrischen Schattenraum hinein.
Eine qualitative Erklärung liefert uns das Huygen’sche Prinzip:
Jeder Punkt, der von der Wellenerregung getroffen wird, ist Quelle von Sekundärwellen. Die
Sekundärwellen sind Kugelwellen. Die Superposition dieser bildet die neue Wellenfront.
Es gilt die Faustregel:

92
Je kleiner die geometrische Abmessung l der Hindernisse relativ zu Wellenlänge ist, desto
stärker ist die Beugung.
l ≫ λ. . . geometrische Optik ist gute Näherung
l ≈ λ. . . Beugung ist wesentlich → Wellenoptik
Aufgabe der Beugungstheorie:
✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Man will bei vorgegebener Lage und Form der Hindernisse / Blenden usw. und bei vorgegebenen Quellen
im ganzen Raum die Intensitätsverteilung der Wellen berechnen.
8.3.1 Kirchhoff’sche Formel (1882)
1. Stationäre Wellengleichung
Sei Ψ(�r, t) eine komplexe Welle, die der homogenen Wellengleichung �Ψ = 0 genügt.
Gesucht: stationäre Intensitätsverteilungen
∂
∂t Ψ∗ Ψ = 0 Ψ∗Ψ = Intensität ⇔ stationäre Beobachtungsverhältnisse
Separationsansatz: Separation der Zeitvariablen
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Ψ(�r, t) = e iωt ϕ(�r) Ψ ∗ Ψ = ϕ ∗ ϕ = f(�r)
Mit diesem Ansatz gehen wir jetzt in die Wellengleichung.
�Ψ ! = 0 = − � ∆· +k 2� ϕ(�r) mit k ≡ ω
v
Die rechte Seite wird als stationäre (zeitfreie) homogene Wellengleichung bezeichnet. Bei einer
zusätzlichen Quelle haben wir ein inhomogenes Problem:
� ∆· +k 2 � ϕ(�r) = − q(�r)
Bei Vorgabe der Quellen q(�r) wäre das Randwertproblem zu lösen, wobei die Ränder durch Blenden,
Hindernisse usw. gegeben werden. Für eine Punktquelle gilt:
� ∆· +k 2 � G(�r) = − δ(�r) G(�r) . . . Green’sche Funk. d. stat. Wellengl. (8.10)
Eine ähnliche Berechnung wie in Abschnitt 4.2 liefert:
G(�r) = 1
4πr e−ikr
(reproduziert für k → 0 Poisson-Limit)
Mit dem obigen Separationsansatz erhalten wir nun (für eine auslaufende harmonische Welle):
2. Kirchhoff: Annahme von Punktquellen
Ψ(�r, t) = e iωt G(�r) = 1
4πr ei(ωt−kr)
- Nullpunkt liegt in der Quelle
- �r. . . Aufpunkt (wo uns ϕ interessiert)
- �r ′ . . . variabel; läuft ∂V ab

8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen) 93
(a) 1. Schritt
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
ϕ(�r) soll durch Werte ϕ|∂V und ∂ϕ
beliebig sein kann.
���
�
�
∂n ∂V
ausgedrückt werden, wobei das Volumen V noch
ϕ(�r) = δ(�r −�r ′ ) ϕ(�r ′ ) dV ′
(8.10)
= −
�
��∆·
�r ′ +k2� G(�r ′ −�r) � ϕ(�r ′ ) dV ′ �r ′ . . . Variable
�r . . . fester Vektor
�r ′ → �r ′ −�r übl. Shift
⎤
= −
Prod.-R.
= −
Gauß
=
��
◦
∂V
� ⎡
⎢
⎣ϕ(�r ′ ) ∆· �r ′ G − G ∆· �r ′ ϕ(�r ′ )
� �� �
�
=∆· �r ′ ϕ(�r ′ )+k 2 ϕ(�r ′ )=0
⎥
⎦ dV ′
div�r ′ [ϕ(�r ′ ) grad �r ′G − G grad �r ′ϕ(�r ′ )] dV ′
[G(�r ′ −�r) grad �r ′ϕ(�r ′ ) − ϕ(�r ′ ) grad �r ′G(�r ′ −�r)] d � F ′
Wir müssen nun nur noch die Green’sche Funktion einsetzen:
ϕ(�r) = 1
⎧
�� ⎪⎨
e
◦
4π ⎪⎩ ∂V
−ik|�r ′ −�r|
|�r ′ grad�r ′ϕ(�r
−�r|
′ )
� �� �
∼ ∂ϕ
− ϕ(�r
∂n | ∂V
′ e
) grad�r ′
� �� �
∼ϕ|∂V
−ik|�r ′ −�r|
|�r ′ ⎫
⎪⎬
d
−�r| ⎪⎭
�F ′
Dies ist ein exakter mathematischer Ausdruck. ϕ(�r) wird durch die Werte ϕ|∂V und ∂ϕ
�
�
∂n auf
� ∂V
∂ϕ
einer beliebigen, den Punkt�r umschließenden Fläche dargestellt. ∂n ≡ �n grad ϕ, d� �
F = �n dF
Kommen wir nun aber zu Physik!
(b) 2. Schritt Kirchhoff’sche Näherung
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Abb. 8.1: Situation
∂V sei nun ein System von Blenden und Öffnungen. Außerdem führen wir jetzt physikalisch
plausible Näherungswerte für ϕ und ∂ϕ
∂n auf den Blenden und Öffnungen ein (für nicht zu
kleine Öffnungen).
i. Auf der Abschirmung B sei ϕ=0 und ∂ϕ
∂n =0. Abgesehen von der unmittelbaren Nähe der
Öffnung ist es plausibel, daß hinter die Blende kein Licht fällt.
ii. Auf den Öffnungen ist der Wert der Lichteinwirkung ungestört.
ϕ(�r ′ ) = ϕ0
e −ik|�r ′ −�r0|
|�r ′ −�r0|
einlaufende Kugelwelle
iii. Als Vereinfachung wird der Vektorcharakter der elektromagnetischen Wellen ( � E, � B) sowie
der Kopplung zwischen � E und � B vernachlässigt.
→ ”skalare Beugungstheorie”: ϕ ∗ ϕ ^= Lichtintensität
Bezeichnung:
�r0. . . Ort der Quelle
�r. . . Ort des Aufpunktes
�r ′ . . . variabel; läuft ∂V ab
Nullpunkt in der Öffnung

94
Mit diesen Näherungen und den neuen Koordinatenbezeichnungen ergibt sich nun (nur die Öffnungen
liefern einen Beitrag):
ϕ(�r) = ϕ0
�� �
e
4π
−ik|�r ′ −�r|
|�r ′ �
e
grad�r ′
−�r|
−ik|�r ′ −�r0|
|�r ′ �
−
−�r0|
e−ik|�r ′ −�r0|
|�r ′ �
e
grad�r ′
−�r0|
−ik|�r ′ −�r|
|�r ′ ��
d
−�r|
�F ′
∀ Öff
Bemerkenswert:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Vertauscht man �r und �r0, so ergibt sich lediglich ein Vorzeichenwechsel für ϕ. D.h., die Intensität
ϕ∗ϕ ändert sich nicht! Dies ist der Inhalt des Reziprozitäts-Satzes der Beugungstheorie.
Für die Anwendung ist die obige Formel ungeeignet. Aus diesem Grund bereiten wir sie noch etwas auf.
Annahme: |�r ′ | ≈ λ
|�r|, |�r0| ≫ |�r
^= kleine Öffnungen
′ | ^=
�
weit entfernte Quellen und Schirm
typ. exp. Aufbau
|�r ′ −�r| ≈ |�r| ≡ r |�r ′ −�r0| ≈ |�r0| ≡ r0
�
e
grad�r ′
−ik|�r ′ −�r0|
|�r ′ � �
1
= − ik +
−�r0|
|�r ′ � −ik|�r e
−�r0|
′ −�r0|
|�r ′ grad�r ′ |�r
−�r0|
′ −�r0|
�
e
grad�r ′
−ik|�r ′ −�r0|
|�r ′ � �
≈ − ik +
−�r0|
1
� −ik|�r e
r0
′ −�r0|
(−1)
r0
�r0
| k =
r0
ω 1
v ∼ λ
�
e
grad�r ′
−ik|�r ′ −�r0|
|�r ′ �
≈ ik
−�r0|
�r0 e
r0
−ik|�r ′ −�r0|
e-Fkt. wird wegen k ∼
r0
1
λ sehr groß
⇒ nicht entwickelbar
Analog:
�
e
grad�r ′
−ik|�r ′ −�r|
|�r ′ �
≈ ik
−�r|
�r
r
e −ik|�r ′ −�r|
Wenn wir nun alles einsetzen, so ergibt sich:
r
ϕ(�r) = ik
4π ϕ0
��
Öff
�
e −ik(|�r ′ −�r|+|�r ′ −�r0|)
r r0
� �r0
Oder nach äquivalenter Umformung sieht das ganze dann so aus:
Kirchhoff’sche Formel: ϕ(�r) = ikϕ0
4π
e −ikr0
Hierbei wurde verwendet: Φ ≡ |�r ′ −�r| + |�r ′ −�r0| − r0 − r.
r0
r0
e −ikr
Diskussion: Zeitabhängigkeit fällt für Ψ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
∗Ψ = ϕ∗ϕ = f(�r) heraus.
ϕ0
e −ikr0
r0
e−ikr r
�
�r0
�n
r0
− �r
�
r
r
�n − �r
r �n
�� �n
� �r0
r0
dF ′
− �r
� ��
e
r
Öff
−ikΦ dF ′
. . . Amplitude der von der Quelle ausgehenden Kugelwelle an der Öffnung
. . . Amplitude einer von der Öffnung ausgehenden Sekundärwelle (=Kugelwelle)
am Beobachtungsort �r
. . . Verkleinerungsfaktor der Lichtwirkung bei schrägem Lichtein- oder ausfall
Das Beugungsintegral �� e −ikΦ dF beschreibt den Einfluß unterschiedlicher Phasen bei der Summation
über die Öffnungen. Damit ergibt sich also die Kirchhoff’sche Formulierung des Huygen’schen Prinzips:
Die von der Quelle auf die Öffnungen einfallende Kugelwelle führt dazu, daß von jedem Punkt
der Öffnungen eine Kugelwelle (=Elementarwelle) ausgeht. Die Elementarwellen interferieren
miteinander und liefern die Beugungsfigur.
→ Hauptproblem für die Anwendung: Berechnung des Beugungsintegrals.
(8.11)

8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen) 95
8.3.2 Fraunhofer’sche Beugung
Wir machen nun eine Potenzreihenentwicklung bzgl. �r ′ in Φ:
|�r −�r ′ � �
2�r �r ′ �r ′2
| = r 1 − −
r2 r2 �
| Taylor bis zur 2. Ordnung
|�r −�r ′ �
�r ′ 1
| ≈ r − �r + �r
r 2r
′2 � � �
2
�r
− �r ′ + . . .
r
Analog:
|�r0 −�r ′ | ≈ r0 − �r0
�r
r0
′ + 1
�
�r
2r0
′2 �
�r0
− �r
r0
′
� �
2
+ . . .
� �
�r �r0
⇒ Φ ≈ − + �r
r r0
′ + 1
�
�r
2r
′2 � � �
2
�r
− �r ′ +
r 1
�
�r
2r0
′2 �
�r0
− �r
r0
′
� �
2
+ . . .
Bedingung für die Fraunhofer’sche Beugung:
�
r → ∞
Quelle und Beoachtungspunkt ins Unendliche
r0 → ∞
Experimentell: Licht wird durch Linsen parallelisiert.
In der mathematischen Behandlung: Kugelwelle → ebene Welle
Wir betrachten nun die Kirchhoff’sche Formel der Art:
��
ϕ(�r) = k C e −ikΦ dF, wobei Φ = −
Öff
Damit: ϕ(�r) = k C
��
Öff
e ik�r ′� �r
r + �r �
0
r0 dF ′
Anwendung: ebene Schirme + ebene Öffnungen
�r = (x, y, z) �r0 = (x0, y0, z0)
�r ′ = (ξ, η, 0) ⇒ Schirm in x-y-Ebene
� �r
r
�
�r0
+ �r r0
′ + . . .
C . . . konstanter Faktor für den Versuchsaufbau
⇒ �r
r �r ′ xξ + yη �r0
= , �r
r r0
′ = x0ξ + y0η
, dF
r0
′ = dξdη
cos α = x
r , cos α0 = − x0
r0
cos β = y
r , cos β0 = − y0
�
Winkelpaare α, α0 und β, β0 spezifizieren die Richtung von P und
Q
r0
setzen wir jetzt alles ins Beugungsintegral ein:
ϕ = k C
ϕ = k C
Abb. 8.2: Festlegung der Koordinaten / Variablen
��
e ik
�
a
�� � �
b
�� �
(cos α − cos α0) ξ ik
e
(cos β − cos β0) η
dξdη
��
e ik(aξ+bη) dξdη | ξ, η Koordinaten auf der Öffnung
Öff
Öff
Im Fall, daß α = α0 und β = β0 ergibt sich eine wesentliche Vereinfachung. Es ergibt sich, daß a=0
und b=0. Man erhält also den geometrischen Bildpunkt der Quelle Q auf dem Beobachtungsschirm. Da
nur in unmittelbarer Umgebung des Bildes der Quelle nennenswerte Intensitäten beobachtbar sind, kann
Dies

96
man a und b selbst als ”Koordinaten” auf dem Beobachtungsschirm auffassen.
Beispiele:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. rechteckiger Spalt
ϕP = k C
A�
−A
e ikaξ dξ
⇒ ϕ(�r) → ϕ(a, b) a, b = ”Schirmkoordinaten”
B�
−B
e ikbη dη | k = 2π
λ
ϕP = 2 k C sin(kaA)
2
ka
sin(kbB)
kb
Beobachtbar ist die Intensität: IP = ϕ∗ PϕP IP = k 2 C 2 S 2
Seitenlängen: 2A, 2B
Fläche: S=4AB
. . . (Wellenzahlvektor)
� �2 sin(kaA)
�
sin(kbB)
kaA kbB
Nun bleibt noch die Bestimmung der Systemkonstante C:
Auf dem Beobachtungsschirm muß die gleiche Lichtmenge sein, wie auch durch die Öffnung gelangt
ist. Letztere wird so normiert, daß pro Flächeneinheit die Lichtmenge 1 entfällt:
IÖff Normierung: ≡ 1
S
IÖff = S = ISchirm
∞� ∞�
= IP da db = · · · = k2C2S2 k2 ⎛
∞�
⎞2
� �2 ⎝
sin U
dU⎠
AB
U
−∞ −∞
S = 4C 2 Sπ 2 ⇒ C = 1
2π
C k = 1
λ
Ohne Beweis: Diese Formel ist für alle ebenen Öffnungen gültig.
⇒
IP =
−∞
� �2 � �2 �
S sin(kaA) sin(kbB)
λ kaA kbB
Nun wollen wir die Funktion f2 (U) = � �
sin U 2
U noch kurz diskutieren, wobei U=kaB oder U=kbB
ist. Außerdem ist f2 ≥ 0.
Min:
f2 = 0 ⇒ f = 0 ⇒ sin U = 0, U �= 0 ⇒ U = kaA = mπ
U = kbB = nπ m, n ∈ Z\{0}
hier herrscht Dunkelheit IP = 0
Max:
′ f d ln f(U)
0 = ⇔ = 0 = cot U −
f dU
1
U
⇒ transzendente Gleichung zur Bestimmung der Maxima → Numerik
⇒ Hauptmaximum: U=0 (a=0,b=0 ^= geometrisches Bild der Quelle)
⇒ Bei festem λ gilt: Verkleinern von A ⇒ Vergrößerung von a und umgekehrt (Spaltbreite ↑
⇒ Beugungsfigur auf Schirm ↓)
� 2
� 2

8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen) 97
2. Fraunhofer-Beugung an der Kreisblende
• besondere Bedeutung für die Praxis
Abb. 8.3: Intensitätsverteilung am Spalt
• so ist ein Auflösungsvermögen optischer Geräte definierbar
ξ = ρ cos ϕ, η = ρ sin ϕ (Öffnung)
a = s cos θ, b = s sin θ (Schirm)
aξ + bη Polark.
= ρs(cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ) = ρs cos(ϕ − θ)
• dies alles setzen wir nun in das Beugungsintegral ein: kC = 1
λ
ϕP = 1
λ
r�
ρ dρ
• Eigenschaften der Bessel-Funktionen:
I0(x) = 1
2π
0
2π �
• Damit wird nun aus dem obigen Integral:
ϕP = 2π
λ
r�
0
0
ρ J0(kρs) dρ = 1
λ
• Für die Intensität ergibt sich nun:
2π �
ikρs cos(ϕ−θ)
e� �� �
0 Bessel-Funktionen
dp = ϕP(s, θ)
e ±ix cos α x�
dα xJ1 = x ′ J0(x ′ ) dx ′
IP = IP(s) = 4
2π
(ks) 2
rks �
0
0
� �2 � 2 πr J1(rks)
λ rks
x J0(x) dx = 2 πr2
λ
Man kann auch hier den Flächeninhalt der Öffnung s = πr 2 einführen.
• Diskussion:
� 2
J1(rks)
rks
– Beugungsfiguren = radiale Kreise, da IP unabhängig von θ ist!
– Qualitativ:
– Bild der Punktquelle ist ein ausgedehntes Objekt, das sogenannte ”Beugungsscheibchen”
– 1. Min (nur qualitativ):
1. Nullstelle bei U=rks=3,83 (numerisch)

98
Abb. 8.4: Beugungsfigur der Kreisblende
Abb. 8.5: Verlauf der J1-Funktion
s = 3, 83 λ λ
≈ 0, 61
2πr r
• Auflösungsvermögen: typisch für die Wellenoptik
Definition Auflösungsvermögen:
(8.12)
Dies ist der kleinste Abstand zweier Objektpunkte derart, daß ihre Beugungsscheibchen
gerade noch getrennt voneinander wahrnehmbar sind!
Festlegung:
2 Punkte sind gerade noch getrennt voneinander wahrnehmbar, wenn das Hauptmaxima
des 1. Punktes mit dem 1. Minumum des 2. Punktes zusammenfällt.
→ Zurückrechnen auf die Einfallswinkel: α0 = β0 = 90 ◦ ⇒ ⊥ Einfall
a = cos α, b = cos β
s2 = a2 + b2 = cos2 α + cos2 β = 1 − cos2 γ = sin 2 γ ⇒ s = sin γ
⇒ sin γ ≥ 0, 61 λ
r , λ
γ ≪ 1 ⇒ γ ≥ 0, 61 r
Verbesserung des Auflösungsvermögens:
– möglichst Licht kleiner Wellenlänge benutzen
– möglichst große Blendenradien verwenden

Relativistische Formulierung der Elektrodynamik 99
9 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
Im Gegensatz zur Newton’schen Mechanik ist die Elektrodynamik schon Lorentz-invariant. D.h. die
Maxwell-Theorie ist eine relativistische Theorie.
Wir suchen jetzt hier die 4-dimensionale ”Verpackung”, damit diese Invarianz auch zu sehen ist.
9.1 Die Lorentztransformation
Der Ausgangspunkt ist der Minkowski-Raum (M 4 , Raumzeit) mit dem Ortsvierervektor
(x M ) = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) x 0 = c · t, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z
und dem Längenelement (in karthesischen Koordinaten)
(ds) 2 = ηµν dx µ dx ν
mit ηµν = Diagonale (-1,1,1,1); (ds) 2 � 0 indefinit
und dem inversen Fundamentaltensor in karthesischen Koordinaten
� αβ
η � ⎛
−1
⎜
= ⎜ 0
⎝ 0
0
1
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
η αβ · ηβν = δ α
ν
Lorentztransformationen sind alle diejenigen linearen homogenen Abbildungen M 4 → M 4 ,
die das obige Längenelement invariant lassen.
Das Einsetzen liefert die folgende Bedingung:
x ′µ = Ω µ νx ν Ω µ ν konstante Matrix
dx ′µ = Ω µ νdx ν Bedingung: (ds ′ ) 2 = (ds) 2
ηαβ = ηµν Ω µ α Ω ν β
det (Ω µ α) = + 1
Die Definition der Gruppe SO(3,1) ist die ”eigentliche” Lorentztransformation.
Beispiel: Bewegung in x ✿✿✿✿✿✿✿✿
1 = x - Richtung
⎛
(Ω µ ⎜
ν) = ⎜
⎝
√ 1
1−β2 − β
√
1−β2 0
√
1−β2 √ 1
1−β2 0
0
0
1
0
⎟
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
− β
⎞
β = v
c ,
v = vx Relativgeschwindigkeit in x-Richtung
Ohne Beweis: (Ω µ ν) ist hinreichend für alle Anwendungen (geeignete Wahl der Koordinaten).
physikalisch: Die Lorentztransformation beschreibt den Übergang zwischen zwei Inertialsystemen.
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Σ(x ν ) L.T.
−→ v
Σ ′ (x ′ν )
Das Transformationsgesetz für den Ortsvierervektor verallgemeinert man:
A µ ′ = Ω µ ν Aν ⇒ A µ kontravarianter Vierervektor
Bµ ′ = Ω ν
µ Bν
wobei hier Ω
⇒ Bµ kovarianter Vierervektor
ν
µ = ηµα · ηνβ · Ωα β
A µ ′ · Bµ ′ = A µ Bµ = Invariante = Skalar
Ein Tensor n-ter Stufe in Bezug auf die Lorentzgruppe SO(3,1) ist eine n-fache Linearform
(Gebilde mit n Indizes) und dem Transformationsgesetz für die Komponenten (d.h. jeder
Index besitzt eine zugehörige Transformationsmatrix):

100
T ′µ... ατ... = Ω µ ν... · Ω β
α · Ω ρ
τ ... · T ν... βρ...
Einstein: Forminvarianz der Naturgesetze in allen Inertialsystemen
✿✿✿✿✿✿✿✿
Beispiel:
✿✿✿✿✿✿✿✿
a µ = b µ ⇒ a µ − b µ = 0 in Σ, dann gelte in Σ ′ : a ′µ − b ′µ = 0
a ′µ ′µ Transf.-Gesetz
− b = Ω µ νaν − Ω µ νbν a ′µ − b ′µ = Ω µ ν · (aν − bν )
det Ω �= 0 → falls aν − bν = 0 ⇒ a ′µ − b ′µ = 0
Die Gleichungen bleiben gleich, aber die Einzelkomponenten ändern sich: z.B. a ν �= a ′ν
9.2 Die Maxwellgleichungen im Vakuum
Wir starten mit der Feststellung, daß die Gesamtladung Q eines Körpers eine relativistische Invariante
ist (sonst wäre ein Perpetuum mobile 1. Art möglich). Dagegen ändert sich die Ladungsdichte ρ gemäß
ρ = Q
V = V0 ·
Q
� 1 − β 2 =
ρ0
� 1 − β 2
Hierbei ist ρ0 die Ruheladungsdichte, die natürlich eine relativistische Invariante ist (analog zur Ruhemasse
m0). Dann ist das folgende Produkt ein echter Vierervektor:
ρ0 · U µ = ρ0 · dxµ
dτ
U µ . . . Vierervektor
dτ . . . Eigenzeit
dτ =
Für die Komponenten erhalten wir dann (v µ = Hilfsgröße = dxµ
dt ):
ρ0U µ =
�
− (ds)2
c 2
ρ0v µ
� 1 − β 2 = ρ · vµ = (ρc, ρv 1 , ρv 2 , ρv 3 ) = (ρc, ρ�v)
Der Anteil ρ�v ist eine Konvektionsstromdichte. Da aus relativistischer Sicht Konvektions- und Leitungsströme
gleich sind, definieren wir als Verallgemeinerung:
Viererstromvektor: (j µ ) = (ρc, � j) = (ρc, j1, j2, j3)
� j beinhaltet Leitungsströme und Konvektionsströme:
Die Kontinuitätsgleichung lautet dann:
j µ ′ = Ω µ α j α
∂
∂x µ jµ = 0

9.2 Die Maxwellgleichungen im Vakuum 101
Die Viererdivergenz des Viererstromes verschwindet!
⇔ ∂
∂x 0 j0 + ∂
∂x 1 j1 + ∂
∂x 2 j2 + ∂
∂x 3 j3 = ∂ρ
∂t + div � j = 0
Der Wellenoperator ist ein wesentlicher Bestandteil der Elektrodynamik. Er läßt sich in folgender Art
und Weise schreiben:
� = η αβ ∂2 ∂xα ∂xβ = η00 ∂2 ∂(x0 ) 2 + . . . + η33 ∂2 ∂(x3 1
= −
) 2 c2 � ist unter der Lorentztransformation invariant
� ′ µν ∂ = η
∂x ′ µ
∂
∂x ′ ν = η µνΩ α
µ
∂
∂xα Ω β
ν
�
∂ ν
∂x µ ′ = Ωµ ∂
∂xβ = η µν Ω α
µ Ω β
ν
� �� �
=η αβ
∂2 + ∆·
∂t2 ∂
∂xν �
. Dies rechnen wir nun kurz nach:
∂ 2
∂xα∂xβ αβ ∂2 = η ∂xα∂xβ = �
Im Vakuum haben wir für die Potentialform der Maxwell-Theorie (vgl. Abschnitt 7):
�ϕ = − ρ
ε0
, � � A = − µ0 � j, div � A + 1
c 2
Dieses Gleichungssystem können wir kompakter in folgender Weise formulieren:
�A µ = − µ0j µ ,
∂ϕ
∂t
= 0
∂
∂x µ Aµ = 0 (9.1)
(A µ ) = � ϕ
c , A1,
� �
ϕ
A2, A3 = c , � �
A ist das sogenannte Viererpotential. Die Lorentz-Konvention erscheint
als Viererdivergenz und
′
µ
A = Ω µ ν A ν
Dies ist ein relativistisch invariantes Gleichungssystem, d.h. es erfüllt Einsteins Forderung der Forminvarianz.
Nun sind die Maxwell-Gleichungen ursprünglich für die Feldstärken definiert. Im Vakuum haben
wir 2 Vektorfelder � E und � B. Dies entspricht 6 Komponenten. Dies ist für einen Vierervektor zu viel und
für 2 Vierervektoren zu wenig.
Aber: Jede relle antisymmetrische (Fαβ = −Fβα) 4x4-Matrix besitzt genau 6 unabhängige Komponen-
✿✿✿✿✿
ten.
Vermutung: Die Feldstärkevektoren ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�E und � B lassen sich zu einem antisymmetrischen Tensor 2. Stufe
zusammenfassen. Doch wie findet man diesen Tensor?
Hinweis: Potential ↔ Feldstärke
✿✿✿✿✿✿✿✿
� E = − grad ϕ − ˙ �A � B = rot � A (Feldstärke = 1. Ableitung des Potentials)
Aus dem Viererpotential Aµ = ηµν ·A ν und der 4-dimensionalen Ableitung ∂
∂x ν läßt sich nur ein einziger,
einfacher antisymmetrischer Tensor konstruieren.
Hierbei ist Aµ = � − ϕ
Feldstärketensor: Fµν = c
c , A1, A2, A3
Fαβ ganz einfach ausrechnen:
F01 = c � � �
∂
∂ϕ =
F02 = − E2
∂x0 A1 − ∂
∂x1 A0
F03 = − E3
�
= c
F12 = c � ∂
∂x 1 A2 − ∂
∂x 2 A1
F13 = − c B2
F23 = c B1
� und � ∂
∂x1 + ∂A1
∂t
�
rot � A
�
∂x µ
� ∂
∂x µ Aν − ∂
Aµ
∂xν �
(9.2)
� �
∂ = ∂x0 , . . . , ∂
∂x3 �
. Damit können wir den gesuchten Tensor
� = − E1
3
= c B3

102
Somit erhalten wir für den Feldstärketensor des elektromagnetischen Feldes:
⎛
0
⎜E1
(Fµν) = ⎜
⎝E2
−E1
0
−cB3
−E2
cB3
0
⎞
−E3
−cB2 ⎟
cB1 ⎠
E3 cB2 −cB1 0
Beziehungsweise für die kontravariante Komponente durch Heben der Indizes ergibt sich mit F αβ =
η αµ η βν Fµν:
⎛
0 E1 E2 E3
� αβ
F � ⎜−E1
= ⎜
⎝−E2
0
−cB3
cB3
0
−cB2 ⎟
cB1 ⎠
−E3 cB2 −cB1 0
Die Maxwell-Gleichungen als Differentialgleichung 1. Ordnung schreiben sich nun wie folgt:
inhomogenes System
zyklisches System
∂
∂x ν Fµν = µ0 · c · j µ
Dieses System ist äquivalent zur 3+1-dimensionalen Form.
µ = 0 :
✿✿✿✿✿✿
µ0 · c · j0 = ∂
F00
∂x0 0
����
⇒ µ0 · c 2 · ρ = div � E
⇔ div � D = ρ
µ = 1 :
✿✿✿✿✿✿
µ0 · c · j1 = ∂
F10
∂x0 ����
−E1
+ ∂
∂x
����
1 F01
E1
+ · · · + ∂
∂x
x0=ct+Maxw.-Rel.
=⇒ j1 = − ∂� D
∂t +
⇒ � j = − ∂� D
∂t + rot � H
α = 1, µ = 2, ν = 3 :
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
∂
F23
∂x1 ����
cB1
+ ∂
F31
∂x2 ����
cB2
α = 0, µ = 1, ν = 2 :
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
⇒ ∂B3
∂t +
�
rot � �
E3 = 0
+ ∂
∂x
����
3 F13
� ∂H3
∂x
−cB2
����
2 F02
E2
⎞
∂
∂xα Fµν + ∂
∂x µ Fνα + ∂
∂xν Fαµ = 0
+ ∂
∂x
∂H2
− 2 ∂x3 �
����
3 F03
E3
+ ∂
∂x3 F12 = 0
����
cB3
⇔ div � B = 0
+weitere Komp.
=⇒ rot � E = − ˙ � B
9.3 Transformationsgesetz und Invarianten
= − ∂D1
∂t +
�
rot � �
H
1
Physikalisch sind die (3+1)-dimensionale und die relativistische Formulierung der Elektrodynamik völlig
äquivalent. Wo ist nun der Vorteil der relativistischen Schreibweise?
(9.3)
Die wesentliche (neue) Information liefert das Transformationsgesetz des Feldstärketensors
F ′αβ = Ω α µ Ω β ν · F µν
mit Ω α µ als Lorentzmatrizen. Dieses Gesetz liefert Aussagen über Feldstärkemessungen in relativ zueinander
bewegten Inertialsystemen.
Σ : x µ , Fµν
v
−→ Σ ′ ′
µ
: x , F ′ µν
(9.4)

9.3 Transformationsgesetz und Invarianten 103
Das Transformationsgesetz vermittelt einen Zusammenhang zwischen � E, � B und � E ′ , � B ′ .
Vorteil: Es handelt sich um einen reinen algebraischen Zusammenhang (Matrizenmultiplikation).
✿✿✿✿✿✿✿
Speziell für die Lorentztransformation aus Abschnitt 9.1 mit β = vx
c :
⎛
0 E ′ 1 E ′ 2 E ′ 3
� ′αβ
F � ⎜
= ⎜−E
⎝
′ 1 0 cB ′ 3 −cB ′ 2
−E ′ 2 −cB ′ 3 0 cB ′ 1
−E ′ 3 cB ′ 2 −cB ′ ⎟
⎠
1 0
⎞
� � α
Ω µ =
Wenn wir dies nun komponentenweise ausrechnen, so ergibt sich:
F ′01 = E ′ 1 = Ω0 0 Ω1 0 F00 +Ω0 1 Ω1 0 F10 ���� + · · · = E1
����
0
Insgesamt erhalten wir nun:
E ′ 1 = E1
E1
E ′ 2 = (E2
1
− v1B3) · √
1−β2 E ′ 3 = (E3
1
+ v1B2) · √
1−β2 B ′ 1 = B1
⎛
⎜
⎝
B ′ 2 = � B2 + v1
√ 1
1−β2 − β
√
1−β2 0
√
1−β2 √ 1
1−β2 0
0
0
1
⎞
0
⎟
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
− β
c E3
B ′ 3 = � B3 − v1
c E2
� ·
� ·
√ 1
1−β2 √ 1
1−β2 Die Transformation mischt elektrische und magnetische Feldanteile. Dies bedeutet, daß die Spaltung des
elektromagnetischen Feldes in einen rein elektrischen und einen rein magnetischen Anteil nur in einem
Ruhesystem des Beobachters sinnvoll ist. Im allgemeinen bilden ”beide Feldarten” eine Einheit, die im
Feldstärketensor zum Ausdruck kommt.
Beispiel: Induktionsgesetz
✿✿✿✿✿✿✿✿
homogenes Magnetfeld: � B = − B �e3 daneben: � E = � 0
Messungen in Σ ′ , das sich relativ zu Σ mit �v ⇈ �e1 bewegt, ergeben nach (9.5):
E ′ 1 = 0, E ′ 2
(9.5)
Abb. 9.1: ruhendes � B bzgl. Σ,
Σ ′ bewegt sich relativ zu Σ
−v1B3 = √ = √ vB
1−β2 1−β2 , E ′ 3 = 0 B ′ 1 = 0, B ′ 2 = 0, B ′ B3
3 = √ = √−B 1−β2 1−β2 ⇒ senkrecht auf �e1 und �e3 existiert ein elektrisches Feld (E ′ 2 �= 0). Über einen Leiter ist der zugehörige
Induktionssprung abnehmbar, solange v �= 0.
Beispiel: bewegte Punktladung
✿✿✿✿✿✿✿✿
Die zwei Fälle, ob sich nun die Punktladung bewegt und der Beobachter ruht oder umgekehrt sind
äquivalent zueinander.
Zur Lösung transformiert man den Feldstärketensor mit dem Coulombfeld auf ein bewegtes System.
Es bleibt nun eine Frage: Existieren Größen des elektromagnetischen Feldes, die sich beim Übergang
zwischen Inertialsystem nicht ändern (Invarianten: I=I’)?
Man findet zwei skalare Größen (Basisinvarianten):
I1 = det � F αβ�
I2 = Fαβ F αβ
(9.6)

104
Jede analytische Funktion dieser Invarianten ist wieder eine Invariante. Eine explizite Rechnung für unser
Beispiel liefert:
det � Fαβ� = c2 � �2 �E B�
Fαβ · Fαβ = 2
� �
�H B� − �E D�
Die Invarianten werden für den Lagrange-Formalismus benötigt. Wir leiten nun die Maxwell-Gleichungen
aus dem Hamilton-Prinzip ab. Die Voraussetzung dafür ist, daß das zyklisches System erfüllt sei, was
damit äquivalent ist, daß A µ existiert.
W =
t2 �
t1
L dt x0 =ct
= 1
c
L = ε0
4 Fαβ Fαβ − j µ Aµ = L
�
L dx 0 L=��� LdV
=
�
Aµ ,
1
c
∂
Aµ
∂x µ
����
�
ε0
L . . . Lagrangefunktion
L . . . Lagrangedichte
L dx 0 dV = 1
c
�
L d 4 x
Nun variieren wir das Vektorpotential Aµ → Aµ + δAµ. Die Variierte δAµ sei auf dem
Rand des betrachteten Raum-Zeit-Gebiets gleich Null.
δL = ε0
4 δ � F αβ � β
Fαβ − j δAβ
δ � F αβ � � � αµ βν αµ βν
Fαβ = δ η η Fµν Fαβ = η η δ (Fµν Fαβ)
δ � F αβ � Prod.-R.
Fαβ = 2 η αµ η βν Fµν δFαβ = 2 F αβ δFαβ
δ � F αβ �
� αβ ∂
Fαβ = 2 F c δ
∂xα Aβ − ∂
�
αβ
Antisymmetrie von F
Aα = 4 c F
∂xβ αβ δ ∂Aβ
∂xα δ � F αβ � Tausch der Variation
Fαβ =
und part. Ableitung
∂
4 c Fαβ δAβ
∂xα Damit gehen wir jetzt in das Hamilton-Prinzip:
δW = 1
�
δL d
c
4 x = 1
� �
ε0c F
c
αβ ∂
∂xα δAβ − j β �
δAβ d 4 x
� �
part. Int. 1
δW =
−ε0c
an den Grenzen: δAβ=0 c
∂
∂xα Fαβ − j β
�
δAβ d 4 x ! = 0 | Variation: δAβ bel.
⇒ −ε0c ∂
∂x α Fαβ − j β = 0
− ∂ Antisymm. ∂
Fαβ =
∂xα ∂xα Fβα = 1
ε0c jβ Maxw.-Rel.
= µ0c j β
^= 4 Gleichungen zur Bestimmung der Potentiale A µ
αµ ∂
⇔ η
∂xα Fβµ
�
Pot. / Feldst. αµ ∂ ∂
= µ0c jβ ⇔ η c
∂xα ⇔
∂
∂xβ � �
∂
Aα − �Aβ = µ0 jβ
∂xα Lorentz-Konvention:
vgl. inhomog. Maxw.-Gl. (9.3)
∂xβ Aµ − ∂
Aβ
∂x µ
∂
∂x α Aα = 0
�Aβ = − µ0 jβ
�
= µ0c jβ
(9.7)

9.4 Doppler-Effekt und Aberration 105
9.4 Doppler-Effekt und Aberration
Wir betrachten eine ebene (harmonische) elektromagnetische Welle in einem homogenen Medium. In
3-dimensionaler Schreibweise gilt:
� E = � E(0) e iΦ ,
� B = � B(0) e iΦ
wobei � E (0) und � B (0) konstante komplexe Amplituden sind und die Phase Φ = Φ(�r, t) gegeben ist durch
Φ = � k�r − ωt
Denkt man sich die Felder in den Feldstärketensor eingesetzt, so erhält man die Darstellung:
Fµν = F (0)
µνe iΦ
mit F (0)
µν als konstante Matrix, d.h. unabhängig von den x α . Die Phase Φ charakterisiert dabei die Gebiete
der Verstärkung bzw. Auslöschung bei Interferenzen. Sie muß also eine Invariante unter Lorentztransformationen
sein, d.h. der numerische Wert von Φ (z.B. Φ = π
2 ) darf sich nicht ändern, obwohl sich das
”Ereignis” ändert (x µ → x ′µ ).
Formaler Beweis (als Einschub):
✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
det(Fµν) = Invariante = det(F ′ µν)
Wir berechnen nun beide Seiten explizit:
det(Fµν) = e 4iΦ �
det F (0)
det(F
�
µν Beachte: 4-dim. Matrizen !
′ µν) =
� ′
4iΦ
e det F ′ �
� ′
(0) 4iΦ
µν = e det Ω α µΩ β νF (0)
�
� ′
4iΦ
αβ = e det
Hierbei ist berücksichtigt, daß det(Ω α µ) = +1 gilt. Der Vergleich liefert dann Φ = Φ ′ bis auf Mehrdeutigkeiten
wegen der Periodizität der komplexen e-Funktion.
Die Invarianz der Phase kann äußerlich dadurch sichtbar gemacht werden, daß man den ”Wellenzahlvierervektor”
k µ einführt:
Dann ist offensichtlich:
Wellenzahlvierervektor: (k µ ) =
�
ω
c , k1,
� �
ω
k2, k3 =
c ,� �
k
Φ = ηµνk µ x ν = kµx µ = − ω
c x0 + � k�r = −ωt + � k�r
Die Invarianz der Phase ist offensichtlich, wenn man die Darstellung als Skalarprodukt berücksichtigt;
man verifiziert sie aber auch durch direkte Anwendung der Transformationsgesetze:
Φ ′ = k ′ ν x ′ν = Ω ν β x β Ω α
ν kα = δ α
β x β kα = x α kα = Φ
Im Vakuum ist der Wellenzahlvierervektor ein lichtartiger Vektor (”Nullvektor”), denn es gilt:
ηµν k µ k ν = −(k 0 ) 2 + �k 2 = kµk µ �
ω
�2 = − +
c
�k 2 = 4π 2
�
1 ν2
−
λ2 c2 �
= 0
Hierbei wurde im letzten Schritt die Dispersionsrelation (c = λν) für elektromagnetische Wellen verwendet.
Demzufolge:
kµk µ = 0 ⇔ (k µ ) ist Nullvektor !
Die quellfreien Maxwell-Gleichungen werden einfach zu algebraischen Bedingungen, wenn man die ebenen
Wellen einsetzt und differenziert:
F (0)
µν k ν = 0, kα F (0)
µν + kµ F (0)
να + kν F (0)
αµ = 0
Aus der Transformationsregel des Wellenzahlvierervektors
F (0)
αβ
�
(9.8)

106
k ′ν = Ω ν µk µ
ergeben sich zwei wichtige Beziehungen, die wir nun herleiten wollen. Dazu betrachten wir eine Welle, die
sich parallel zur (x,y)-Ebene ausbreitet (kz = 0). Der Wellenzahlvektor �k schließe mit der x-Achse den
Winkel θ ein. Der Betrag ist wie üblich | �k| = 2π
λ . Der Wellenzahlvierervektor hat dann die Komponenten:
(k µ � �
ω 2π 2π
) = , cos(θ), sin(θ), 0
c λ λ
Wir betrachten nun den Übergang in ein bewegtes Bezugssystem Σ → Σ ′ . Die Bestimmungsgrößen der
Welle in Σ, d.h. ω, λ, θ gehen in Σ ′ in die neuen Größen ω ′ , λ ′ , θ ′ über. Für den Wellenzahlvierervektor
in Σ ′ erwarten wir eine entsprechende Form:
(k ′µ � ′ ω 2π
) = ,
c λ ′ cos(θ ′ ), 2π
λ ′ sin(θ ′ ), k ′ �
z
Wertet man das Transformationsgesetz explizit mit der speziellen Lorentztransformation (Bewegung ent-
lang der x-Achse , β = vx
c ):
aus, so ergibt sich:
(k ′µ ) =
� ω
c
⎛
Ω ν ⎜
µ = ⎜
⎝
2π − λ
√ 1
1−β2 √−β 1−β2 β cos(θ)
� ,
1 − β2 √−β 0 0
1−β2 √ 1 0 0
1−β2 0 0 1 0
0 0 0 1
2π
λ
(9.9)
⎞
⎟
⎠
ωβ
cos(θ) − c � ,
1 − β2 2π
�
sin(θ), 0
λ
Der Vergleich beider Formen von k ′µ zeigt, daß sich wegen k ′ z = 0 auch im System Σ ′ die Welle parallel
zur (x’,y’)-Ebene ausbreitet. Für die restlichen Vektorkomponenten liefert der Vergleich:
ω ′ = ω
1 − β cos(θ)
� ,
1 − β2 sin(θ ′ )
λ ′
sin(θ)
= ,
λ
cos(θ ′ )
λ ′
= cos(θ) − β
λ � 1 − β2 Seien nun die ursprünglichen Koordinaten (Σ) das Ruhesystem einer Lichtquelle, welches die betrachtete
Welle ausstrahlt. Dann ist ω ′ − ω die Frequenzänderung als Folge der Relativbewegung der Inertialsy-
steme. Die Beziehung:
ω ′ = ω
1 − β cos(θ)
� 1 − β 2
ist für Anwendungen allerdings unzweckmäßig, da für den in Σ ′ messenden (mitbewegten) Beobachter
der Winkel θ aus dem Ruhesystem Σ eingeht. Benötigt wird die Funktion θ = θ(θ ′ ), die man aus der
”Invarianz” der Lichtgeschwindigkeit erhält:
Einsetzen der transformierten Ausdrücke liefert:
ω ′ λ ′ = ωλ (1 − β cos(θ)) cos(θ ′ )
cos(θ) − β
D.h. die gesuchte Funktion θ = θ(θ ′ ) ergibt sich zu:
c = c ′ = Invariante ⇔ ωλ = ω ′ λ ′
⇒ cos(θ) − β = (1 − β cos(θ)) cos(θ ′ )
cos(θ) = β + cos(θ ′ )
1 + β cos(θ ′ )
Einsetzen in den Ausdruck für die Frequenzverschiebung liefert letztlich als relativistischen Ausdruck für
den Doppler-Effekt:
Doppler-Effekt: ω ′ = ω
� 1 − β 2
1 + β cos(θ ′ )
(9.10)

9.4 Doppler-Effekt und Aberration 107
Spezialfälle:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. θ ′ = 0, longitudinaler Doppler-Effekt
ω ′ = ω
Abb. 9.2: Longitudinaler Doppler-Effekt
�
1 − β
1 + β
(9.11)
Die Welle bewegt sich hierbei parallel bzw. antiparallel zur Bewegungsrichtung der Relativgeschwindigkeit
zwischen Σ und Σ ′ .
2. θ ′ = π
2 , transversaler Doppler-Effekt
ω ′ = ω � 1 − β 2 (9.12)
Abb. 9.3: Transversaler Doppler-Effekt
D.h. auch bei senkrechter Relativbewegung (!) ergibt sich eine Frequenzänderung, die allerdings
quadratisch in β ist. Dieser sogenannte ”quadratische” Doppler-Effekt ist eine wichtige relativistische
Aussage, die klassisch nicht verständlich ist! Der Effekt ist (erst) 1938 durch Ives und Stilwell
und 1939 durch Otting mit Hilfe von Kanalstrahlen experimentell nachgewiesen worden.
Die hier abgeleiteten Beziehungen gestatten die Erklärung eines Effektes der Astronomie - der Aberration
des Lichts.
Unter der Aberration versteht man die scheinbare Ortsveränderung der Gestirne als Folge der
Eigenbewegung der Erde und der Endlichkeit der Vakuumlichtgeschwindigkeit.
Man unterscheidet drei Fälle:
a) tägliche Aberration:
Rotation der Erde um ihre Achse
b) jährliche Aberration:
Bewegung der Erde auf der Bahn um die Sonne
c) säkulare Aberration:
Bewegung des Sonnensystems innerhalb unserer Galaxie (dieser Fall ist praktisch unbedeutend)
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Qualitativ:
Wir untersuchen hier die jährliche Aberration, für welche die Bahnbewegung der Erde um die Sonne
den dominanten Effekt liefert. Ausgangspunkt ist die Beziehung zwischen θ und θ ′ , die zuvor abgeleitet
wurde.

108
Aberrationsgleichung: cos(θ ′ ) =
cos(θ) − β
1 − β cos(θ)
(9.13)
Sei speziell θ = π
2 , d.h. cos(θ ′ ) = −β. Innerhalb eines Halbjahres ändert sich die Bahngeschwindigkeit
um ∆v ≈ 60km/s (Richtung !) und damit variiert β um ∆β ≈ 2 · 10 −4 . Im Sinne der Fehlerrechnung
liefert diese Schwankung eine Variation im Beobachtungswinkel θ ′ von der Größe
∆θ ′ =
∆β
� 1 − β 2 ,
was ∆θ ′ ≈ 41 ′′ scheinbare Schwankung pro Jahr liefert, einen Wert, der schon 1727 durch Bradley
beobachtet wurde.

STICHWORTVERZEICHNIS 109
Stichwortverzeichnis
δ-Funktion, 8, 24
δ-Tensor, 7
∆·, 3, 9
∝, 3
∼, 3
ε-Symbol, 8
ε-Tensor, 8
∗ , 3
Aberration, 107
jährlich, 107
säkulare, 107
täglich, 107
Aberrationsgleichung, 108
Abschneideradius, 28
Äquipotentialfläche, 22
Ampère, Definition, 57
Ampère’sches Verkettungsgesetz, 10
Auflösungsvermögen, 98
Basisinvarianten, 103
Bessel’sche Differentialgleichung
speziell, 65
allgemein, 65
Lösung, 65
Beugung, 91
Beugungstheorie, skalare, 93
Bilanzgleichung
allgemein, 12
Energie, 14
Impuls, 19
Biot-Savart’sches Gesetz für dünne Leiter, 48
Brechung, 88
Brechungsgesetz, 90
Brechungsindex, 81
Coulomb
-Eichung, 45
-Feld, 21
-Gesetz, 21
-Kraft, 21
-Potential, 23, 25
D’Alembert-Operator, 68
Dipol
-modell, 33
-moment, 32, 33
elektrisch, 31
magnetisch, 51
Punkt-, 34
Strahlungswiderstand, 78
Dirac-Funktion, 8, 24
Dispersionsrelation, 84
Divergenz, 9
Doppler-Effekt, 105
transversal, 107
allgemein, 106
longitudinal, 107
quadratisch, 107
Drehmoment auf einen Dipol, 35, 54
Eichtransformation, 46
Eindringtiefe, 66, 91
Einstein’sche Summenkonvention, 7
elektrische Spannung, 22
Elektronenradius, klassisch, 28
Elektrostatik, 21
Energie
beliebige Ladungsverteilung, 28
Coulomb-Feld, 27
elektrische Selbst-, 29
elektrostatisches Feld, 27
Ladungsverteilung in einem äußeren Feld,
29
magnetische Selbst-, 50
von Stromverteilungen, 49
Wechselwirkungs-, 30, 34, 50, 54
Energiedichte
elektrisch, 14
magnetisch, 14
Energiestromdichte, 14, 76, 86
-Vektor, 15
Erhaltungssatz der Schwierigkeit, 24
Feldstärketensor, 101, 102
Transformationsgesetz, 102
Flächenladungsdichte, 37
Fluß, mittlerer magnetischer, 61
Fraunhofer’sche Beugung, 95
Bedingung, 95
Fundamentaltensor, 99
Gradient, 9
Green’sche Funktion, 23, 24
avancierte, 70
retardierte, 70
Green’scher Satz, 43
Gruppengeschwindigkeit, 85
Hamilton-Prinzip, 104
Hertz’scher Dipol, 72
Huygen’sches Prinzip, 83, 91
Kirchhoff’sche Formulierung, 94
Impuls
-dichte, 18
mechanisch, 19
Feld-, 19
Induktionsgesetz, 10
Induktionsvorgänge in Leitern, 59
instantan, 58
Integralsatz
Gauß, 7
Stokes, 7
Intensität, 86, 92
Invarianten des elektromagnetischen Feldes, 103
Joule’sche Wärme, 14

110
Kapazität
energetische Definition, 43
formale Definition, 41
Kirchhoff’sche
Formel, 94
Näherung, 93
Knotenregel, 13
Koeffizienten der Gegeninduktion, 60
Koeffizienten der Selbstinduktion, 60
Kondensator, 41
Kontinuitätsgleichung, 12, 44, 100
Kräfte von Magnetfeldern auf Ströme, 55
Kraft auf einen Dipol, 34, 54
Kraftdichte, 11
Kronecker
-Delta, 7
-Symbol, 7
Lösung, Poisson-Gleichung, 26
Ladungserhaltung, 12
Laplace-Gleichung
elektrisch, 23
magnetisch, 46
Laplace-Operator, 9
Leiter, Eigenschaften, 36
Leiter, im elektrostatischen Feld, 36
Levi-Civita-Symbol, 8
lichtartiger Vektor, 105
Linienstrom, 47
Lorentz
-Konvention, 68, 101
-Konvention, relativistisch, 104
-matrizen, 102
-transformation, 99
Kraft auf eine Punktladung, 56
Kraftdichte, 56
Magnetfeld stationärer Ströme, 44
magnetische Monopole, 54
Magnetischer Fluß, 10
magnetisches Moment, 49
Materialgleichungen, 10
Maxwell’scher Spannungstensor, 18
Maxwell-Gleichungen, 10
im ”eigentlichen Sinne”, 11
relativistisch, 102
Maxwell-Relation, 19
Methode dünner Drähte, 60
Methode der Green’schen Funktion, 23
Minimaleigenschaft der elektrostatischen Energie,
39
Multipole, elektrisch, 30
Nabla-Oparator, 9
Nichtexistenz magnetischer Monopole, 54
Nullvektor, 105
Ohm’scher Widerstand, 63
Paradoxon, 16
Phasengeschwindigkeit, 84
Photonenmodell des Lichts, 89
Plattenkondensator, 41
Poisson-Gleichung
elektrisch, 23
magnetisch, 45
Polarisation, 86
Potential
elektrodynamisch, 68
retardiert, 72
einfaches Dipolmodell, 33
elektrischer Quadrupol, 36
Liénhard-Wichert, 78
retardiert, 69
retardiertes von Liénhard-Wiechert, 79
skalares, 22
Poynting-Vektor, 14, 15, 86
Quadrupol
-modell, 36
-moment, 35
elektrisch, 35
Randbedingung
Dirichlet’sche, 38
Gemischte, 38
Neumann’sche, 38
Reflexion, 88
Reflexionsgesetz, 90
Relativistische Elektrodynamik, 99
Retardierung, 58
Reziprozitäts-Satz, 94
Rotation, 9
Schwerpunktsatz, 20
Schwingungsdifferentialgleichung, 63
Selbstenergieproblem, 28
Shift, 24
Skineffekt, 66
Spannung, elektrische, 22
spezifische Ladung, 56
statisch, 21
Strahlungsdruck, 18
Strahlungswiderstand des Dipols, 78
Superpositionsprinzip der Lösungen, 12
Tensor, 99
-divergenz, 56
des Quadrupolmoments, 35
Torus-Spule, 62
Totalreflexion, 90
Transformationsgesetz, 99, 100
Feldstärketensor, 102
Wellenzahlvierervektors, 106
Übergangsbedingung, 89
Ultraviolett-Katastrophe, 78
Vektorfelder, 7
Vektorpotential, 45
Viererpotential, 101
Viererstromvektor, 100
Warum ist der Himmel blau?, 78

STICHWORTVERZEICHNIS 111
Welle
allgemeine ebene, 82
ebene harmonische, 83
Intensität, 86
Kugel-, 83
transversale, 85
Wellenoperator, 68, 70, 101
Wellenzahlvektor, 96
Wellenzahlvierervektor, 105
Wellenzone, 76
Zusammenhang Kapazität und Energie, 42