Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes 19
fk = − ∂πk
∂t
+ ∂
∂xm
Tkm ⇔ � f = − ∂�π
∂t + div ^T (3.4)
Wir wollen jetzt nur noch eine Erklärung dafür finden, warum das Minuszeichen in der Impulsbilanz
nicht mit in die Definition der Impulsdichte hineingenommen wird. Zur Erläuterung betrachten wir eine
Punktladung unter dem Einfluß elektromagnetischer Felder.
d
dt pmech k =
���
Fk = fk dV
(3.3)
=
V
���
∂
−
∂t
V
πk
Gauß
=
dV +
���
d
− πk dV
dt
���
∂
∂xm
V
V
� �� �
pfeld +
��
◦ Tkm dAm
∂V
� �� �
=
k
−
Am=nm A
d
dt pfeld k +
��
◦ Tkm nm dA
��
◦ Tkm nm dA =
d
dt
� mech
pk ∂V
+ p feld�
k
∂V
Tkm dV
Wir betrachten nun ein abgeschlossenes System. Dies wird realisiert, indem wir den Rand des Volumens
∂V in ein vom Feld abgeschirmtes Gebiet (oder evtl. sogar ins Unendliche) legen.
Daraus ergibt sich:
� p mech
k
Tkm = 0
+ p feld�
k = 0
d
dt
Da die totale Zeitableitung der Summe der Impulse gleich Null ist, stellt diese Summe eine Erhaltungsgröße
dar! Der Feldimpuls ist dem mechanischen Impuls völlig gleichgestellt. D.h. der Gesamtimpuls
(die Summe!) ist erhalten !
Aufgrund des Minuszeichens erhalten wir jetzt unter der Ableitung eine Summe, die ohne das Minuszeichens
eine Differenz wäre.
Zusammenhang zwischen Energiestromdichte und Impulsdichte: (im Vakuum)
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�D = ε0 � E;
� B = µ0 � H
�π = � D × � B = ε0 µ0 � E × � H
�π = � D × � B = ε0 µ0 � S
An dieser Stelle verwenden wir die Maxwell-Relation :