Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald
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56<br />
δWmag =<br />
δWmag =<br />
δWmag<br />
�<br />
�<br />
Ai εikl εlmn<br />
εikl εlmn Ai<br />
Prod.-Reg.<br />
=<br />
�<br />
� ∂<br />
∂xk �<br />
∂<br />
∂xk<br />
∂<br />
jm<br />
jm<br />
�<br />
δxn dV<br />
�<br />
δxn dV<br />
(Ai jm) δxn dV<br />
εikl εlmn<br />
�<br />
∂xk<br />
��<br />
Integral 1<br />
�<br />
−<br />
�<br />
εikl εlmn jm<br />
Wir betrachten zunächst das Integral 1:<br />
� �<br />
∂<br />
∂<br />
(εikl εlmn Ai jm) δxn dV = δxn Tkn<br />
∂xk � �� �<br />
∂xk � �� �<br />
Tkn<br />
Tensordivergenz<br />
� �<br />
∂Ai<br />
δxn dV<br />
∂xk<br />
dV Gauß<br />
⇒<br />
��<br />
◦Tkn dFn → 0<br />
Daraus ergibt sich für unsere Änderung der magnetischen Feldenergie:<br />
δWmag =<br />
=<br />
=<br />
�<br />
� �<br />
∂Ai<br />
− εikl εlmn jm δxn dV<br />
� �� � ∂xk<br />
l,n vertauschen<br />
�<br />
� �<br />
∂Ai<br />
εnml jm εikl<br />
δxn dV<br />
���� ∂xk<br />
i,l vertauschen<br />
�<br />
∂Ai<br />
− εnml jm εlki δxn dV<br />
∂xk � �� �<br />
| Antisymmetrie von ε<br />
= −<br />
= −<br />
Skalar-Prod.<br />
= −<br />
Wegen der obigen Energiebilanz:<br />
�<br />
(rot � A) l =Bl<br />
εnml jm Bl δxn dV<br />
� �� �<br />
( � j× � B) n<br />
� ��j �<br />
× B�<br />
n δxn dV<br />
� ��j<br />
× B� a �<br />
· δ�r dV<br />
✿✿✿✿✿✿✿✿<br />
δWmag = − � F δ�r Kraftdichte<br />
= −<br />
�<br />
�<br />
�f dV δ�r = − �f δ�r dV<br />
Der Vergleich der beiden markierten Ausdrücke liefert (da δ�r bel.):<br />
Beispiele für Kraftdichten:<br />
✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />
1. bewegte Punktladung<br />
Lorentz-Kraftdichte:<br />
� f = � j × � B a<br />
(5.12)<br />
�j = ρel(�r, t) �v (Konvektionsstrom)<br />
Für eine Punktladung gilt: ρel = Q δ(�r −�rQ(t)) �rQ(t) . . . aktueller Ort der<br />
Punktladung<br />
�j = Q �vQ δ(�r −�rQ(t))<br />
� �<br />
�vQ(t) . . . aktuelle Geschwindigkeit der Punktladung<br />
�F = �f dV =<br />
�<br />
�j × B(�r) � dV<br />
�F = Q �vQ × δ(�r −�rQ) � B(�r) dV<br />
� F δ−Fkt.<br />
= Q �vQ × � B(�rQ) Lorentz-Kraft auf eine Punktladung Mit dem 2. Newton’schen Axiom<br />
� F = m ¨ �r erhalten wir noch eine wichtige physikalische Meßgröße: Die spezifische Ladung.<br />
¨�r =<br />
Q<br />
�v ×<br />
���� m<br />
spezifische Ladung<br />
� B
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