Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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an und erhalten somit:
Wm = 1
2
�
�A rot � � ��H� dV +
�j 1
Wm =
� � �
div �A × H�
2
� ��
Gauß
dV
�
1
2
�
��
�j A� 1
� �
dV + ◦ �A × H�
d
2
�F ∂V
Wir legen unseren Rand ∂V wieder weit außerhalb der (lokalisierten) Ladungsverteilung. Somit liegen die
folgenden Tendenzen vor:
�A ∼ 1
r , H� 1
∼ , ∂V ∼ r2
r2 Damit verschwindet das geschlossene Oberflächenintegral, da wir mit r gegen unendlich gehen. Der Ausdruck
für die magnetische Feldenergie reduziert sich zu:
Wm = 1
2
���
�j(�r) A(�r) � dV (5.8)
R 3
An dieser Stelle setzen wir die allgemeine Lösung des Vektorpotentials (5.4) ein und erhalten einen
Ausdruck für die Energie des magnetischen Feldes.
Wm = µ
8π
��� ���
R 3
R 3
� j(�r) � j(�r ′ )
| �r −�r ′ | dV ′ dV
Wir können auch diese magnetische Energie als ”Selbstenergie” interpretieren. Diese beiden Gleichungen
sind mit den Gleichungen der Elektrostatik völlig identisch (vgl. (4.10)).
5.3.2 Energie einer Stromverteilung im äußeren Feld � B a
Wir setzen hier in analoger Weise wie in der Elektrostatik voraus, daß die Stromverteilung ”eingefroren”
ist, also nicht von � Ba beeinflußt wird.
Wm = 1
� ��H
+ � a
H
2
� � B � + B� a �
dV
Wm = 1
�
�H
2
� B dV + 1
�
�H
2
a�
�
a 1
��H �
B dV + B� a
+ H� a� B dV
2
1. Term Selbstenergie der Ladungsverteilung
2. Term Selbstenergie des äußeren Feldes
3. Term Wechselwirkungsenergie der Stromverteilung im äußeren Feld
Wechselwirkungsenergie:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
W WW
m = 1
� ��H �
B� a
+ H� a� B
�2
= �H rot � A a dV
W WW
m
W WW
m
W WW
m
= �.
. . Rechnung wie in Abs. 5.3.1
= �j(�r) A� a
dV
R 3
Im Spezialfall dünner Leiter (Biot-Savart):
�j(�r) dV =| �j | · | d�F | d�r
W WW
�
m = | �j | · | d�F |
� ��
I
�
�
Leiter
�A a d�r
dV festes
�
= �H
Medium µ
� B a dV