Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Wir betrachten jetzt wieder � E und � B:
� E = − grad ϕ − ∂ � A
∂t
Wir verwenden nun die folgende Hilfsformel (Kettenregel):
∂t ′
∂t =
Man findet nun nach einiger Rechnerei:
� E = q
4πε
c
(�r�v − rc) 2
�B = − √ εµ � E × �r
r
⎧
⎨
⎩ − ˙ �v
c
1
1 − �r�v
rc
r +
Wir betrachten nun ein paar Grenzfälle:
grad t ′ = − �r
rc
�B = rot � A
1
1 − �r�v
rc
�
�r − �v
cr � �
· �v 2 − c2 − r˙ �⎫�
�v ⎬�
�
�
�r�v − cr ⎭�
mit ˙ �v = d
dt ′�v
• �v = � 0, ˙ �v = � 0
Dies liefert das Coulombfeld und � B verschwindet.
� t ′ =t− r(t ′ )
c
• �v �= � 0, ˙ �v = � 0
Diesen Anteil erhält man auch, wenn man ausgehend vom Coulombfeld eine Lorentztransformation
ausführt. Es kommt hier zu keiner ”Abstrahlung”.
• �v �= �0, ˙ �v �= �0 Erzeugung und Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.
Nun interessiert uns noch die Abstrahlung. Dafür ist �
�S d�F wesentlich für weit entfernte Oberflächen.
Wir diskutieren das asympotische Verhalten der Felder:
1. �v ˙ = �0, gleichförmig bewegte Punktladung (Index ”gl”)
�Egl = q 1
4πε r2 c(�v 2 − c2 � �
) �r �v
� � − ∼ 3
�r�v r c
r − c
� �� �
1
r2 | � Hgl| ∼ 1
r 2
Wir wählen: F = S 2 ∼ r 2
�
⇒ �S dA� 1
∼
r2 nur von ∢(�v, �r
r ) und |�v| abhängig
(gleiches Verhalten bis auf die Richtung)
1
r2 r2 ∼ 1
r2 F
r→∞
→ 0 ⇒ kein Energiestrom durch entfernte Oberfläche
Eine gleichförmig bewegte Punktladung strahlt nicht!
2. �v ˙ �= �0, beschleunigte Punktladung
�E − �Egl = − q
�
1 c ˙�v
� � �
�r�v
�r
� � − c +
4πε r
3
�r�v c r r
r − c
˙ � � �
�r �v
�v · −
r c
�
� �� �
| � H − � Hgl| ∼ 1
r
�
⇒ �S dA� 1
∼
r
abhängig von Winkeln, |�v|, | ˙ �v|
1
r r2 ∼ 1 verschwindet nicht für r → ∞
In der Tat wird Leistung (in Form von Wellen) in den Raum abgestrahlt. Die Abschätzung ist zwar
grob, aber eine genaue Rechnung liefert dasselbe.
Resultat:
Eine beschleunigt bewegte Punktladung strahlt elektromagnetische Wellen ab! ⇒ Die
klassischen Atommodelle sind instabil!
∼ 1
r