Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Für die beiden ersten Integrale (12) können wir die Methode dünner Drähte anwenden:
� �
�j dV → I(t) d�r →
Damit � �ergibt
sich z.B.
µ
. . . dV dV
4π
′ = µ
4π I1(t)
� �
d�r d�r
I2(t)
′
| �r −�r ′ | = L12 I1(t) I2(t), wobei
1 2
1 2
Koeff. der Gegeninduktion: L12 = µ
4π
V
� �
d�r d�r ′
| �r −�r ′ |
L12 ist (abgesehen von µ) eine rein geometrische Größe (Form der Leiterschleife und deren gegenseitiger
Lage). Analog können wir (21) berechnen:
� �
µ
. . . dV dV
4π
′ = µ
4π I2(t)
� �
d�r d�r
I1(t)
′
| �r −�r ′ | = L21 I2(t) I1(t)
2 1
Hierbei gilt offensichtlich:
2 1
L12 = L21
Für die beiden restlichen Integrale ( � �
, � �
) ist die Näherung dünner Drähte nicht praktikabel.
1 1
2 2
1 2
→ führt auf divergente Integralausdrücke
⇒ die Volumenintegration muß vollständig ausgeführt werden
Wir definieren jetzt folgende Größen:
L11 = µ
4π I 2 1
L22 = µ
4π I 2 2
� �
1 1
� �
2 2
� j1(�r, t) � j1(�r ′ , t)
| �r −�r ′ |
� j2(�r, t) � j2(�r ′ , t)
| �r −�r ′ |
dV dV ′
dV dV ′
Somit erhalten wir für die Feldenergie:
Wmag(t) = 1
2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
Koeffizienten der Selbstinduktion
�
L11 I 2 1 + 2 L12 I1 I2 + L22 I 2� 2
Wenn wir diese Gleichung für N Leiter verallgemeinern, ergibt dies:
Wmag(t) = 1
2
N�
N�
k=1 l=1
Lkl Ik Il
Die Lkl sind wie folgt festgelegt:
l �= k ⇒ Llk ≡ µ
4π
� �
d�r d�r
l k
′
| �r −�r ′ |
l = k ⇒ Lll ≡ µ
4πI2 � �
�jl(�r, t)
l
�jl(�r ′ , t)
| �r −�r ′ |
l l
mit Lkl = Llk
dV dV ′
Da Wmag ≥ 0, sind die Koeffizienten von Lkl > 0 (pos. definit). Bei der Wahl des Umlaufsinns in � �
. . .
ist dies zu berücksichtigen.
(6.2)
l k