Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Für elektromagnetische Wellen machen wir den folgenden Ansatz zur Lösung:
( � k�r − ωt) . . . Phase der Welle
� E0, � B0 . . . komplexe Amplituden
� k . . . Wellenzahlvektor
� E(�r, t) = � E0 e i(� k�r−ωt) � B(�r, t) = � B0 e i(� k�r−ωt)
| � k| = 2π
λ
Jetzt noch ein paar Bemerkungen zum Rechnen mit komplexen Funktionen:
�n = � k
| � k|
• ist möglich bei linearen Gleichungen mit reellen Koeffizienten (erfüllt durch �U = 0)
• große ”technische” Erleichterungen beim Rechnen
• Sobald man nichtlinerare physikalische Größen (ωel, � S. . . ) bildet, muß vorher der Realteil der
Felder berechnet werden. Erst dann kann man die nichtlinearen Größen berechnen!
Nun gehen wir mit unseren Ansätzen in die harmonische Wellengleichung:
�� �
1
E =
v2 ∂2 �
− ∆· �E0 e
∂t2 i(� �
k�r−ωt)
= � 2 ω
k − 2
v2 �
� E0 e i(� k�r−ωt) ! = 0 | � E0 �= 0, e iϕ �= 0
Dispersionsrelation: ω 2 ( � k) = v 2 � k 2
Die konkrete Wellengleichung erzwingt einen Zusammenhang von ω und � k. Für andere Wellen bzw.
Wellengleichungen gelten natürlich andere Dispersionsrelationen. Die folgende Gleichung, die eigentlich
schon jeder für ”Wellen” kennt, gilt nur für elektromagnetische Wellen !
→ ω = vk ⇒ k = 2π
, ω = 2π ν ⇒ v = λ · ν
λ
Diskussion der Lösung: e ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
i(�k�r−ωt) i = e �k�r −iωt e
◮ Zeitabhängigkeit: e −iωt , zeitliche Periode: T = 2π
ω
◮ Ortsabhängikeit: e i� k�r , räumliche Periode: λ = 2π
k
Ändert man �r in Richtung von � k um λ, so ändert sich � k�r um 2π, d.h., e i� k�r ändert sich nicht.
◮ Die Felder � E, � B der harmonischen Welle sind für alle �r, t konstant, für die die Phase � k�r − ωt eine
Konstante ist.
� k�r − ωt = const. → betrachten Momentaufnahme zur Zeit t=const.
(8.6)
� k�r = const. ⇔ definiert die Phasenfläche (=Ebene im Raum)
Die Phasengeschwindigkeit schreitet mit v = ω
k
voran.
� E ∼ e i( � k�r−ωt) = e ik
Phasengeschwindigkeit: vPh = ω
k
�
�k
�r− ω
k k t
�
= e ik(�n�r−vt)