Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

6.1 Induktionsvorgänge in Leitern 61
Typisch für die Energie ist die Struktur der quadratischen Form. Am Beispiel einer einzelnen Spule ergibt
sich:
Wmag = 1
L I2
2
In diesem Fall werden die Indizes auch weggelassen, da man ja nur eine einzige Spule (Leiter) hat.
Induktionsvorgänge:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Nach der Maxwell-Theorie haben zeitlich veränderliche Magnetfelder aufgrund von
rot � E = − ˙ � B ein elektrisches Wirbelfeld zur Folge bzw. über Uind = � � E d�r eine induzierte Spannung.
Wir betrachten im folgenden insbesondere die wechselseitige Induktion zweier stromdurchflossener Leiterschleifen.
U ind
1
U ind
1
�
= �
d
E d�r = −
dt
�
�B d
1
1
�F = − d
dt
�
�B1 d�F − d
dt
�
�B2 d�F = U ind
11
1
1
+ U ind
12
Die Induktionsspannung besteht aus 2 Anteilen. Durch zeitliche Änderungen von � B2 und des Eigenfeldes
�B1.
1. Berechnung der Gegeninduktion U ind
12
�
1
�
�B2 d � F Vekt.-Pot.
=
�B2 d � F (5.4)
=
�1
�B2 d�F �1
1
�
1
�
1
µ
4π
dünne Leiter
=
rot � A2 d�F Stokes
=
�
�j2(�r2, t)
dV d�r1
| �r1 −�r2 |
2
µ
4π I2(t)
� �
d�r1 d�r2
| �r1 −�r2 |
1 2
→ Methode des ”dünnen Drahtes”
�
�A2 d�r1
1
�B2 d � F (6.2)
= L12 I2(t) = Φ12 Φ12 . . . mag. Fluß von Leiter 2 auf 1
⇒ U ind
12 = − d
dt (L12 I2(t))
starre Geometrie
⇒ U ind
12 = − L12 ˙ I2(t)
2. Berechnung der Selbstinduktionsspannung Uind 11
�
Φ11 = �B1 d� �
F = rot � A1 d�F Stokes
�
= �A1 d�r1
1
1
1
�r1 ^= �r
Die Näherung dünner Drähte führt auf divergente Integrale. Es ist sinnvoll, einen mittleren magnetischen
Fluß Φ11 einzuführen. Als Gewichtungsfunktion verwenden wir die Stromdichte:
�
Φ11
1
Φ11 =
�j d�F �
�
�j d�F ⇔ I1 Φ11 = Φ11 �j d�F 1
I1 Φ11 =
�� �
�A1(�r
1
′ ) d�r ′ �j(�r, t) d�F � �� �
1
Φ11
1