Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

8.2 Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen 89
Annahme zur Lösung des Randwertproblems (durch experimentelle Befunde nahe gelegt!):
bestehen aus:
�
Die Lösungen
in (1):
- einfallende Welle
- reflektierte Welle
in (2): - gebrochene Welle
Falls die Grenzfläche keine Ebene ist, muß man für die reflektierte und gebrochene Welle komplizierte
Überlagerungen aus ebenen Wellen ansetzen.
⎫
⎪⎬
jeweils unterschiedliche Amplituden, Wellenzahlvektoren
und Frequenzen
einfallende Welle: � E = � A e i( � k�r−ωt)
reflektierte Welle: � E ′ = � A ′ e i( � k ′ �r−ω ′ t)
gebrochene Welle: � E ′′ = � A ′′ e i(� k ′′ �r−ω ′′ t)
Übergangsbedingung:
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⎪⎭
Die Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes ( � ET ) beim Übergang zwischen zwei
Dielektrika hat zur Folge:
� ET + � E ′ T = � E ′′
T bei z = 0, ∀ t, x, y
Wir betrachten zunächst den Punkt x=0, y=0 (also �r = � 0):
Insbesondere für t=0:
�AT e −iωt + � A ′ T e −iω ′ t = � A ′′
T e −iω ′′ t
� AT + � A ′ T = � A ′′
T
Jetzt differenzieren wir (8.7) nach t an der Stelle t=0: ω � AT + ω ′� A ′ T = ω ′′� A ′′
T
Bei nochmaliger Differentiation erhalten wir: ω 2� AT + ω ′2� A ′ T = ω ′′2� A ′′
T
Durch Elimination von � AT , � A ′ T und � A ′′
T
ω ω ′ ω ′′
ω 2 ω ′2 ω ′′2
�A ′′
T
führt dies zu:
ω = ω ′ = ω ′′
(8.8)
∀ t (8.7)
Eine andere Variante, um zu diesem Ergebnis zu kommen, ist:
⎛
1
⎝
1 1
⎞ ⎛
�AT
⎠ ⎜
· ⎝�A
′ ⎞ ⎛ ⎞
0
⎟
T ⎠ = ⎝0⎠
0
⇒
Homogenes Gleichungssystem, dessen Lösung
bei det()=0 zu finden ist!
det(. . . ) = ω ′2 (ω ′′ − ω) + ω 2 (ω ′ − ω ′′ ) + ω ′′2 (ω − ω ′ ) ! = 0 → vgl. oben
Frequenzen ändern sich beim Übergang zwischen Nichtleitern nicht.
Physikalisch: Photonenmodell des Lichts
EPhoton = ¯h ω ∼ ω ist an der Grenzfläche erhalten
Da ω = ω ′ = ω ′′ , ist eine Abspaltung der Zeitabhängigkeit in der Wellenfunktion möglich (Fall t=0;
x,y�=0):
Übergangsbedingung:
� AT e i(kxx+kyy) + � A ′ T
′ ′
ei(k xx+k yy) = � A ′′
T
′′ ′′
ei(k x x+k y y)
Wir gehen jetzt analog wie oben vor, differenzieren jetzt aber nach x und y an der Stelle x=y=0. Dies
ergibt ein Gleichungssystem, dessen Lösung wie folgt aussieht:
kx = k ′ x = k ′′
x
ky = k ′ y = k ′′
y
�
Alle 3 Vektoren � k, � k ′ und � k ′′ liegen in
einer Ebene.
(8.9)