Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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3 Die Maxwell’schen Gleichungen
1 div � B = 0 Nichtexistenz der magnetischen Ladung
2 div � D = ρel elektrische Ladung = Quellen des � D-Feldes
3 rot � E = − ˙ � B Induktionsgesetz
4 rot � H = � j + ˙ � D Ampèresches Verkettungsgesetz
Die Gleichungen (I) sind die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form. Die Feldgrößen, mit denen wir
es zu tun haben, sind:
� E, � D, � H, � B = � f(�r, t)
Mit Hilfe der Integralsätze von Gauß und Stokes können wir aus (I) zu den Maxwell-Gleichungen in
integraler Form übergehen.
1
2
3
4
��
◦ �B d� A = 0
��
◦
∂V
�D d� A = Qin V
∂V
� B-Feld besitzt geschlossene Feldlinien
(I)
Ladungen = Quellen / Senken des elektrischen Feldes
�
��
�
∂
E d�r = −
∂F
F
� B
∂t d� A =
− d
��
�B d
dt
F
� Ein zeitlich veränderlicher magnetischer Fluß induziert
im Rand der betrachteten Fläche ein Spannung
A
�
�H d�r = I + d
��
�D d
dt
� A I und ˙ D� �= 0 erzeugen Magnetfelder
∂F
F
Bei unseren Betrachtungen legen wir noch die folgenden Beziehungen zugrunde:
��
φ = �B d� A Magnetischer Fluß durch eine Oberfläche F
F
Qin V =
���
V
ρel dV Ladungen in einem festen Volumen V
Gleichungen (I) beschreiben die Wirbel von � E, � H und die Quellen/Senken von � B, � D.
⇒ die Gleichungen (I) sind unterbestimmt
↩→ zusätzliche Gleichungen erforderlich (Materialgleichungen):
�D = � D( � E) � B = � B( � H) � j = � j( � E) (II)
Die Gleichung für die elektrische Stromdichte ist nur dann erforderlich, wenn � j nicht vorgegeben ist! In
vielen Substanzen (Leitern) erzeugt ein elektrisches Feld einen Strom!
Beispiel für Materialgleichungen:
i) Vakuum/Luft: � B = µ0 � H; � D = ε0 � E
ii) di-/paraelektrische Substanzen: � B = µ � H; � D = ε � E; � j = σ � E
homogenes Medium: ε, µ =const.
inhomogenes Medium: ε, µ = f(�r)
iii) Polarisation/Magnetisierung: � D = ε0 � E + � P; � B = µ0 � H + � M
iv) � D = ^ε � E; � B = ^µ � H (^ε, ^µ sind Tensoren 2. Stufe)
Dieser Fall tritt z.B. bei der Doppelbrechung auf.