Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen 85
In Medien sind εr bzw. v oder die Brechzahl n i.A. frequenzabhängig (→ Dispersion). Ursache: atomare
Struktur der Medien.
Wellenpakete (superponiert aus ebenen Wellen) zerfließen im Zeitverlauf. Der Schwerpunkt von Wellenpaketen
bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit:
Beispiel: elektromagnetische Welle im Vakuum
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vPh = ω ck
= = c
k k
vGr = dω
⎫
⎪⎬
vPh d
= vGr
= (ck) = c
⎪⎭
dk dk
Gruppengeschwindigkeit: vGr = dω
dk
Dies ist i.A. nicht so!
Wir haben bis jetzt nur die homogenen Wellengleichungen erfüllt. Jetzt müssen wir noch in die Maxwell-
Gleichungen gehen!
∂
∂t � E = −iω � E � ∇ � E = i � k � E (analog für � B)
Quellgleichungen:
div � D = 0 ⇒ i ε � k � E = 0 ⇒ � k � E0 = 0 ⇒ � k ⊥ � E0
div � B = 0 ⇒ i � k � B = 0 ⇒ � k � B0 = 0 ⇒ � k ⊥ � B0
Wirbelgleichungen:
rot � H = ˙ � D ⇒ � k × � H = − ω ε � E ⇒ � k × � H0 = − ε ω � E0
rot � E = − ˙ � B ⇒ � k × � E = µ ω � H ⇒ � k × � E0 = µ ω � H0
� k, � E, � B bilden ein Rechtssystem mit dieser Reihenfolge (und zyklischen Vertauschungen). � k
k
ist die Ausbreitungsrichtung. Daraus folgt, daß elektromagnetische Wellen Transversalwellen
sind, wobei außerdem noch gilt, daß � E ⊥ � B.
Zusammenfassend: Für ebene hamonische Wellen gilt:
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�E(�r, t) = �E0 e
•
i(�k�r−ωt) �B(�r, t) = � B0 ei(� �
Wellenfunktion = komplexe Vektoren
k�r−ωt)
•
� k � E = 0
µ ω � H = � k × � E
• ω = v k Dispersionsrelation
�
- Transversalwellen
- ( � E, � H, � k) bilden ein Rechtssystem
8.1.4 Energieverhältnisse für ebene Wellen
Energiedichte:
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ωelm = 1
2 � E � D + 1
2 � H � B
Dies ist eine quadratische Bildung. Daher muß zuerst der Realteil der Felder gebildet werden.
z.B.: � E = (Ex, Ey, Ez) � E = � E0 e i(� k�r−ωt)
d.h., Ex = E0x e i(� k�r−ωt)
⇒ davon ist Re gesucht Beachte: E0x ∈ C
Wir verwenden die Polardarstellung: E0x = |E0x| e iδx mit der reellen konstanten Phase δx
⇒ Ex = |E0x| e i(� k�r−ωt+δx) ⇒ Re(Ex) = |E0x| cos( � k�r − ωt + δx) analog restl. Komponenten
Nebenrechnung:
µω� H = �k × �E ⇒ µω Re( � H) = �k × Re( �E) ⇒ µ 2 ω 2 (Re� H) 2 = �k 2 (Re�E) 2
(Re� H) 2 = 1
µ 2
� 2 k
ω2 (Re� 2 (8.6)
E) = 1
µ 2
1
v2 (Re�E) 2
Mit diesen Zwischenergebnissen gehen wir nun in die Energiestromdichte:
( � k ⊥ � E)