Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

7.3 Der Hertz’sche Dipol 77
� S = v ε �r
r
� �2 �EF
− v ε
� �
�
�r
EF
r
� �� �
=0, da � EF⊥ �r
r
= v �r
r
2 ωel
� S = v ωelm
(7.10)
= v (ωel + ωmag) �r
r
� S. . . Energiestromdichte
v. . . Geschwindigkeit des Transports
ωelm. . . transportierte Größe: elektromagnetische Energiedichte
�r
r
. . . Richtung des Energietransports
Elektromagnetische Felder transportieren Energie und Impuls !
Nach dem Einsetzen der Energiedichte:
�r
r
� S = µ | ¨ �p R | 2 sin 2 θ
16 π 2 v r 2
�r
r
�
�π = 1
c2 � �
S
Für die technischen Anwendungen ist die mittlere (zeitliche) abgestrahlte Leistung eine signifikante Größe.
Zeitlicher Mittelwert von � S(�r, t) :
��
Mittlere Leistung: N = ◦�S
d�F F
� S ≡ 1
T
T�
�S(�r, t) dt
F . . . beliebige geschlossene Fläche mit dem Dipol im Inneren; weit außen, so daß
� EF, � BF gültig sind.
Wir wählen: F = S 2 ⇒ d � F = dF · �n, mit �n = �r
r !
� S = µ sin 2 θ | ¨ �p R | 2
16 π 2 v r 2
N = µ |¨ �p R | 2
16 π 2 v
N = µ |¨ �p R | 2
16 π 2 v
N = µ |¨ �p R | 2
6 π v
�r
r
��
◦ sin2 θ
π�
0
2π �
0
r 2
�r
r
0
�r
r dF | Kugelkoordinaten: dF = r2 sin θ dθ dϕ
sin 3 θ dθ dϕ | Bronstein
Allgemein gilt: N ∼ | ¨ �p R | 2
Wir wollen nun die zeitliche Mittelung explizit am Beispiel des harmonischen Dipols durchführen.
�p(t) = q(t) �l = q0 cos ωt
˙�p(t) = ˙q(t) �l = I(t) �l mit I(t) = I0 sin ωt | ”Wechselstrom”
¨�p(t) = ˙ I(t) �l = I0 ω cos ωt | l = | �l| | ¨ �p R | 2 = I2 0 ω2 l2 cos2 � ω � t − r
��
| ¨ �p R | 2 = I2 0 ω2 2 1
l
T
v
T� � �
2
cos ω t − r
��
dt
v
�
0
�� �
= 1
� �2 l
2
I2 0
⇒ | ¨ �p R | 2 = 2 π2 v2 λ
⇒ N = π
� �2 l
µ v I
3 λ
2 2π
0 =
3
� µ
ε
= 1
2 I2 0 ω2 l2 | ω = 2πv
λ
� �2 l
I
λ
2 eff mit Ieff = I0 √2