Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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��
◦
∂V
�D d � A =
Abb. 4.13: ”Keksdose” befindet sich in der Oberfläche
∂V. . . Oberfläche dieser Dose
��
Deckel
�D d � A +
��
Boden
�D d � A +
��
Seitenwand
�D d � A
Das Integral über die Bodenfläche fällt weg, da im Inneren des Leiters kein elektrisches Feld ist.
Auch das Seitenwand-Integral liefert keinen Beitrag, da �En ∼ � Dn ⇒ � D ⊥ d� A ⇒ = 0.
Wir erhalten somit: ��
��
�D �n dA = Qin V = σ dA
Einführung des Potentials:
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∂ϕ
∂n
Deckel
Deckel
⇒ � D �n = σ ⇔ � E �n = σ
ε = |� En|
σ = � D �n = ε � E �n = − ε �n gradϕ = − ε ∂ϕ
∂n
σ = − ε ∂ϕ
∂n
wird als die Normalenableitung des Potentials bezeichnet.
Potentialberechnungen:
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(4.17)
Diese Aufgabenstellung ist im allgemeinen kompliziert, da ρel(�r) ↔ σ(�r) nicht unabhängig voneinander
sind. Es kommt zu einer starken Rückkopplung. Die Lösung wird viel einfacher, wenn σ(�r) vorgegeben
ist ⇔ ∂ϕ
∂n auf dem Rand ist gegeben. Das Lösen der Poisson-Gleichung mit Randbedingungen stellt eine
Randwertaufgabe dar.
Randbedingungen für: ∆· ϕ = − ρel
ε
1. Dirichlet’sche Randbedingung: ϕ auf dem Leiter vorgegeben.
2. Neumann’sche Randbedingung: ∂ϕ
∂n
auf dem Leiter gegeben.
3. Gemischte Randbedingung: a · ϕ + b · ∂ϕ
∂n gegeben
Mit diesen Randbedingungen existiert eine eindeutige Lösung.
4.5.1 Minimaleigenschaft der elektrostatischen Energie
Das statische Gleichgewicht bei der Anwesenheit von Leitern ist durch die konstante Potentialverteilung
auf den Leitern charakterisiert. Wir wollen nun zeigen, daß die elektrostatische Energie für diese Situation
ein Minimum annimmt.
W = 1
2
���
�E D� dV
Für jede andere Feldkonfiguration �E ′ , � D ′ muß dann gelten (gestrichene Größen bezeichnen das variierte
Feld):
W ′ = 1
2
���
� ′
E D � ′
dV ≥ W