Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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6 Felder quasistatischer Ströme
Die meisten Probleme der Elektrotechnik und Elektronik spielen sich im Gebiet der langsam veränderlichen
Felder ab.
Diese Aussage ist diffus, denn was bedeutet ”langsam”? Langsam wogegen?
Annahme: Zeitlich periodischer Vorgang (oder periodisch gedämpft)
T. . . Schwingungsdauer, c. . . Lichtgeschwindigkeit
⇒ c · T = λ. . . Wellenlänge
⇒ Wir haben so einen zeitlichen Vergleich auf einen räumlichen zurückgeführt.
Falls: λ ≫ l (l. . . charakteristische Systemlänge), so ist die Retardierung der Felder zu vernachlässigen.
D.h. � j oder ρel ändern sich an irgendeiner Stelle im System
⇒ Feldstärkeänderungen werden instantan (”sofort”) im gesamten System wirksam!
Bsp. Wechselstrom: ν=50 Hz ⇒ λ ≈ 6.000 km; Labor-/Hausanlagen liegen im Meterbereich
→ Retardierung zu vernachlässigen
Dies ist z.B. realisierbar durch rot � H = � j + ˙ � D
| � j | ≫ | ˙ � D | (6.1)
Wir wollen jetzt eine kurze Abschätzung für zeitlich periodische Felder treffen:
�E ∼ �E0(�r) eiωt ˙�D
⇒
= i ω ε � �
E |
�j = σ �E ˙ D � |
| �j | = | i | ω ε | �E |
σ | � =
E |
ω ε
≪ 1
σ
⇒ Für hinreichend kleine Frequenzen ist die Vernachlässigung der Retardierung realisierbar. Am Beispiel
von Kupfer ergibt sich:
σ
ε = 1017 s −1 sichtbares Licht: ω ≈ 10 14 s −1 ⇒
ω ε
σ ≈ 10−3 ≪ 1
Der Gültigkeitsbereich der quasistationären Ströme hängt stark vom gewählten Material ab.
Zusammenfassende Annahmen:
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1. Vernachlässigung des Verschiebungsstroms ˙ � D im Inneren und Äußeren der Leiter.
2. Keine Raumladungen ρel(�r, t) innerhalb der Leiter
Abschätzung:
� j = σ � E, allgemeine Kontinuitätsgleichung:
0 = ∂ρel
∂t + div(σ � E)
∂ρel
∂t + div � j = 0
0 = ∂ρel
∂t + (grad σ)�E + σ div �E 0 Max.-Gl. ∂ρel σ
= +
∂t ε ρel + �E grad σ
→ betrachten jetzt homogene Leiter: grad σ = 0, σ = const.
˙ρel + σ
ε ρel = 0
Int.
⇒
t − ρel(t) = ρ0 e τ τ ≡ ε
σ
Nach einer Zeit t = τ sind sie Raumladungen dann abgebaut. Hier zwei Zahlenbeispiele:
Kupfer: τ ≈ 10 −17 s Isolator: τ ≈ 10 −2 s
Für fast alle Bereiche der Elektrotechnik / Elektronik sind diese Annahmen gut erfüllt. Damit reduziert
sich unser Maxwell-System auf: