Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Wir haben somit das Coulomb’sche Kraftgesetz gefunden. Es ist experimentell über große Skalenteile
gesichert.
Dieses Verfahren ist gut, wenn man weiß, welche Form das Feld hat und man Symmetrien nutzen kann.
Doch die direkte Integrationsmethode versagt bei inhomogenen, allgemeinen Ladungsverteilungen. Eine
Möglichkeit für die Lösung dieses Problems ist im folgenden Abschnitt erklärt.
4.2 Skalares Potential, Poisson-Gleichung
Unser Ziel ist es immer noch, die Maxwell-Gleichungen für das elektrostatische Feld zu lösen. Wir gehen
nun von der Wirbelgleichung
rot � E = � 0
aus. Wir definieren nun analog wie in der Mechanik ein skalares Potential.
� E(�r) = − grad ϕ(�r) (4.1)
Aufgrund der immer geltenden Identität (rot(grad()) = 0 ist die Wirbelgleichung erfüllt. Das skalare
Potential ist also wie folgt definiert:
ϕ(�r) = −
�r�
�r0
� E d�r (4.2)
◮ �r0 ist beliebig, da ϕ(�r) bis auf eine freie Konstante bestimmt ist; meist verwendet man die folgende
Konvention:
lim ϕ(�r) = 0
|�r|→∞
◮ Das Linienintegral (4.2) ist wegunabhängig. Das bedeutet:
rot �E = � �
0 ⇔
�E d�r = 0
(Beweis mit dem Satz von Stokes)
alle Wege
◮ Das elektrische Feld � E steht senkrecht auf einer Äquipotentialfläche . Die Bedingung für eine
Äquipotentialfläche lautet: ϕ(�r) = const.
dϕ = 0 = grad ϕ d�r = − � E d�r
Das Skalarprodukt zwischen � E und d�r verschwindet ⇒ � E ⊥ d�r
Elektrische Spannung: physikalische Bedeutung von ϕ
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Die Spannung eines Punktes 2 gegen einen Punkt 1 ist wie folgt definiert:
elektrische Spannung (Potentialdifferenz): ϕ21 ≡ −
�r2 �
�r1
� E d�r =
Diese Definition gilt ganz allgemein in der Physik und nicht nur in der Elektrostatik.
Interpretation:
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�r1 �
�r2
� E d�r (4.3)
1. ϕ21 ist die Arbeit pro Ladung, die gegen das Feld � E beim Verschieben einer Probeladung vom
Punkt 1 nach 2 geleistet werden muß. Diese Arbeit muß in das Feld hineingesteckt werden.