Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

7.2 Retardierte Potentiale 69
Wir haben jetzt also inhomogene Wellengleichungen mit ρel(�r, t) und � j(�r, t) als Inhomogenitäten. Man
kann dieses Gleichungssystem auch als ”Potentialform” der Maxwell-Gleichungen bezeichnen!
Die Lorentz-Konvention gehört dazu!!!
Die Lorentz-Konvention scheint erlaubt, aber eine relativ willkürliche Bedingung zu sein. Eine Begründung
findet sich im Rahmen der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik.
Wir zeigen hier, daß die Lorentz-Konvention mit der Ladungserhaltung verträglich ist! Dazu wenden wir
und div auf die Gleichung (7.7) an:
∂
∂t
∂ ∂ ρel ∂ϕ 1 ∂ρel
�ϕ = ⇔ � =
∂t ∂t ε ∂t ε ∂t
div �� A = div µ � �
j ⇔ � div � �
A = µ div �j Multiplikation mit ε, µ + Addition liefert:
�
∂ρel
µ
∂t + div � � �
j = � div � A + µ ε ∂ϕ
�
∂t
� ∂ρel
∂t + div � j = 0
� �� �
=0, Lorentz-Konvention
Zumindest liefert die Lorentz-Konvention keine Widersprüche zur Physik!
Eichtransformation: vergleiche Abs. 5
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Elektrodynamische Potentiale sind nur Hilfsgrößen. Physikalisch meßbar sind nun �E und � B. Unter der
Berücksichtigung der Lorentz-Konvention gibt es nur noch Freiheiten in der Wahl von � A(�r, t) und ϕ(�r, t).
�A → � A ′ = � A + grad f(�r, t)
ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂
⎫
⎬
Gelten simultan mit gleichem f(�r, t).
f(�r, t) ⎭
∂t
Für die beobachtbaren Felder � E und � B gilt nun:
�B ′ = rot � A ′ = rot ( � A + grad f) = rot � A + rot grad f =
� �� �
=0
� B
� ′ ′ ∂
E = − grad ϕ − � A ′
�
= − grad ϕ −
∂t ∂f
�
−
∂t
∂� A ∂f
− grad
∂t ∂t
� ′ ∂
E = − grad ϕ − � A
∂t = �E D.h. zunächst ist � E = � E ′ und � B = � B ′ für alle Funktionen f(�r, t). Deshalb untersuchen wir jetzt noch die
Lorentz-Konvention, um eventuelle Einschränkungen zu finden oder auszuschließen.
div � A ′ + 1
v2 div � A ′ + 1
v2 ∂ϕ ′
∂t
∂ϕ ′
∂t = div � A + 1
v2 Eichtransf.
= div � A + ∆· f + 1
v 2
∂ϕ
∂t
∂ϕ
∂t − �f(�r, t) ! = 0
− 1
v 2
∂ 2 f
∂t 2
Dies bedeutet: Die Lorentz-Konvention ist nur dann invariant, wenn gilt:
�f(�r, t) = 0
Die Funktion f ist also eine Lösung der homogenen Wellengleichung.
7.2 Retardierte Potentiale
�
∂ϕ
Im statischen Fall ∂t = 0, ∂� �
A
∂t = 0 reduzieren sich die Wellengleichungen (7.7) auf die schon diskutierten
Poisson-Gleichungen:
∆· ϕ = − ρel
ε
∆· � A = − µ � j (Coulomb-Eichung)