Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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A(�r) ≈ µ
4π I
�
Leiter
d�r ′
| �r −�r ′ |
Aufgrund der Kontinuitätsgleichung muß der Stromkreis geschlossen sein. Damit erhalten wir nun einen
Ausdruck, der exakt für ”Linienströme” ist, für dünne Leiter aber eine gute Näherung darstellt.
A(�r) ≈ µ
4π I
�
Leiter
d�r ′
| �r −�r ′ |
Mit Hilfe diese Ausdrucks können wir nun das Magnetfeld berechnen.
�B(�r) = rot � A = � ∇�r × � A(�r)
�B(�r) = µ
4π I
� �
d�r
�∇�r ×
′
| �r −�r ′ �
|
Nebenrechnung:
�∇�r ×
(5.6)
d�r ′
| �r −�r ′ | = � 1
∇�r ×
| �r −�r ′ | d�r ′ = � 1
∇�r
| �r −�r ′ =
|
�
1
grad�r | �r −�r ′ �
× d�r
|
′
= − (�r −�r ′ )
| �r −�r ′ | 3
′
× d�r
× d�r ′
Wenn wir dieses Resultat nun einsetzen, so erhalten wir das Biot-Savart’sche Gesetz für dünne Leiter:
Biot-Savart’sches Gesetz:
� B(�r) = − µ
4π I
� (�r −�r ′ ) × d�r ′
| �r −�r ′ | 3
Diese Gesetzt stellt eine sehr gute Näherung für dünne Drähte und große Abstände dar ( Querschnitt
Abstand
Beispiele:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. Feld eines unendlich langen Leiters
| �r |= r, | �r ′ |= s, | d�r ′ |= ds, | �a × � b |=| �a | · | � b | sin α
| � B |= µ
4π I
| � B |= µ
4π I
| � B |=
µ I
2πr
∞�
−∞
∞�
−∞
| �r −�r ′ | · | d�r ′ | sin α
| �r −�r ′ | 3
| sin α =
r
(r2 + s2 µ I
ds =
3/2
) 4π r
�
s
r2 √ r2 + s2 (vgl. das Ergebnis in Abs. 5.1)
r
√ r 2 + s 2
2. Kreisförmige Leiterschleife
Wir suchen das Feld im Mittelpunkt der Leiterschleife: � B = � B(0). Außerdem ist:
�r = 0, �r ′ = R �er, d�r ′ = ds �eϕ = R dϕ d�eϕ � �
µ I
B(0) = −
4π
S1 (R dϕ �eϕ) × (R �er)
R3 �B(0) = −
�
dϕ
µ I
4π
1
R (�eϕ × �er)
S 1
� ∞
−∞
(5.7)
≪ 1).