Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen) 93
(a) 1. Schritt
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ϕ(�r) soll durch Werte ϕ|∂V und ∂ϕ
beliebig sein kann.
���
�
�
∂n ∂V
ausgedrückt werden, wobei das Volumen V noch
ϕ(�r) = δ(�r −�r ′ ) ϕ(�r ′ ) dV ′
(8.10)
= −
�
��∆·
�r ′ +k2� G(�r ′ −�r) � ϕ(�r ′ ) dV ′ �r ′ . . . Variable
�r . . . fester Vektor
�r ′ → �r ′ −�r übl. Shift
⎤
= −
Prod.-R.
= −
Gauß
=
��
◦
∂V
� ⎡
⎢
⎣ϕ(�r ′ ) ∆· �r ′ G − G ∆· �r ′ ϕ(�r ′ )
� �� �
�
=∆· �r ′ ϕ(�r ′ )+k 2 ϕ(�r ′ )=0
⎥
⎦ dV ′
div�r ′ [ϕ(�r ′ ) grad �r ′G − G grad �r ′ϕ(�r ′ )] dV ′
[G(�r ′ −�r) grad �r ′ϕ(�r ′ ) − ϕ(�r ′ ) grad �r ′G(�r ′ −�r)] d � F ′
Wir müssen nun nur noch die Green’sche Funktion einsetzen:
ϕ(�r) = 1
⎧
�� ⎪⎨
e
◦
4π ⎪⎩ ∂V
−ik|�r ′ −�r|
|�r ′ grad�r ′ϕ(�r
−�r|
′ )
� �� �
∼ ∂ϕ
− ϕ(�r
∂n | ∂V
′ e
) grad�r ′
� �� �
∼ϕ|∂V
−ik|�r ′ −�r|
|�r ′ ⎫
⎪⎬
d
−�r| ⎪⎭
�F ′
Dies ist ein exakter mathematischer Ausdruck. ϕ(�r) wird durch die Werte ϕ|∂V und ∂ϕ
�
�
∂n auf
� ∂V
∂ϕ
einer beliebigen, den Punkt�r umschließenden Fläche dargestellt. ∂n ≡ �n grad ϕ, d� �
F = �n dF
Kommen wir nun aber zu Physik!
(b) 2. Schritt Kirchhoff’sche Näherung
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Abb. 8.1: Situation
∂V sei nun ein System von Blenden und Öffnungen. Außerdem führen wir jetzt physikalisch
plausible Näherungswerte für ϕ und ∂ϕ
∂n auf den Blenden und Öffnungen ein (für nicht zu
kleine Öffnungen).
i. Auf der Abschirmung B sei ϕ=0 und ∂ϕ
∂n =0. Abgesehen von der unmittelbaren Nähe der
Öffnung ist es plausibel, daß hinter die Blende kein Licht fällt.
ii. Auf den Öffnungen ist der Wert der Lichteinwirkung ungestört.
ϕ(�r ′ ) = ϕ0
e −ik|�r ′ −�r0|
|�r ′ −�r0|
einlaufende Kugelwelle
iii. Als Vereinfachung wird der Vektorcharakter der elektromagnetischen Wellen ( � E, � B) sowie
der Kopplung zwischen � E und � B vernachlässigt.
→ ”skalare Beugungstheorie”: ϕ ∗ ϕ ^= Lichtintensität
Bezeichnung:
�r0. . . Ort der Quelle
�r. . . Ort des Aufpunktes
�r ′ . . . variabel; läuft ∂V ab
Nullpunkt in der Öffnung