Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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→ für den 3. Term machen wir die folgende Rechnung:
���
���
= ε �E � a
E dV = ε gradϕ gradϕ a ���
dV
ϕ a ∆· ϕ dV
W WW
el
W WW
el
W WW
el
wie in
= − ε
Abs. 4.3.2
Poisson
=
���
ϕ a ρel(�r) dV
R 3
Beispiel: N einzelne Punktladungen
✿✿✿✿✿✿✿✿
ρel(�r) = N�
Qi δ(�r −�ri)
i=1
⇒ W WW
el
N�
=
i=1
4.4 Elektrische Multipole
Qi ϕ a (�ri) ”Ladung mal Spannung” (vgl. Ex-Ph)
Problem: Wir betrachten eine lokalisierte Ladungsverteilung, z.B. in einem Atomkern,
und wählen unseren Ursprung in der Ladungsverteilung.
Beobachtet (gemessen) wird das Feld in großen Abständen von der Ladungsverteilung (|�r ′ | ≪ |�r|, asymptotisches
Feld).
Frage: Welche Aussage über die Struktur der Ladungsverteilung (z.B. Abweichung von
der Kugelsymmetrie, Anordnung der geladenen Bausteine, . . . ) können wir aus
dem asymptotischen Feld gewinnen?
Vorgehen:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1
Wir müssen nun den Ausdruck |�r−�r ′ | in der allgemeinen Lösung der Poisson-Gleichung um die Stelle
�r ′ = �0 durch eine Taylor-Entwicklung approximieren.
1 1
Bez.: �r = (x1, x2, x3) = xi; =
r | �r | =
1
�
x2 1 + x2 2 + x2 3
→ Taylor:
1
| �r −�r ′ 1
= −
| | �r |
3� ∂
∂xi
i=1
� �
1
r
x ′ i
+ 1
2
3�
i=1 j=1
3�
�
∂
∂xi
∂
∂xj
� ��
1
r
x ′ i x ′ j
− . . .
Die folgende Nebenrechnung dient zur näheren Erläuterung der Taylor-Entwicklung in unserem speziellen
Fall.
1
| �r −�r ′ 1 3� ∂
= +
| | �r | i=1 ∂x ′ �
1
i | �r −�r ′ �
| �r ′ = � x
0
′ i + . . .
Wir betrachten jetzt einen Teil dieser Formel:
∂
∂x ′ �
1
i | �r −�r ′ �
=
|
∂
∂x ′ ⎡
⎣
1
�
i (xj − x ′ j )(xj − x ′ j )
⎤
⎦
�r ′ = � 0
x ′ k =0