Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Beispiel:
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Jede Lösung der Maxwellgleichungen löst auch die beiden homogenen Wellengleichungen.
Aber die Umkehrung ist nicht gültig !!!
Eine reine elektrische Welle ( � B = � 0, � � E = 0) löst zwar die Wellengleichung, existiert nach Maxwell aber
NICHT!, denn � B = � 0 ⇒ ˙ � D = � 0 ⇒ ˙ �E = � 0 !
Man muß mit den Lösungen der Wellengleichungen immer noch in die Maxwell-Gleichungen
gehen. Dann ergeben sich noch zusätzliche Einschränkungen (z.B. bzgl. der Richtung oder der
Amplitude).
8.1.1 Die allgemeine ebene Welle
Als partielle Differentialgleichung besitzt die homogene Wellengleichung eine sehr große Lösungsmenge.
Daher tritt das folgende Problem auf: Klassifizierung der Lösungen von �U(�r, t) = 0 (U beliebige Wellenfunktion).
Üblich ist die Klassifizierung nach räumlichen Symmetrien, wie z.B. Kugel- oder Zylindersymmetrie.
Einfachster Fall: U ist außer von der Zeit nur noch von einer Raumkoordinate abhängig
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z.B. U = U(z, t) → physikalisch: bzgl. x-, y-Koordinate liegen homogene Verhältnisse vor
�U = 0 ⇔
� 1
v 2
∂2 ∂2
−
∂t2 ∂z2 �
U(z, t) = 0
◮ zu beliebigen festen Zeitpunkten wird U als Konstante in jeder zur x-y-Ebene parallelen Ebene
angesehen
◮ die Zeitabhängigkeit bewirkt ein ”Laufen” in ±z-Richtung
Allgemeine Lösung:
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Hierfür führen wir zwei neue Variable ein: ξ ≡ z − v · t η ≡ z + v · t
Nebenrechnung:
∂ ∂ξ
=
�
∂z ∂z
1
v2 ∂
∂ξ
∂2 ∂2
−
∂t2 ∂z2 ∂η ∂ ∂ ∂
+ = +
�
∂z ∂η
�
∂ξ ∂η
1 ∂ ∂
U = −
v ∂t ∂z
� � 1
v
Die Integration ist trivial:
bzgl. ξ :
∂
U(ξ, η) = f(η)
∂η �
bzgl. η : U(ξ, η) = f(η) dη +U2(ξ) = U1(η) + U2(ξ)
� ��
U1(η)
�
Rücksubstitution:
Es bleibt nur eine Nebenbedingung:
1 ∂ ∂ ∂
= · · · = −
v ∂t
�
∂η ∂ξ
∂ ∂
∂
+ U = − 4
∂t ∂z
2
∂ξ ∂η U(ξ, η) ! = 0
Allgemeine Lösung: U(z, t) = U1(z + vt) + U2(z − vt)
U1, U2 müssen zweimal nach den Argumenten differenzierbar sein. Ansonsten sind sie aber
völlig beliebig!
Jede dieser Lösungen nennen wir Welle!
Bedeutung der beiden Funktionen:
U1(z + vt). . . in negative z-Richtung laufende Welle
U2(z − vt). . . in positive z-Richtung laufende Welle
Beispiel: Uz rechtslaufend
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