Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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74 �B = rot � A = µ 4π rot � 1 r ˙ �p � t − r � v � Hilfsformel: rot(u �v) = grad u × �v + u rot �v �B(�r, t) = µ � grad 4π 1 r × ˙ �p � t − r � 1 v + r rot ˙ �p � t − r � v � rot ˙ � � � � � � r r ∂ ˙p3 t − v ∂ ˙p2 t − v �p = − , . . . , . . . ∂x2 ∂x3 rot ˙ �p Kettenr. � = − 1 v ¨p3 � ∂r − − ∂x2 1 � � ∂r ¨p2 , . . . , . . . v ∂x3 rot ˙ �p = − 1 v grad r × ¨ �p � t − r � 1 �r v = − v r × ¨ �p � t − r � v Wenn wir dieses Resultat jetzt einsetzen, so erhalten wir: �B(�r, t) = µ � − 4π �r r3 × ˙ �p � t − r � 1 �r v − v r2 × ¨ �p � t − r � v � Wir führen jetzt die folgende Abkürzung ein: �p R ≡ �p � t − r � v Elektrische Feldstärke �E: ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿ � ∂ E(�r, t) = − grad ϕ − � A ∂t � 1 E(�r, t) = − 4πε grad � �r r3 �pR + 1 v �B(�r, t) = µ 4π �r ˙ �p R � r 2 � − �r r3 × ˙ �p R − 1 v − µ 4π Nun machen wir ein paar Zwischenrechnungen: � �r �p R grad r3 � Prod.-R. 1 = r3 grad � �r �p R� + �r �p R grad 1 r3 grad 1 �r = r3 r d dr 1 �r = −3 r3 r5 ⎛ grad � �r �p R� = �ek ∂ ∂xk � xl p R l grad � �r �p R� = �ek p R k + �ek xl � Prod.-R. = �ek � − 1 � v � �r Analoge Rechnung für grad ˙ �p R r2 � ˙p R l ⎜ ∂xl ⎜ ⎝∂xk �� δlk ∂r ∂xk �� =xk/r ¨�p R r p R l + xl = �p R − 1 v bis auf den Faktor 1 v . Nach dem Einsetzen erhalten wir mit �p R ≡ �p � t − r � v : � E(�r, t) = 1 4πε ⎧ ⎨ ⎩ − ¨ �p R v 2 r + + 3 � �r �p R� �r r 5 ∂pR ⎟ l ⎟ ∂xk ⎠ �r r2 × ¨ �p R � ⎞ � �r ˙ �p R � �r r � �r ¨ �p R � �r v2 r3 − ˙ �p R v r2 + 3 � �r �p R� �r v r4 � − �pR r 3 Die Felder � E und � B stellen eine exakte Lösung der Maxwell-Gleichungen für den infinitesimalen Dipol dar. Der Näherungscharakter liegt in der Identifizierung des Dipols mit einer realen Antenne. 7.3.3 Diskussion dieser Lösung der Felder Technisch interessant ist der periodisch schwingende Dipol, d.h. �p(t) = �p0 cos ωt für �p R (t) = �p0 cos � ω � t − r �� v .
7.3 Der Hertz’sche Dipol 75 Definition: v λ = ω 2π Wir führen die Diskussion der Lösung in zwei Bereichen durch. 1. Nahzone: r → 0 Die größten Potenzen von 1 2. Fernzone: r sind dominant. r → ∞ Die kleinsten Potenzen von 1 r dominieren hier. ✿✿ ◮ Nahzone: ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ � EN = 1 4πε � − �pR r3 + 3 � �r �p R� �r r5 � + . . . Wann ist die Näherung gültig? �BN = − µ 4π |�p R | r3 �� ≫ mitgenommen | ˙ �p R | v r2 �� vernachlässigt λ . . . Wellenlänge �r × ˙ �p R r3 + . . . Für den periodischen Dipol ist | ˙ �p R | = ω |�p R |, | cos | = | sin | = 1. Dies führt auf die Ungleichung: |�p R | r3 ≫ ω |�pR | v r2 ⇔ 1 ω 2π ≫ = r v λ ⇒ λ ≫ r wobei außerdem r ≫ | � l| Die Näherung ist also gut für λ ≫ r ≫ l. Weiterhin kommt noch dazu, daß bei kurzen Abständen die Laufzeit der Welle kurz ist. ⇒ Vernachlässigung der Retardierung! z.B. �p R r3 = �p � t − r � v r3 Taylor für = kl. r/v �p(t) r 3 1 ˙�p(�r) − v r3 � �� Terme der Ordnung ∼ 1 r 2 wurden schon vernachlässigt. Nun muß diese Vernachlässigung auch konsequent durchgezogen werden. Damit ergibt sich: � EN = 1 4πε � − �p(t) r 3 3 �r (�r �p) + r5 � ∼ 1 v �BN = µ 4π | ˙ �p| r 2 ˙�p(t) × �r Dies zeigt, daß in der Nahzone quasistatische Verhältnisse vorliegen! Außerdem: � E ∼ cos ωt, � BN ∼ sin ωt → Phasenverschiebung zwischen � E, � B ✿✿ ◮ Fernzone: ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ � EF = 1 4πε �BF = − µ 4π ⎡ Für den harmonischen Dipol ist die Fernzone charakterisiert durch: ⎣− ¨ �p R v 2 r + �r × ¨ �p R v r 2 �r + . . . � �r ¨ �p R � ⎤ + . . . ⎦ v 2 r 3 Durch einfaches ”Ausrechnen” ergibt sich: � EF �r = 0 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ r 3 r ≫ λ Hier darf die Retardierung nicht vernachlässigt werden! � BF = √ εµ �r r × � EF
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14 Interpretation ✿✿✿✿✿
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18 Jetzt nutzen wir alle Zwischener
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22 Wir haben somit das Coulomb’sc
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