Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

Elektromagnetische Wellen (freie Wellen) 81
8 Elektromagnetische Wellen (freie Wellen)
Wir betrachten zeitlich veränderliche Felder außerhalb ihrer Erzeugungsgebiete. Die spezielle Art der
Erzeugung interessiert uns hier nicht.
Die Maxwell-Gleichungen lauten dann:
Weiterhin gilt auch hier:
• µ, ε sind const.
freie Wellen: ρel = 0, � j = � 0
• es handelt sich um stückweise homogene Medien
• Randbedingungen
8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen
div � D = 0 (8.1)
div � B = 0 (8.2)
rot � E = − ˙ � B (8.3)
rot � H = ˙ � D (8.4)
�D = ε � E , � B = µ � H (8.5)
Das Vorgehen ist prinzipiell das gleiche wie in Abschnitt 7: → Potential → � � A = 0, �ϕ = 0.
Im Fall ρel = 0 und � j = � 0 kann man für � E und � B direkt homogene Wellengleichungen ableiten.
rot auf (8.3) : rot rot �E = − µ rot ˙ H�
∂
∂t auf (8.4) : rot ˙ H � ¨
= ε �E
⇒ rot rot � E = − εµ ¨ � E | rot rot (. . . ) = grad div (. . . ) − ∆· (. . . )
grad div � E
� �� �
=0
− ∆· � E = − εµ ¨ � E
Mit µε = 1
v 2 und analoger Rechnung für � B erhalten wir:
� � E = 0
� � B = 0
Die direkte Herleitung dieser homogenen Wellengleichungen für � E und � B gelingt nur für ρel = 0 und
� j = � 0.
Maxwell-Relation:
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Die wesentliche Grundaussage ist, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen in
einem Medium mit dessen elektromagnetischen Eigenschaften verknüpft ist.
Vakuum: µ0ε0 = 1
c 2 0
µε = µrµ0εrε0 = µrεr
c 2 0
≡ n2
c 2 0
= 1
v2 ⇔ n = c0
v
n = √ µrεr . . . Brechungsindex des Mediums
In vielen Medien gilt als gute Näherung: µr ≈ 1 ⇒ n ≈ √ εr. Es gibt also einen direkten Zusammenhang
von optischen (n) und elektrischen (εr) Eigenschaften.
Aus der Herleitung der obigen Wellengleichungen folgt: