Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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T ′µ... ατ... = Ω µ ν... · Ω β
α · Ω ρ
τ ... · T ν... βρ...
Einstein: Forminvarianz der Naturgesetze in allen Inertialsystemen
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Beispiel:
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a µ = b µ ⇒ a µ − b µ = 0 in Σ, dann gelte in Σ ′ : a ′µ − b ′µ = 0
a ′µ ′µ Transf.-Gesetz
− b = Ω µ νaν − Ω µ νbν a ′µ − b ′µ = Ω µ ν · (aν − bν )
det Ω �= 0 → falls aν − bν = 0 ⇒ a ′µ − b ′µ = 0
Die Gleichungen bleiben gleich, aber die Einzelkomponenten ändern sich: z.B. a ν �= a ′ν
9.2 Die Maxwellgleichungen im Vakuum
Wir starten mit der Feststellung, daß die Gesamtladung Q eines Körpers eine relativistische Invariante
ist (sonst wäre ein Perpetuum mobile 1. Art möglich). Dagegen ändert sich die Ladungsdichte ρ gemäß
ρ = Q
V = V0 ·
Q
� 1 − β 2 =
ρ0
� 1 − β 2
Hierbei ist ρ0 die Ruheladungsdichte, die natürlich eine relativistische Invariante ist (analog zur Ruhemasse
m0). Dann ist das folgende Produkt ein echter Vierervektor:
ρ0 · U µ = ρ0 · dxµ
dτ
U µ . . . Vierervektor
dτ . . . Eigenzeit
dτ =
Für die Komponenten erhalten wir dann (v µ = Hilfsgröße = dxµ
dt ):
ρ0U µ =
�
− (ds)2
c 2
ρ0v µ
� 1 − β 2 = ρ · vµ = (ρc, ρv 1 , ρv 2 , ρv 3 ) = (ρc, ρ�v)
Der Anteil ρ�v ist eine Konvektionsstromdichte. Da aus relativistischer Sicht Konvektions- und Leitungsströme
gleich sind, definieren wir als Verallgemeinerung:
Viererstromvektor: (j µ ) = (ρc, � j) = (ρc, j1, j2, j3)
� j beinhaltet Leitungsströme und Konvektionsströme:
Die Kontinuitätsgleichung lautet dann:
j µ ′ = Ω µ α j α
∂
∂x µ jµ = 0