Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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”Eichtransformation”: � A ′ = � A + grad f(�r) (5.5)
�B ′ = rot � A ′ = rot � A + rot grad f(�r) = rot
� �� �
=0
� A = � B
Wir benötigen nun noch eine zusätzliche Bedingung. Wir fordern die Quellfreiheit des Vektorpotentials
unabhängig von der Eichfunktion f(�r).
div � A ′ = 0 = div � A + div grad f(�r) = div � A + ∆· f(�r)
⇒ Laplace-Gleichung: ∆· f(�r) = 0
Falls der Gradient einer Lösung der Laplace-Gleichung zum Vektorpotential � A addiert wird,
so ändert sich die (klassische) Physik nicht!
Beispiel: homogenes Magnetfeld in z-Richtung
✿✿✿✿✿✿✿✿
�B = (0, 0, B) B = const. (wegen Homogenität)
�A ′ = � − B
�
B
2 y, 2 x, 0� Diese beiden Vektorpotentiale liefern beide
�A = (0, Bx, 0)
über rot � A = � B das obige Magnetfeld!
Die beiden Vektorpotentiale sind auch quellfrei. Sie lassen sich in der Tat durch die Eichtransformation
ineinander überführen.
f = − B
2 xy + const. ⇒ ∆· f = 0
grad f = � − B B
2 y, − 2 x, 0� , d.h.
�A ′ = � A + grad f
Im folgenden wollen wir nur noch solche Größen als physikalisch relevante Größen (”Meßgrößen”) zulassen,
die invariant unter der Eichtransformation sind (z.B. � B)!
Frage: Ist die allgemeine Lösung für ✿✿✿✿✿✿
� A (5.4) überhaupt mit der Nebenbedingung
div� A = 0 verträglich?
Vor.:
� j sei räumlich beschränkt (reiche also nicht ins Unendliche).
a) Poisson-Gleichung:
∆· � A = − µ � � j | div-Bildung
div ∆· � �
A = − µ div �j �
∆· div� �
A = − µ div �j � �� �
= 0
⇒ div � j = 0 (Kontinuitätsgleichung)
Die Nebenbedingung ist mit der Kontinuitätsgleichung verträglich.
b) Allgemeine Lösung:
div� A(�r) = µ
4π div�r
���
div� A(�r) = µ
4π
���
Leiter
Leiter
div�r
� j(�r ′ )
| �r −�r ′ |
� j(�r ′ )
| �r −�r ′ |
dV ′
dV ′
| div wirkt auf �r