Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Je kleiner die geometrische Abmessung l der Hindernisse relativ zu Wellenlänge ist, desto
stärker ist die Beugung.
l ≫ λ. . . geometrische Optik ist gute Näherung
l ≈ λ. . . Beugung ist wesentlich → Wellenoptik
Aufgabe der Beugungstheorie:
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Man will bei vorgegebener Lage und Form der Hindernisse / Blenden usw. und bei vorgegebenen Quellen
im ganzen Raum die Intensitätsverteilung der Wellen berechnen.
8.3.1 Kirchhoff’sche Formel (1882)
1. Stationäre Wellengleichung
Sei Ψ(�r, t) eine komplexe Welle, die der homogenen Wellengleichung �Ψ = 0 genügt.
Gesucht: stationäre Intensitätsverteilungen
∂
∂t Ψ∗ Ψ = 0 Ψ∗Ψ = Intensität ⇔ stationäre Beobachtungsverhältnisse
Separationsansatz: Separation der Zeitvariablen
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Ψ(�r, t) = e iωt ϕ(�r) Ψ ∗ Ψ = ϕ ∗ ϕ = f(�r)
Mit diesem Ansatz gehen wir jetzt in die Wellengleichung.
�Ψ ! = 0 = − � ∆· +k 2� ϕ(�r) mit k ≡ ω
v
Die rechte Seite wird als stationäre (zeitfreie) homogene Wellengleichung bezeichnet. Bei einer
zusätzlichen Quelle haben wir ein inhomogenes Problem:
� ∆· +k 2 � ϕ(�r) = − q(�r)
Bei Vorgabe der Quellen q(�r) wäre das Randwertproblem zu lösen, wobei die Ränder durch Blenden,
Hindernisse usw. gegeben werden. Für eine Punktquelle gilt:
� ∆· +k 2 � G(�r) = − δ(�r) G(�r) . . . Green’sche Funk. d. stat. Wellengl. (8.10)
Eine ähnliche Berechnung wie in Abschnitt 4.2 liefert:
G(�r) = 1
4πr e−ikr
(reproduziert für k → 0 Poisson-Limit)
Mit dem obigen Separationsansatz erhalten wir nun (für eine auslaufende harmonische Welle):
2. Kirchhoff: Annahme von Punktquellen
Ψ(�r, t) = e iωt G(�r) = 1
4πr ei(ωt−kr)
- Nullpunkt liegt in der Quelle
- �r. . . Aufpunkt (wo uns ϕ interessiert)
- �r ′ . . . variabel; läuft ∂V ab