Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

9.3 Transformationsgesetz und Invarianten 103
Das Transformationsgesetz vermittelt einen Zusammenhang zwischen � E, � B und � E ′ , � B ′ .
Vorteil: Es handelt sich um einen reinen algebraischen Zusammenhang (Matrizenmultiplikation).
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Speziell für die Lorentztransformation aus Abschnitt 9.1 mit β = vx
c :
⎛
0 E ′ 1 E ′ 2 E ′ 3
� ′αβ
F � ⎜
= ⎜−E
⎝
′ 1 0 cB ′ 3 −cB ′ 2
−E ′ 2 −cB ′ 3 0 cB ′ 1
−E ′ 3 cB ′ 2 −cB ′ ⎟
⎠
1 0
⎞
� � α
Ω µ =
Wenn wir dies nun komponentenweise ausrechnen, so ergibt sich:
F ′01 = E ′ 1 = Ω0 0 Ω1 0 F00 +Ω0 1 Ω1 0 F10 ���� + · · · = E1
����
0
Insgesamt erhalten wir nun:
E ′ 1 = E1
E1
E ′ 2 = (E2
1
− v1B3) · √
1−β2 E ′ 3 = (E3
1
+ v1B2) · √
1−β2 B ′ 1 = B1
⎛
⎜
⎝
B ′ 2 = � B2 + v1
√ 1
1−β2 − β
√
1−β2 0
√
1−β2 √ 1
1−β2 0
0
0
1
⎞
0
⎟
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
− β
c E3
B ′ 3 = � B3 − v1
c E2
� ·
� ·
√ 1
1−β2 √ 1
1−β2 Die Transformation mischt elektrische und magnetische Feldanteile. Dies bedeutet, daß die Spaltung des
elektromagnetischen Feldes in einen rein elektrischen und einen rein magnetischen Anteil nur in einem
Ruhesystem des Beobachters sinnvoll ist. Im allgemeinen bilden ”beide Feldarten” eine Einheit, die im
Feldstärketensor zum Ausdruck kommt.
Beispiel: Induktionsgesetz
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homogenes Magnetfeld: � B = − B �e3 daneben: � E = � 0
Messungen in Σ ′ , das sich relativ zu Σ mit �v ⇈ �e1 bewegt, ergeben nach (9.5):
E ′ 1 = 0, E ′ 2
(9.5)
Abb. 9.1: ruhendes � B bzgl. Σ,
Σ ′ bewegt sich relativ zu Σ
−v1B3 = √ = √ vB
1−β2 1−β2 , E ′ 3 = 0 B ′ 1 = 0, B ′ 2 = 0, B ′ B3
3 = √ = √−B 1−β2 1−β2 ⇒ senkrecht auf �e1 und �e3 existiert ein elektrisches Feld (E ′ 2 �= 0). Über einen Leiter ist der zugehörige
Induktionssprung abnehmbar, solange v �= 0.
Beispiel: bewegte Punktladung
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Die zwei Fälle, ob sich nun die Punktladung bewegt und der Beobachter ruht oder umgekehrt sind
äquivalent zueinander.
Zur Lösung transformiert man den Feldstärketensor mit dem Coulombfeld auf ein bewegtes System.
Es bleibt nun eine Frage: Existieren Größen des elektromagnetischen Feldes, die sich beim Übergang
zwischen Inertialsystem nicht ändern (Invarianten: I=I’)?
Man findet zwei skalare Größen (Basisinvarianten):
I1 = det � F αβ�
I2 = Fαβ F αβ
(9.6)