Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

9.2 Die Maxwellgleichungen im Vakuum 101
Die Viererdivergenz des Viererstromes verschwindet!
⇔ ∂
∂x 0 j0 + ∂
∂x 1 j1 + ∂
∂x 2 j2 + ∂
∂x 3 j3 = ∂ρ
∂t + div � j = 0
Der Wellenoperator ist ein wesentlicher Bestandteil der Elektrodynamik. Er läßt sich in folgender Art
und Weise schreiben:
� = η αβ ∂2 ∂xα ∂xβ = η00 ∂2 ∂(x0 ) 2 + . . . + η33 ∂2 ∂(x3 1
= −
) 2 c2 � ist unter der Lorentztransformation invariant
� ′ µν ∂ = η
∂x ′ µ
∂
∂x ′ ν = η µνΩ α
µ
∂
∂xα Ω β
ν
�
∂ ν
∂x µ ′ = Ωµ ∂
∂xβ = η µν Ω α
µ Ω β
ν
� �� �
=η αβ
∂2 + ∆·
∂t2 ∂
∂xν �
. Dies rechnen wir nun kurz nach:
∂ 2
∂xα∂xβ αβ ∂2 = η ∂xα∂xβ = �
Im Vakuum haben wir für die Potentialform der Maxwell-Theorie (vgl. Abschnitt 7):
�ϕ = − ρ
ε0
, � � A = − µ0 � j, div � A + 1
c 2
Dieses Gleichungssystem können wir kompakter in folgender Weise formulieren:
�A µ = − µ0j µ ,
∂ϕ
∂t
= 0
∂
∂x µ Aµ = 0 (9.1)
(A µ ) = � ϕ
c , A1,
� �
ϕ
A2, A3 = c , � �
A ist das sogenannte Viererpotential. Die Lorentz-Konvention erscheint
als Viererdivergenz und
′
µ
A = Ω µ ν A ν
Dies ist ein relativistisch invariantes Gleichungssystem, d.h. es erfüllt Einsteins Forderung der Forminvarianz.
Nun sind die Maxwell-Gleichungen ursprünglich für die Feldstärken definiert. Im Vakuum haben
wir 2 Vektorfelder � E und � B. Dies entspricht 6 Komponenten. Dies ist für einen Vierervektor zu viel und
für 2 Vierervektoren zu wenig.
Aber: Jede relle antisymmetrische (Fαβ = −Fβα) 4x4-Matrix besitzt genau 6 unabhängige Komponen-
✿✿✿✿✿
ten.
Vermutung: Die Feldstärkevektoren ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�E und � B lassen sich zu einem antisymmetrischen Tensor 2. Stufe
zusammenfassen. Doch wie findet man diesen Tensor?
Hinweis: Potential ↔ Feldstärke
✿✿✿✿✿✿✿✿
� E = − grad ϕ − ˙ �A � B = rot � A (Feldstärke = 1. Ableitung des Potentials)
Aus dem Viererpotential Aµ = ηµν ·A ν und der 4-dimensionalen Ableitung ∂
∂x ν läßt sich nur ein einziger,
einfacher antisymmetrischer Tensor konstruieren.
Hierbei ist Aµ = � − ϕ
Feldstärketensor: Fµν = c
c , A1, A2, A3
Fαβ ganz einfach ausrechnen:
F01 = c � � �
∂
∂ϕ =
F02 = − E2
∂x0 A1 − ∂
∂x1 A0
F03 = − E3
�
= c
F12 = c � ∂
∂x 1 A2 − ∂
∂x 2 A1
F13 = − c B2
F23 = c B1
� und � ∂
∂x1 + ∂A1
∂t
�
rot � A
�
∂x µ
� ∂
∂x µ Aν − ∂
Aµ
∂xν �
(9.2)
� �
∂ = ∂x0 , . . . , ∂
∂x3 �
. Damit können wir den gesuchten Tensor
� = − E1
3
= c B3