Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald
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94<br />
Mit diesen Näherungen und den neuen Koordinatenbezeichnungen ergibt sich nun (nur die Öffnungen<br />
liefern einen Beitrag):<br />
ϕ(�r) = ϕ0<br />
�� �<br />
e<br />
4π<br />
−ik|�r ′ −�r|<br />
|�r ′ �<br />
e<br />
grad�r ′<br />
−�r|<br />
−ik|�r ′ −�r0|<br />
|�r ′ �<br />
−<br />
−�r0|<br />
e−ik|�r ′ −�r0|<br />
|�r ′ �<br />
e<br />
grad�r ′<br />
−�r0|<br />
−ik|�r ′ −�r|<br />
|�r ′ ��<br />
d<br />
−�r|<br />
�F ′<br />
∀ Öff<br />
Bemerkenswert:<br />
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />
Vertauscht man �r und �r0, so ergibt sich lediglich ein Vorzeichenwechsel für ϕ. D.h., die Intensität<br />
ϕ∗ϕ ändert sich nicht! Dies ist der Inhalt des Reziprozitäts-Satzes der Beugungstheorie.<br />
Für die Anwendung ist die obige Formel ungeeignet. Aus diesem Grund bereiten wir sie noch etwas auf.<br />
Annahme: |�r ′ | ≈ λ<br />
|�r|, |�r0| ≫ |�r<br />
^= kleine Öffnungen<br />
′ | ^=<br />
�<br />
weit entfernte Quellen und Schirm<br />
typ. exp. Aufbau<br />
|�r ′ −�r| ≈ |�r| ≡ r |�r ′ −�r0| ≈ |�r0| ≡ r0<br />
�<br />
e<br />
grad�r ′<br />
−ik|�r ′ −�r0|<br />
|�r ′ � �<br />
1<br />
= − ik +<br />
−�r0|<br />
|�r ′ � −ik|�r e<br />
−�r0|<br />
′ −�r0|<br />
|�r ′ grad�r ′ |�r<br />
−�r0|<br />
′ −�r0|<br />
�<br />
e<br />
grad�r ′<br />
−ik|�r ′ −�r0|<br />
|�r ′ � �<br />
≈ − ik +<br />
−�r0|<br />
1<br />
� −ik|�r e<br />
r0<br />
′ −�r0|<br />
(−1)<br />
r0<br />
�r0<br />
| k =<br />
r0<br />
ω 1<br />
v ∼ λ<br />
�<br />
e<br />
grad�r ′<br />
−ik|�r ′ −�r0|<br />
|�r ′ �<br />
≈ ik<br />
−�r0|<br />
�r0 e<br />
r0<br />
−ik|�r ′ −�r0|<br />
e-Fkt. wird wegen k ∼<br />
r0<br />
1<br />
λ sehr groß<br />
⇒ nicht entwickelbar<br />
Analog:<br />
�<br />
e<br />
grad�r ′<br />
−ik|�r ′ −�r|<br />
|�r ′ �<br />
≈ ik<br />
−�r|<br />
�r<br />
r<br />
e −ik|�r ′ −�r|<br />
Wenn wir nun alles einsetzen, so ergibt sich:<br />
r<br />
ϕ(�r) = ik<br />
4π ϕ0<br />
��<br />
Öff<br />
�<br />
e −ik(|�r ′ −�r|+|�r ′ −�r0|)<br />
r r0<br />
� �r0<br />
Oder nach äquivalenter Umformung sieht das ganze dann so aus:<br />
Kirchhoff’sche Formel: ϕ(�r) = ikϕ0<br />
4π<br />
e −ikr0<br />
Hierbei wurde verwendet: Φ ≡ |�r ′ −�r| + |�r ′ −�r0| − r0 − r.<br />
r0<br />
r0<br />
e −ikr<br />
Diskussion: Zeitabhängigkeit fällt für Ψ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />
∗Ψ = ϕ∗ϕ = f(�r) heraus.<br />
ϕ0<br />
e −ikr0<br />
r0<br />
e−ikr r<br />
�<br />
�r0<br />
�n<br />
r0<br />
− �r<br />
�<br />
r<br />
r<br />
�n − �r<br />
r �n<br />
�� �n<br />
� �r0<br />
r0<br />
dF ′<br />
− �r<br />
� ��<br />
e<br />
r<br />
Öff<br />
−ikΦ dF ′<br />
. . . Amplitude der von der Quelle ausgehenden Kugelwelle an der Öffnung<br />
. . . Amplitude einer von der Öffnung ausgehenden Sekundärwelle (=Kugelwelle)<br />
am Beobachtungsort �r<br />
. . . Verkleinerungsfaktor der Lichtwirkung bei schrägem Lichtein- oder ausfall<br />
Das Beugungsintegral �� e −ikΦ dF beschreibt den Einfluß unterschiedlicher Phasen bei der Summation<br />
über die Öffnungen. Damit ergibt sich also die Kirchhoff’sche Formulierung des Huygen’schen Prinzips:<br />
Die von der Quelle auf die Öffnungen einfallende Kugelwelle führt dazu, daß von jedem Punkt<br />
der Öffnungen eine Kugelwelle (=Elementarwelle) ausgeht. Die Elementarwellen interferieren<br />
miteinander und liefern die Beugungsfigur.<br />
→ Hauptproblem für die Anwendung: Berechnung des Beugungsintegrals.<br />
(8.11)
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