Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Ein Umordnen der Vektoren ist möglich, wobei dV ′ = d�r ′ d � F ′ .
I1 Φ11 =
I1 Φ11
���
� ′
j(�r ) A1(�r � ′ ) dV ′
1
(5.4)
= µ
4π
Φ11 = L11 I1(t)
� �
1 1
⇒ U ind
11 = − d
dt Φ11
Abb. 6.2: Längs einer Stromröhre in Leiter 1 gilt die Kontinuitätsgleichung:
� j(�r)d � F = � j(�r ′ )d � F ′
außerdem: d�r ′ ⇈ � j(�r ′ )
� j(�r) � j(�r ′ )
| �r −�r ′ | dV dV ′ = L11 I 2 1
Zusammengefaßt gilt bei starrer Geometrie: U ind
1
starre Geometrie
⇒ U ind
11 = − L11 ˙ I1(t)
= − L12
dI2
dt
− L11
Bei der Verallgemeinerung für N Leiter bei starrer Geometrie ergibt sich:
Φi =
N�
j=1
Lij Ij ⇒ U ind
i
Beispiel: Berechnung der Selbstinduktion der Torus-Spule über einen indirekten Weg
✿✿✿✿✿✿✿✿
= −
N�
j=1
Lij
dIj
dt
dI1
dt
Abb. 6.3: Charakteristische Radien der Torus-Spule: r,R
N Windungen, Stromstärke I
1. Feldberechnung → Integralform
�
�H d�r = N · I S 1 mit Radius r ′ , � H entlang einer Feldlinie const.
S 1 ,r ′
N · I = H
�
S 1 ,r ′
dr ⇒ H(r ′ ) =
N · I
2π r ′
Wir betrachten jetzt den Spezialfall ”dünner” Torus: r
≪ 1
R
R − r ≤ r ′ ≤ R + r ⇒ R � r ′ � R ⇒ r ′ ≈ R
⇒ H =
N · I
2π R
für
2. Magnetische Energie
Wmag = 1
�
�H
2
� B dV = µ
2
Wmag = µ
2
!
Wmag = 1
2
N 2 VTorus
4π 2 R 2
L I2
I 2
r
≪ 1
R
N 2 I 2
4π 2 R 2
⇒ L =
�
Torus
dV
µ N2
4 π2 VTorus
R2