Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Jede analytische Funktion dieser Invarianten ist wieder eine Invariante. Eine explizite Rechnung für unser
Beispiel liefert:
det � Fαβ� = c2 � �2 �E B�
Fαβ · Fαβ = 2
� �
�H B� − �E D�
Die Invarianten werden für den Lagrange-Formalismus benötigt. Wir leiten nun die Maxwell-Gleichungen
aus dem Hamilton-Prinzip ab. Die Voraussetzung dafür ist, daß das zyklisches System erfüllt sei, was
damit äquivalent ist, daß A µ existiert.
W =
t2 �
t1
L dt x0 =ct
= 1
c
L = ε0
4 Fαβ Fαβ − j µ Aµ = L
�
L dx 0 L=��� LdV
=
�
Aµ ,
1
c
∂
Aµ
∂x µ
����
�
ε0
L . . . Lagrangefunktion
L . . . Lagrangedichte
L dx 0 dV = 1
c
�
L d 4 x
Nun variieren wir das Vektorpotential Aµ → Aµ + δAµ. Die Variierte δAµ sei auf dem
Rand des betrachteten Raum-Zeit-Gebiets gleich Null.
δL = ε0
4 δ � F αβ � β
Fαβ − j δAβ
δ � F αβ � � � αµ βν αµ βν
Fαβ = δ η η Fµν Fαβ = η η δ (Fµν Fαβ)
δ � F αβ � Prod.-R.
Fαβ = 2 η αµ η βν Fµν δFαβ = 2 F αβ δFαβ
δ � F αβ �
� αβ ∂
Fαβ = 2 F c δ
∂xα Aβ − ∂
�
αβ
Antisymmetrie von F
Aα = 4 c F
∂xβ αβ δ ∂Aβ
∂xα δ � F αβ � Tausch der Variation
Fαβ =
und part. Ableitung
∂
4 c Fαβ δAβ
∂xα Damit gehen wir jetzt in das Hamilton-Prinzip:
δW = 1
�
δL d
c
4 x = 1
� �
ε0c F
c
αβ ∂
∂xα δAβ − j β �
δAβ d 4 x
� �
part. Int. 1
δW =
−ε0c
an den Grenzen: δAβ=0 c
∂
∂xα Fαβ − j β
�
δAβ d 4 x ! = 0 | Variation: δAβ bel.
⇒ −ε0c ∂
∂x α Fαβ − j β = 0
− ∂ Antisymm. ∂
Fαβ =
∂xα ∂xα Fβα = 1
ε0c jβ Maxw.-Rel.
= µ0c j β
^= 4 Gleichungen zur Bestimmung der Potentiale A µ
αµ ∂
⇔ η
∂xα Fβµ
�
Pot. / Feldst. αµ ∂ ∂
= µ0c jβ ⇔ η c
∂xα ⇔
∂
∂xβ � �
∂
Aα − �Aβ = µ0 jβ
∂xα Lorentz-Konvention:
vgl. inhomog. Maxw.-Gl. (9.3)
∂xβ Aµ − ∂
Aβ
∂x µ
∂
∂x α Aα = 0
�Aβ = − µ0 jβ
�
= µ0c jβ
(9.7)