Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Jetzt haben wir nur ein kleines Problem: Wenn wir die Grenzen einsetzen würden, so erhalten wir für die
Energie des Coulomb-Feldes W=∞. Dies hätte aber fatale Folgen für die Physik.
Denken wir einmal an die Gleichung (3.7) im Abschnitt 3.2.4 zurück. Da c = const. ist, müßte das
elektrische Feld eine unendlich große träge Masse besitzen, wenn die Feldenergie unendlich wäre. Wenn
wir solch ein Feld also verschieben wollten, müßten wir eine unendlich große Kraft aufbringen. Doch
aus der Erfahrung wissen wir, daß dem nicht so ist. Wir müssen demzufolge nun eine Lösung für dieses
Problem finden, welches auch ”Selbstenergieproblem” der klassischen Elektrodynamik genannt wird.
Wenn wir dieses Problem etwas umformulieren, können wir auch sagen: Der Begriff ”Punktladung”
führt in der klassischen Elektrodynamik zu Schwierigkeiten.
Experimentell: ”Elektron” ist gut (?) punktförmig.
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Wir haben keine kleinere Probeladung als e− , um die Ladungsverteilung
eines Elektrons zu ermitteln.
Klassische (Lösung): Einführung eines ”Abschneideradius”
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m c 2 ≡ Q2
8πε
∞�
r0
dr Q2
=
r2 8πε
”klass. Elektronenradius”: r0 =
Abb. 4.4: Man definiert einen kleinsten Radius, bei dem die
Integration ”abgeschnitten” / abgebrochen wird. Der Energieinhalt
des Feldes entspricht der Fläche unter der Kurve.
1
r0
| Q = e, ε = ε0
e 2
8πε0mec 2 ≈ 1, 4 · 10−15 m
Mit Streuexperimenten wurde diese Größenordnung des Elektronenradius bestätigt. Es ist elegant, die
mechanische Masse (bzw. die Ruheenergie) auf die Feldenergie zurückzuführen. Außerdem kann man sich
bei diesem Modell unter einem Elektron etwas vorstellen.
Doch alle diese Modelle haben ein Problem: Sie funktionieren einfach nicht richtig! Es
ist besser, wenn man nicht versucht, sich unter z.B. einem Elektron etwas vorzustellen!
4.3.2 Energie des Feldes einer beliebigen Ladungsverteilung
W = ε
���
���
� 2 ε
E dV = grad
2
2
2 ϕ dV
Für unsere Rechnung verwenden wir die folgende Hilfsformel:
→ Bei uns: �a = grad ϕ, f = ϕ
⇒ (grad ϕ) 2 = −ϕ div(grad
� �� �
∆·
R 3
div(f · �a) = (grad f) �a + f · div �a
ϕ) + div (ϕ grad ϕ)
Es ergibt sich somit für unsere Energiegleichung:
W = ε
���
(−)ϕ ∆· ϕ dV +
2
ε
2
W = −
���
div (ϕ grad ϕ) dV | Gauß anwenden
ε
���
ϕ ∆· ϕ dV +
2
ε
2
��
◦ ϕ grad ϕ d� A
∂V
� �� �
→ 0 (vgl. Abschätzung)