Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

Relativistische Formulierung der Elektrodynamik 99
9 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
Im Gegensatz zur Newton’schen Mechanik ist die Elektrodynamik schon Lorentz-invariant. D.h. die
Maxwell-Theorie ist eine relativistische Theorie.
Wir suchen jetzt hier die 4-dimensionale ”Verpackung”, damit diese Invarianz auch zu sehen ist.
9.1 Die Lorentztransformation
Der Ausgangspunkt ist der Minkowski-Raum (M 4 , Raumzeit) mit dem Ortsvierervektor
(x M ) = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) x 0 = c · t, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z
und dem Längenelement (in karthesischen Koordinaten)
(ds) 2 = ηµν dx µ dx ν
mit ηµν = Diagonale (-1,1,1,1); (ds) 2 � 0 indefinit
und dem inversen Fundamentaltensor in karthesischen Koordinaten
� αβ
η � ⎛
−1
⎜
= ⎜ 0
⎝ 0
0
1
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
η αβ · ηβν = δ α
ν
Lorentztransformationen sind alle diejenigen linearen homogenen Abbildungen M 4 → M 4 ,
die das obige Längenelement invariant lassen.
Das Einsetzen liefert die folgende Bedingung:
x ′µ = Ω µ νx ν Ω µ ν konstante Matrix
dx ′µ = Ω µ νdx ν Bedingung: (ds ′ ) 2 = (ds) 2
ηαβ = ηµν Ω µ α Ω ν β
det (Ω µ α) = + 1
Die Definition der Gruppe SO(3,1) ist die ”eigentliche” Lorentztransformation.
Beispiel: Bewegung in x ✿✿✿✿✿✿✿✿
1 = x - Richtung
⎛
(Ω µ ⎜
ν) = ⎜
⎝
√ 1
1−β2 − β
√
1−β2 0
√
1−β2 √ 1
1−β2 0
0
0
1
0
⎟
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
− β
⎞
β = v
c ,
v = vx Relativgeschwindigkeit in x-Richtung
Ohne Beweis: (Ω µ ν) ist hinreichend für alle Anwendungen (geeignete Wahl der Koordinaten).
physikalisch: Die Lorentztransformation beschreibt den Übergang zwischen zwei Inertialsystemen.
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Σ(x ν ) L.T.
−→ v
Σ ′ (x ′ν )
Das Transformationsgesetz für den Ortsvierervektor verallgemeinert man:
A µ ′ = Ω µ ν Aν ⇒ A µ kontravarianter Vierervektor
Bµ ′ = Ω ν
µ Bν
wobei hier Ω
⇒ Bµ kovarianter Vierervektor
ν
µ = ηµα · ηνβ · Ωα β
A µ ′ · Bµ ′ = A µ Bµ = Invariante = Skalar
Ein Tensor n-ter Stufe in Bezug auf die Lorentzgruppe SO(3,1) ist eine n-fache Linearform
(Gebilde mit n Indizes) und dem Transformationsgesetz für die Komponenten (d.h. jeder
Index besitzt eine zugehörige Transformationsmatrix):