Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

8.1 Wellengleichung, einfache Wellentypen 83
U2(z1 − vt1) = U2(z2 − vt2)
⇒ z1 − vt1 = z2 − vt2
z2 − z1 = v(t2 − t1) (v > 0)
⇒ falls z2 > z1 ⇔ t2 > t1
Allgemeiner: Ausbreitung der ebenen Wellen in �n-Richtung (�n bel. Einheitsvektor)
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
U(�r, t) = U(�n�r − vt)
z.B.: �n = �ez �n�r = z → U = U2
�n = − �ez �n�r = −z → U = Ũ(−z − vt) = U1(z + vt)
Elektromagnetische Wellen als ebene Wellen:
�E = �E(�n�r − vt)
↗
U(�n�r − vt)
↘
�B = � ⎫
⎪⎬
wobei jede Vektorkomponente diese Abhängigkeit
besitzt
⎪⎭
B(�n�r − vt)
8.1.2 Kugelwellen
Hier liegt als räumliche Symmetrie die Kugelsymmetrie vor.
U(�r, t) = U(x, y, z, t) Kugelkoord.
= U(r, θ, ϕ, t) = U(r, t) r = � x2 + y2 + z2 �
1
�U(r, t) =
v2 ∂2 � �
1
− ∆· U =
∂t2 v2 ∂2 �
∂2 2 ∂
− − U(r, t)
∂t2 ∂r2 r ∂r
! = 0
Die allgemeine Lösung besitzt die Form:
U(r, t) = 1
r [ U1(r + vt) + U2(r − vt) ]
Nachweis der Lösung: Einsetzen in die Wellengleichungen und differenzieren oder:
Subst.: U(r, t) = 1
r V(r, t) � Dgl. für V(r, t) ⇒ Lsg. wie unter 8.1.1
◮ Die Lösung ist eine Überlagerung einer einlaufenden (U1) und einer auslaufenden (U2) Welle.
◮ Typisch: Die Wellenamplitude ist ∼ 1
r .
◮ Wichtig: Huygen’sches Prinzip (Elementarwellen = Kugelwellen! → vgl. Beugung)
8.1.3 Ebene harmonische Wellen
Wir spezialisieren uns nun immer mehr:
1. wir betrachten nur noch den auslaufenden Anteil (�n�r − vt, also keine Überlagerungen mehr)
2. nun Einschränkung der beliebigen auslaufenden Funktion U2 auf die harmonischen Funktionen
Sinus und Kosinus
Warum machen wir diese Einschränkungen?
• harmonische Funktionen sind häufig technisch von Bedeutung (periodisch in den Quellen)
• beliebige Funktionen lassen sich nach dem Fourier-Theorem aus harmonischen Funktionen superponieren
(Fourier-Reihen-Entwicklung)
• Wellengleichung ist linear:
�U = � � Un,m �e inkx e iωmt = 0
→ Aus harmonischen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen (”Wellenpakete”) superponieren!