Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

6.1 Induktionsvorgänge in Leitern 59
div � D = 0
div � B = 0
rot � E = − ˙ � B
rot � H = � j
aber � j = � j(�r, t), unter der Vorraussetzung, daß die
Vorgänge langsam ablaufen.
außerdem: div � j = 0
Bei der Feldberechnung entsprechend des obigen Systems ist eine Fallunterscheidung notwendig.
1.Fall � j(�r, t) ist vorgegeben (einfache Variante)
- Zunächst Berechnung von � H, � B (wie im analogen Fall, t wird als formaler Parameter betrachtet
⇒ Zeitabhängigkeit von � j überträgt sich einfach auf � H) → vgl. Methoden in Abs.
5.
- über das Induktionsgesetz kann man � E und � D einfach berechnen.
2.Fall Innerhalb der Leiter ist � j(�r, t) i.A. unbekannt
- häufig führt man die Stromdichte mittels des Ohm’schen Gesetzes auf das elektrische Feld
zurück
� j(�r, t) = σ � E(�r, t)
- Die Gleichungen sind verkoppelt → komplizierter
- Es ist notwendig, alle Funktionen simultan zu bestimmen; die Kopplung sieht wie folgt aus:
6.1 Induktionsvorgänge in Leitern
Abb. 6.1: Kopplung der physikalischen Größen
Ausgangspunkt: magnetische Feldenergie, wobei � j = � j(�r, t) sein kann!
Wmag(t) = 1
2
Wmag(t) = µ
8π
�
�H � B dV = 1
2
� �
�j(�r, t) � ′ j(�r , t)
| �r −�r ′ |
�
� j � A dV
dV dV ′
⇒
� H = � H(�r, t)
Die Zeit t ist hier nur ein formaler Parameter, der für die Herleitung dieses Ausdrucks keine Bedeutung
hat.
Im Falle zweier räumlich getrennter Leiter sieht die Sache wie folgt aus:
Wmag = 1
⎧
µ
⎨�
�
�j1(�r, t)
2 4π ⎩
1 2
�j2(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′ � �
�j2(�r, t)
+
2 1
�j1(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′ +
� �
�j1(�r, t) �j1(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′ � �
�j2(�r, t)
+
�j2(�r ′ , t)
| �r −�r ′ dV dV
|
′
⎫
⎬
⎭
1 1
2 2