Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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schauen. Wenn nun die Flächennormale aus dem Volumen hinauszeigt, muß sie zwangsläufig in den Leiter
hineinzeigen. �
�
�E D � ′′
dV = − ϕ � D ′′ d� �
A − ϕ � D ′′ d� A
V
∂VL
Der Anteil der äußeren Oberfläche verschwindet hier, da bei der Multipolentwicklung r hinreichend groß
ist und dann gilt:
⎫
�
�E D � ′′
dV = −
V
�
∂VL
� �
ϕ �D ′
− D�
d� A
ϕ ∼ 1
r
�D ′′ ∼ 1
r 2
∂V∞ ∼ r 2
↓ ϕ auf Oberfläche const. ( Voraussetzung!)
�
�E D � ′′
dV = − ϕ
� � �
�D ′
− D�
d� A
V
∂VL
Für einen Leiter gilt weiterhin � D = � D ′ . Damit:
a) �verschwindet die Tangentialkomponente
�Dt = ε �Et = �0, D � ′
t = ε �E ′ t = � �
0
⎪⎬
⎪⎭
∼ 1
r
∂V∞
→ 0 für r → ∞
b) verschwindet � auch die Normalkomponente
�Dn = σ �n Vor.
= � D ′ �
n
�
⇒ �E D � ′′
dV = 0 ⇒ Damit reduziert sich Gl. (4.18) auf:
V
∆W = ε
2
� ��E ′′ � 2
dV = ε
2
� � �2 �E ′ − �E � ��
≥0
�
dV ≥ 0
Wir konnten also zeigen, daß die elektrische Feldenergie minimal wird, wenn auf dem Rand
des betrachteten Volumens (Leiteroberfläche) das Potential konstant gehalten wird.
Diese Eigenschaft ist z.B. für numerische Rechnung sehr nützlich, da man so ein Kriterium dafür hat, ob
die Rechnung in die richtige oder total falsche Richtung geht (Man prüft ständig, ob die Energie größer
oder kleiner wird; wird sie größer, so ist man auf dem Holzweg.).
4.5.2 Kapazität
Wir betrachten jetzt zwei räumlich getrennte Leiter mit den Ladungen (+Q) und (-Q). Diese Anordnung
wird unabhängig von der Leiterform als Kondensator bezeichnet.
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Abb. 4.15: Anordnung eines Kondensators
2�
2�
U = �E d�r = − grad ϕ d�r = ϕ1 − ϕ2 = ϕ12
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