Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

6.3 Der Skineffekt 65
d 2^E(r)
dr 2
1
+
r
d^E(r)
dr − i α2 ^E(r) = 0
Wir haben so eine Differentialgleichung 2. Ordnung zur Bestimmung der Funktion ^E(r) gefunden. Üblich
ist die Lösung über Potenzreihenansätze, doch hier ist die folgende Substitution zweckmäßiger:
x
Substitution: r =
α √ −i
d
dr = α √ −i d
dx
x . . . formale kompl. Variable
Wir erhalten mit dieser Substitution eine spezielle Bessel’sche Differentialgleichung.
d2^E 1
+
dx2 x
d^E
dx + ^E = 0
Die allgemeine Form der Bessel’schen Differentialgleichung sieht wie folgt aus:
y ′′ + 1
x y ′ +
�
1 − p2
x2 �
y = 0
p ist hier ein reeller Parameter, der in unserem Fall gleich Null ist.
Die Lösungen der Bessel’schen Differentialgleichung sind:
y(x) = A · Jp(x)
� �� �
Bessel’sche Fkt.
+ B · Np(x)
� �� �
Neumann’sche Fkt.
Ein Vergleich für unseren Fall liefert: ^E(x) = A · J0(x) + B · N0(x)
Wir müssen jetzt nur noch die Randbedingungen berücksichtigen:
A,B . . . Integrationskonstanten
die Fkt. N0(x) wird für x → 0 (d.h. im Zentrum des Leiters) unendlich groß
⇒ | � j| → ∞; dies ist aber unphysikalisch
⇒ B = 0 gewählt!
Rücksubstitution:
^E(r) = A · Jo(α √ −i r)
Mit einer Zeitabhängigkeit: ^Ez(r, t) = A · Jo(α √ −i r) e iωt , � E = ^Ez �ez
Jetzt müssen wir noch die Integrationskonstante A fixieren.
Stromstärke: ^I(t) = I
����
I ←
��
I =
I
�
jz dF ← σ
�
jz(r) dF Polar-koord.
=
Quers. el. Feld
= 2π A σ
I =
2π A σ
−i α 2
x0 �
0
R�
0
J0(x) x dx
Scheitelwert
e iωt , Re(^I(t)) = I cos(ωt)
Ez dF ⇒ I hängt irgendwie mit A zusammen
R�
0
2π �
0
→ Integration über den Querschnitt des Leiters
jz(r) r dϕ dr = 2π
Für die Integrale über Bessel-Funktionen gilt:
R�
jz(r) r dr
J0(α √ −i r) r dr | Subst.: r = x
α √ −i
2π A σ R
⇒ I =
α √ J1(α
−i
√ −i R)
I α
Hieraus erhält man: A =
√ −i
2π σ R J1(α √ −i R)
0
R = x0
α √ −i
�
J0(x) x dx = x · J1(x), J1(0) = 0
⇒ Damit ist A fixiert!