Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

9.4 Doppler-Effekt und Aberration 105
9.4 Doppler-Effekt und Aberration
Wir betrachten eine ebene (harmonische) elektromagnetische Welle in einem homogenen Medium. In
3-dimensionaler Schreibweise gilt:
� E = � E(0) e iΦ ,
� B = � B(0) e iΦ
wobei � E (0) und � B (0) konstante komplexe Amplituden sind und die Phase Φ = Φ(�r, t) gegeben ist durch
Φ = � k�r − ωt
Denkt man sich die Felder in den Feldstärketensor eingesetzt, so erhält man die Darstellung:
Fµν = F (0)
µνe iΦ
mit F (0)
µν als konstante Matrix, d.h. unabhängig von den x α . Die Phase Φ charakterisiert dabei die Gebiete
der Verstärkung bzw. Auslöschung bei Interferenzen. Sie muß also eine Invariante unter Lorentztransformationen
sein, d.h. der numerische Wert von Φ (z.B. Φ = π
2 ) darf sich nicht ändern, obwohl sich das
”Ereignis” ändert (x µ → x ′µ ).
Formaler Beweis (als Einschub):
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det(Fµν) = Invariante = det(F ′ µν)
Wir berechnen nun beide Seiten explizit:
det(Fµν) = e 4iΦ �
det F (0)
det(F
�
µν Beachte: 4-dim. Matrizen !
′ µν) =
� ′
4iΦ
e det F ′ �
� ′
(0) 4iΦ
µν = e det Ω α µΩ β νF (0)
�
� ′
4iΦ
αβ = e det
Hierbei ist berücksichtigt, daß det(Ω α µ) = +1 gilt. Der Vergleich liefert dann Φ = Φ ′ bis auf Mehrdeutigkeiten
wegen der Periodizität der komplexen e-Funktion.
Die Invarianz der Phase kann äußerlich dadurch sichtbar gemacht werden, daß man den ”Wellenzahlvierervektor”
k µ einführt:
Dann ist offensichtlich:
Wellenzahlvierervektor: (k µ ) =
�
ω
c , k1,
� �
ω
k2, k3 =
c ,� �
k
Φ = ηµνk µ x ν = kµx µ = − ω
c x0 + � k�r = −ωt + � k�r
Die Invarianz der Phase ist offensichtlich, wenn man die Darstellung als Skalarprodukt berücksichtigt;
man verifiziert sie aber auch durch direkte Anwendung der Transformationsgesetze:
Φ ′ = k ′ ν x ′ν = Ω ν β x β Ω α
ν kα = δ α
β x β kα = x α kα = Φ
Im Vakuum ist der Wellenzahlvierervektor ein lichtartiger Vektor (”Nullvektor”), denn es gilt:
ηµν k µ k ν = −(k 0 ) 2 + �k 2 = kµk µ �
ω
�2 = − +
c
�k 2 = 4π 2
�
1 ν2
−
λ2 c2 �
= 0
Hierbei wurde im letzten Schritt die Dispersionsrelation (c = λν) für elektromagnetische Wellen verwendet.
Demzufolge:
kµk µ = 0 ⇔ (k µ ) ist Nullvektor !
Die quellfreien Maxwell-Gleichungen werden einfach zu algebraischen Bedingungen, wenn man die ebenen
Wellen einsetzt und differenziert:
F (0)
µν k ν = 0, kα F (0)
µν + kµ F (0)
να + kν F (0)
αµ = 0
Aus der Transformationsregel des Wellenzahlvierervektors
F (0)
αβ
�
(9.8)