Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

6.2 Schwingungsdifferentialgleichung 63
6.2 Schwingungsdifferentialgleichung
In Anwendungen spielen zeitlich periodische Vorgänge eine dominante Rolle. Wir wollen jetzt eine qualitative
Erklärung geben. Dafür betrachten wir einen einfachen Stromkreis mit L, C, R - Gliedern. Die Ka-
pazität und Induktivität haben wir in den vorherigen Abschnitten schon besprochen, doch der Ohm’sche
Widerstand ist uns eigentlich noch ”unbekannt”. Wir wollen R deshalb am Beispiel eines geraden Leiters
aus homogenen Material betrachten:
�
I = �j d�F = j F | j = σ E
F
I = σ F E | E = U
I = σ
l
F
U
l
1
⇔ I =
R U
⇒ R = 1
σ
l l
= ρ
F F
ρ . . . spez. elektrischer Widerstand
Energiebilanz ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿
d
dt (Wmag + Wel) +
im Kreis (vgl. Abs. 3.2.2)
✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿
Wel = 1
2C Q2 , Wmag = 1
2
��
◦�S d�F = −
� �� �
≈0 keine Abstrahlung
���
L I2
WJoule = �j � dünne Drähte
E dV = I(t)
⇒ 0 = 1
2C
d
dt Q2 + 1
2
0 = 1
C I Q + L I ¨ Q + R I 2
0 = 1
C Q + L ¨ Q + R ˙ Q
�
Leiter
L d
dt I2 + R I 2
���
�j �E dV
V
� �� �
WJoule
� E d�r Ringspannung
= I · U = R · I 2
I = ˙ Q
Für die Schwingungsdifferentialgleichung erhalten wir also:
freie, gedämpfte Schwingung:
¨ Q + R
L ˙ Q + 1
LC
Q = 0
Für den Fall, daß R=0, erhalten wir die Differentialgleichung für die freie, ungedämpfte Schwingung:
6.3 Der Skineffekt
¨Q + 1
LC Q = 0 ⇒ ω2 0 = 1
LC
Der Skineffekt ist ein Beispiel dafür, daß die Stromdichte nicht vorgegeben ist. Mittels des Ohm’schen
Gesetzes ist die Stromdichte aber durch das elektrische Feld bestimmt.