Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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k ′ν = Ω ν µk µ
ergeben sich zwei wichtige Beziehungen, die wir nun herleiten wollen. Dazu betrachten wir eine Welle, die
sich parallel zur (x,y)-Ebene ausbreitet (kz = 0). Der Wellenzahlvektor �k schließe mit der x-Achse den
Winkel θ ein. Der Betrag ist wie üblich | �k| = 2π
λ . Der Wellenzahlvierervektor hat dann die Komponenten:
(k µ � �
ω 2π 2π
) = , cos(θ), sin(θ), 0
c λ λ
Wir betrachten nun den Übergang in ein bewegtes Bezugssystem Σ → Σ ′ . Die Bestimmungsgrößen der
Welle in Σ, d.h. ω, λ, θ gehen in Σ ′ in die neuen Größen ω ′ , λ ′ , θ ′ über. Für den Wellenzahlvierervektor
in Σ ′ erwarten wir eine entsprechende Form:
(k ′µ � ′ ω 2π
) = ,
c λ ′ cos(θ ′ ), 2π
λ ′ sin(θ ′ ), k ′ �
z
Wertet man das Transformationsgesetz explizit mit der speziellen Lorentztransformation (Bewegung ent-
lang der x-Achse , β = vx
c ):
aus, so ergibt sich:
(k ′µ ) =
� ω
c
⎛
Ω ν ⎜
µ = ⎜
⎝
2π − λ
√ 1
1−β2 √−β 1−β2 β cos(θ)
� ,
1 − β2 √−β 0 0
1−β2 √ 1 0 0
1−β2 0 0 1 0
0 0 0 1
2π
λ
(9.9)
⎞
⎟
⎠
ωβ
cos(θ) − c � ,
1 − β2 2π
�
sin(θ), 0
λ
Der Vergleich beider Formen von k ′µ zeigt, daß sich wegen k ′ z = 0 auch im System Σ ′ die Welle parallel
zur (x’,y’)-Ebene ausbreitet. Für die restlichen Vektorkomponenten liefert der Vergleich:
ω ′ = ω
1 − β cos(θ)
� ,
1 − β2 sin(θ ′ )
λ ′
sin(θ)
= ,
λ
cos(θ ′ )
λ ′
= cos(θ) − β
λ � 1 − β2 Seien nun die ursprünglichen Koordinaten (Σ) das Ruhesystem einer Lichtquelle, welches die betrachtete
Welle ausstrahlt. Dann ist ω ′ − ω die Frequenzänderung als Folge der Relativbewegung der Inertialsy-
steme. Die Beziehung:
ω ′ = ω
1 − β cos(θ)
� 1 − β 2
ist für Anwendungen allerdings unzweckmäßig, da für den in Σ ′ messenden (mitbewegten) Beobachter
der Winkel θ aus dem Ruhesystem Σ eingeht. Benötigt wird die Funktion θ = θ(θ ′ ), die man aus der
”Invarianz” der Lichtgeschwindigkeit erhält:
Einsetzen der transformierten Ausdrücke liefert:
ω ′ λ ′ = ωλ (1 − β cos(θ)) cos(θ ′ )
cos(θ) − β
D.h. die gesuchte Funktion θ = θ(θ ′ ) ergibt sich zu:
c = c ′ = Invariante ⇔ ωλ = ω ′ λ ′
⇒ cos(θ) − β = (1 − β cos(θ)) cos(θ ′ )
cos(θ) = β + cos(θ ′ )
1 + β cos(θ ′ )
Einsetzen in den Ausdruck für die Frequenzverschiebung liefert letztlich als relativistischen Ausdruck für
den Doppler-Effekt:
Doppler-Effekt: ω ′ = ω
� 1 − β 2
1 + β cos(θ ′ )
(9.10)