Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Jetzt nutzen wir alle Zwischenergebnisse und fügen sie zusammen und erhalten für die Kraftdichte den
folgenden Ausdruck:
fk = − ∂
∂t (εklmDlBm) + ∂
∂xm
�
EkDm + HkBm
�
HlBl
− δkm
2
+ ElDl
� ��
��
2
�
Tkm ≡ Maxwell’scher Spannungstensor
Wir können also durch Vergleich eine Definition für die Impulsdichte finden:
πk ≡ εklm Dl Bm
�π ≡ � D × � B
Jetzt wollen wir den Spannungstensor noch etwas genauer untersuchen. Seine Bezeichnung rührt aus der
Geschichte, wo man sich die Kraftwirkung durch einen Spannungszustand an den Feldlinien vorstellte.
Eigenschaften des Maxwell’schen Spannungstensors:
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Eine wichtige Eigenschaft ist, daß der Spannungstensor quadratisch im Feld ist.
Weiterhin gilt, daß
Tkm = Ek Dm + Hk Bm − δkm ωelm
Tkm = Tmk
Der Spannungstensor ist ein symmetrische Tensor 2. Stufe (bei gegebenen Koordinatensystem als Matrix
darstellbar). Demzufolge können wir ihn mittels einer orthogonalen Transformation diagonalisieren. Dies
hat zu Folge, daß die Spur invariant gegenüber dieser Transformation ist.
Im folgenden setzen wir nun isotrope Verhältnisse voraus: Die Eigenwerte der Matrix (Hauptdiagonalelemente)
sind also alle gleich. Für die Spur ergibt sich nun zuerst allgemein:
Sp(^T) = Hl Bl �
+ El Dl �� �
− 3 ωelm
2 ωelm
Sp(^T) = 2 ωelm − 3 ωelm
Sp(^T) = − ωelm
Es gilt aber weiterhin bei Isotropie (gleiche Hauptdiagonalelemente):
Tkm = − pStrahl δkm
Sp(^T) = − 3 pStrahl
⇛ ωelm = 3 pStrahl
Wir haben hier etwas Grundlegendes aus der Physik gefunden. Für die Maxwell-Spannungen gilt:
Energie Kraft
=
Volumen Fläche
Die Maxwell-Spannungen stellen einen richtungsabhängigen Druck dar, den sogenannten Strahlungsdruck
elektromagnetischer Wellen! Ein Beispiel dafür ist, daß der Kometenschweif immer von der Sonne wegzeigt,
da er vom Strahlungsdruck der Sonne einfach weggedrückt wird. Der erste experimentelle Nachweis
des Strahlungsdruckes auf der Erde erfolgte 1899 durch Lebedew.
Unser Ziel in diesem Abschnitt war es aber, eine Impulsbilanz zu finden. Eigentlich haben wir dies auch
schon mit Gleichung (3.3) getan, doch wir wollen diese Gleichung mit unseren Definitionen in einer etwas
kompakteren Weise schreiben:
(3.3)