Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Bei den Poisson-Gleichungen war die Methode der Green’schen Funktionen erfolgreich (vgl. Abs. 4.2).
Wir gehen nun zur Lösung der Wellengleichung analog vor:
�G(�r, t) = δ(�r) · δ(t) δ(�r) = δ(x) · δ(y) · δ(z)
Hierbei ist G(�r, t) die Green’sche Funktion der inhomogenen Wellengleichung. Die rechte Seite der Gleichung
stellt eine punktförmige Quelle dar, die nur am Orte�r = � 0 und nur zur Zeit t=0 von Null verschieden
ist.
Wir ”erraten” jetzt die Lösung:
retardierte Green’sche Funktion: G R (�r, t) = 1
4πr δ
�
t − r
�
v
Diese Funktion ist nur bei r = t · v �= 0, d.h. auf dem Lichtkegel von Null verschieden!
Physikalische Argumente:
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δ-artige Quellen erzeugen bei t=0 einen Blitz am Ort �r = � 0.
◮ G R verschwindet ∀ t < 0 (dann ist das Argument der δ-Funktion immer negativ bei r > 0, v > 0)
◮ G R erfüllt physikalisch sinnvolle Randbedingungen (d.h. sie verschwindet für r → ∞ und alle
endlichen t)
◮ t > 0: Der Lichtblitz breitet sich mit der Geschwindigkeit v als Kugelfläche (Radius r=vt) aus
Es existiert aber eine weitere Fundamentallösung:
avancierte Green’sche Funktion: G A (�r, t) = 1
4πr δ
�
t + r
�
v
Sie beschreibt die einlaufenden Kugelwellen für t < 0. Wir haben also formal akausale Verhältnisse vorliegen,
d.h. vor dem Einschalten der Quelle war die Wellenlösung bereits da!!!
Die tiefere Ursache für das Auftreten von G A und G R ist:
Die Invarianz des Wellenoperators unter der Transformation t → -t. Der Wellenoperator
ist ein reversibler Operator.
Wir zeigen nun, daß G R/A Lösungen von �G = δ(�r) · δ(t) sind. Aufgrund von
G(�r, t) = G(r, t) ist die Einführung von Kugelkoordinaten sinnvoll:
� = 1
v 2
∂ 2
∂t
R/A Prod.-R.
�G
∂2 2 ∂
− ∆· mit ∆· = + + Diff. nach ϕ, θ
2 ∂r2 r ∂r
� �
1
�
= − ∆· · δ t ∓
4πr
r
�
−
v
� �� �
Term 1
1
4πr2 � 2 ∂ 1
−
∂r2 v2 ∂2 ∂t2 � �
· δ t ∓ r
�
v
� �� �
−
Term 2
1
4πr
2 ∂
r ∂r δ
�
t ∓ r
�
v
�
∂
− 2
∂r
�
1
4πr
∂
∂r δ
�
t ∓ r
�
v
� �� �
Term 3
Jetzt wollen wir diese 4 Anteile etwas genauer diskutieren.
� �
1
1 Beachte Elektrostatik: ∆· = − δ(r)
4πr
2 Bis auf den Faktor 1
4πr :
� 2 ∂ 1
−
∂r2 v2 ∂2 ∂t2 �
=
� ∂
∂r
− 1
v
wobei ξ− ≡ t − r
v , ξ+ ≡ t + r
v
D.h.
∂2 ∂ξ + ∂ξ− f � ξ + od. −� = 0
� �
∂ ∂
∂t ∂r
� �� �
Term 4
+ 1
v
�
∂
=
∂t
1
v2 ∂ 2
∂ξ + ∂ξ −
retardierte / avancierte Koordinate