Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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1. Es sind inhomogene, partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung zur Bestimmung der Felder � E, � D,
�B und � H als Funktionen von �r und t
2. Materialgleichungen reduzieren die 4 unbekannten Felder auf 2 ( ^= 6 unbekannten Komponenten ⇒
6 Gleichungen werden noch benötigt)
3. Linearität der Gleichungen ⇒ Superpositionsprinzip der Lösungen
• Die Summe zweier Lösungen (mit beliebigen Konstanten) des homogenen Problems ist wieder
Lösung des homogenen Problems.
• Und die Summe einer Lösung des inhomogenen Problems mit einer Lösung des homogenen
Problems ist wieder eine inhomogene Lösung
4. Elektrische und magnetische Felder sind miteinander verkoppelt (Aber nur bei sich zeitlich ändernden
Feldern, da sonst ˙ � B = ˙ �D = 0!).
5. Die Maxwell-Gleichungen sind unter der Lorentz-Transformation forminvariant (ihre Form ist in
allen Inertialsystemen gültig).
3.2 ”Erhaltungsgrößen” des elektromagnetischen Feldes
Erhaltungsgrößen spielen in der Mechanik eine wesentliche Rolle bei der Lösung der Bewegungsgleichung.
Auch in der Feldtheorie sind gewisse Erhaltungssätze formulierbar. Die zugehörigen Größen sind lokale
Größen (orts- und zeitabhängig) und die Erhaltungssätze haben die Form von Bilanzgleichungen:
∂
∂t
(Dichte) + div(Stromdichte) = ”Produktionsterm” (3.1)
Die Integration über ein festes Volumen liefert dann die dazugehörigen integralen Bilanzen.
3.2.1 Ladungserhaltung
Wir gehen von den folgenden beiden Maxwell-Gleichungen aus:
div � D = ρel
rot � H = � j + ˙ � D
Die linke Gleichung differenzieren wir nun einmal nach der Zeit (wir verwenden die Einstein’sche Summenkonvention,
vgl. Abs. 2):
∂
∂t ρel = ∂
∂t div � D = ∂
∂t
∂
∂xk
Auf die zweite Gleichung wenden wir den Divergenz-Operator an:
div (rot� � �
H) = div �j ˙
+ �D
Dk = ∂2
∂xk ∂t Dk = div ∂
∂t � D = div ˙ � D
Wenn wir jetzt beide Gleichungen zusammenfassen, so erhalten wir einen Ausdruck für die Ladungserhaltung:
Kontinuitätsgleichung:
∂
∂t ρel + div � j = 0
Die Ladungserhaltung gehört zu den starken Erhaltungssätzen in der Physik!
Wir gehen nun zur integralen Formulierung über, um einen weiteren wichtigen physikalischen Ausdruck
zu finden. ���
∂
∂t ρel dV +
���
div �j dV = 0
V
V